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2015年江苏高考考前数学押题卷(5套


2015 年江苏高考考前数学押题卷(一)
第Ⅰ卷 (必做题
苏州市高中数学学科基地

分值 160 分)

苏州市高中数学命题研究与评价中心

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知全集 U ? {x ? R | x ? 0} ,集合 A ? x ? R x ≥ 2 ,则 ? UA 2.如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z ,则 z2 的模为 3.抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标是
2

?

?

▲ .



y A -2 1 O x





. ▲ 条件.

4.已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 , l2 : ax ? y ? 2 ? 0 .则“ a ? ?3 ”是“ l1 ∥ l2 ”的 5.当向量 a ? c ? (?1,1) , b ? (1, 0) 时,执行如图所示的程序框图, 输出的 i 值为 ▲ .

6.为了解某年级女生五十米短跑情况,从该年级中随机抽取 8 名女生 进行五十米跑测试,她们的测试成绩(单位:秒)的茎叶图(以整 数部分为茎,小数部分为叶)如图所示.由此可估计该年级女生五 十米跑成绩及格(及格成绩为 9.4 秒)的概率为 ▲ .

7 8 9

8 6 1 1 5 8 7 8

7.定义在 R 上的偶函数 f ( x) ? x ? a ? x ? b (其中 a、 b 为常数) 的最小值为 2,则 a ? b =
2 2





? 2 x ? y ? 2≤0 ? 8.设不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0 表示的平面区域为 D , P( x,y ) 是区域 D 上任意一点, ? x ? y ? 1≥ 0 ?
则 x ? 2 ? y 的最小值是 ▲ . ▲ .

9.已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为 10.已知 cos(? ? 11.已知

?
4

)?

? 10 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) = 10 2 3





O : x2 ? y 2 ? 1,若直线 y ? kx ? 2 上总存在点 P ,使得过点 P 的 O 的两条切线互相垂直,
▲ .

则实数 k 的取值范围是 12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线右支上的任意一点,若 a 2 b2

| PF1 |2 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范围是 | PF2 |





13.已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0 ,等比数列 {bn } 的公比 q 是小于 1 的正有理数.若 a1 ? d ,

b1 ? d 2 ,且

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 b1 ? b2 ? b3





14. 在等腰三角形 ABC 中,AB ? AC ,D 在线段 AC 上,AD ? kAC( k 为常数, 且 0 ? k ? 1) ,BD ? l 为定长,则 ?ABC 的面积最大值为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内 ....... 作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? (1)写出 ? 及图中 x0 的值; (2)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.
3 2 y

π ) 的部分图象如图所示. 2

O

x0

x

1 1 2 3

16. (本小题满分 14 分) 如图所示,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1B 1B 为正 方形, BB1C1C 是菱形,平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C . (1)求证: BC // 平面 AB1C1 ; (2)求证: B1C ? AC1 ; (3)设点 E , F , H , G 分别是 B1C, AA 1, A 1B 1, B 1C1 的中 点,试判断 E , F , H , G 四点是否共面,并说明理 由.
A B A1 B1 C C1

17. (本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1)求 BC 的长度; (2)在线段 BC 上取一点 P( 点 P 与点 B, C 不重合) ,从点 P 看 这两座建筑物的视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点

D A

P 在何处时, ? ? ? 最小?
?
B P
?

C

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P( . , ) .右焦点为 F,点 N(2,0) 2 a b 2 2 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动弦 AB 与 x 轴垂直,求证:直线 AF 与直线 BN 的交点 M 仍在椭圆 E 上.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

ex . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (2)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? bx ,其中 b 为实常数,试讨论函数 F ( x) 的零点个数,并证明你的结论.

20. (本小题满分 16 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ( p 为常数, n ? 1, 2,3, (1)若 S3 ? 12 ,求 Sn ; (2)若数列 {an } 是等比数列,求实数 p 的值. (3)是否存在实数 p ,使得数列 { ) .

1 } 满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等 an

差数列?若存在,求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,说明理由.

第 II 卷 (附加题
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, P 是

分值 40 分)

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... .......

O 外一点, PD 为切线,割线 PEF 经过圆心 O ,

若 PF ? 12 , PD ? 4 3 ,求 ? EFD 的度数.

B.选修 4—2:矩阵与变换 将曲线 y=2sin4x 经矩阵 M 变换后的曲线方程为 y=sinx,求变换矩阵 M 的逆矩阵.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ),曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4 cos ? . ? y ? t sin ?

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b ? 0 且 a ? b ? 1 ,求证: 2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤ 2 2 .

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N 分别是 CC1、 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 ( ? ? R) . (1)证明:PN⊥AM; (2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的角为 45° ,试确定点 P 的位置.

23. (本小题满分 10 分) 已知数列{an}满足: a1 ? 2a ? 2, an ?1 ? a an ?1 ? 1(n ? N* ) . (1)若 a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式; (2)若 a ? 3 ,试证明:对 ?n ? N* ,an 是 4 的倍数.

2015 年江苏高考考前数学押题卷(一)
第Ⅰ卷
1 , 0) 2

参考答案与解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. {x ? R | 0 ? x ? 2} 8. ?3 解析: 9. 2? 2.5 3. (? 4.充分不必要 5.2 12. ?1, 3? 6.0.625 7.2

10.

4?3 3 10

11. (??, ?1] [1, ??)

13.

1 2

14.

l2 . 2(1 ? k 2 )

z ? z ?5 2. z ? ?2 ? i,
2

2

4. l1 ∥l2 ? a ? ?3或a ? 0 , 7 .由题意 f ( x) ? x ? a ? x ? b 为偶函数,故 a ? b ? 0 ,又 f ( x ) 的最小值为 2 ,所以 a ? b ? 2 ,所以
a 2 ? b2 ? 1

? 4?3 3 ? 4 ? 3 10. cos(2? ? ) ? ? ? ? sin 2? , cos(? ? ) ? 0,? cos 2? ? ,故 sin(2? ? ) ? 3 10 2 5 4 5
12.设 PF2 ? x , x ? 13.

4a2 ? 4a ≥ 8a ,所以 x ? 2a ≥ c ? a ,所以 1 ? e ≤ 3 x

2 2 14 14 a12 ? a2 ? a3 d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 14 =t , t 为正整数,所以 q 2 ? q +1 ? =0 , ,令 ? 2 ? 2 2 2 2 2 t 1? q ? q b1 ? b2 ? b3 d ? d q ? d q 1? q ? q

?1 ? ?3 ?

解得 q ?

2

56 t ,经验证 t =8 时, q ? 1 2

y B

14.如图,以 B 为原点,BD 为 x 轴建立直角坐标系 xBy.设 A(x,y),y>0. 因 AD=kAC =kAB,故 AD2=k2AB2,于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2). 所以, y 2 ?
l 2 k l ) ? 2 2 1? k2 1? k2 ≤ k l , 2 (1 ? k 2 ) 2 1? k
2 2

A D

x C

?(1 ? k ) x ? 2lx ? l = 1? k2
2 2 2

?(1 ? k 2 )( x ?

于是, ymax ?

kl 2 1 l2 kl ( S ) ? ( S ) ? ( S ) ? , , . ?ABD max ?ABC max ?ABD max 2(1 ? k 2 ) k 2(1 ? k 2 ) 1? k2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1) ? 的值是

π 5 . x0 的值是 . 6 3 π π π π 1 1 ) .因为 x ? [? , ] ,所以 ? ≤ πx ? ≤ . 3 2 3 3 6 2

(2)由(1)可知: f ( x ) ? cos( πx ? 所以 当 πx ?

π 1 ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) 取得最大值 1 ; 3 3

当 πx ?

π π 1 ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值 0. 3 6 2

16.证明: (1)在菱形 BB1C1C 中, BC ∥ B1C1 . 因为 BC ? 平面 AB1C1 , B1C1 ? 平面 AB1C1 , 所以 BC // 平面 AB1C1 . (2)连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1 中, AB ^ BB 1. 因为 平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C , 平面 AA 1B 1B 平面 BB1C1C ? BB1 , AB ? 平面 ABB1 A 1,
B A A1 B1 C C1

所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ^ B1C . 在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 , BC1 因为 AC1 ? 平面 ABC1 , 所以 B1C ? AC1 . (3) E , F , H , G 四点不共面. 理由如下: 因为 E , G 分别是 B1C, B1C1 的中点, 所以 GE ∥ CC1 . 同理可证: GH ∥ C1 A1 .
C

AB = B ,所以 B1C ^ 平面 ABC1 .

C1 E

G

GH ? 平面 EHG , GE 因为 GE ? 平面 EHG ,

GH = G ,
A

B H F A1

B1

CC1 ? 平面 AAC 1C1 ? 平面 AAC 1 1C , A 1 1C ,
所以 平面 EHG ∥平面 AAC 1 1C . 因为 F ? 平面 AAC 1 1C , 所以 F ? 平面 EHG ,即 E , F , H , G 四点不共面.

17.解: (1)作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x ,

9 6 + tan ?CAE + tan ?DAE x x ? 1, ? 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ? 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE 1 ? 9 ? 6 x x
化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 答: BC 的长度为 18m . (2)设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 . 9 15 ? t + 18 t ? 135 ? t + 18 t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t ? , ,令 f ?(t) ? 0 ,因为 0 ? t ? 18 ,得 t ? 15 6 ?27 , f ( t ) ? (t 2 ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135

当 t ? (0,15 6 ? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数; 当 t ? (15 6 ? 27,18) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数, 所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值, 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. 18. (1)解:因为 e ?

? 2

? 2

2 ,所以 a ? 2c ,b=c, 2
x2 y2 ? ? 1. 2b 2 b 2
1 3 ? ? 1, 4 4

即椭圆 E 的方程可以设为
2

将点 P 的坐标代入得: b ?

所以,椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)证明:右焦点为 F(1,0) ,设 A( x0 , y0 ) ,由题意得 B( x0 , ? y0 ) . 所以直线 AF 的方程为: y ? 直线 BN 的方程为: y ?

y0 ( x ? 1) , x0 ? 1




? y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

①、 ②联立得,

y0 ? y0 ( x ? 1) ? ( x ? 2) , x0 ? 1 x0 ? 2

即x?

3x0 ? 4 y0 3x0 ? 4 y0 ,在代入②得, y ? . ( ? 1) ,即 y ? x0 ? 1 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3 3x0 ? 4 y0 , ). 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3


所以点 M 的坐标为 (

又因为

2 2 y (3x0 ? 4)2 ? 2 y0 xM 1 3x ? 4 2 2 ? yM ? ( 0 ) ? ( 0 )2 ? 2 2 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3 2(2 x0 ? 3)2

将 y0 ? 1 ?
2

2 x0 代入③得, 2
2

2 x0 (3x0 ? 4) ? 2(1 ? ) 2 2 2 xM 2 2 ? 8 x0 ? 24 x0 ? 18 ? 2(2 x0 ? 3) ? 1 . ? yM ? 2 2(2 x0 ? 3) 2 2(2 x0 ? 3) 2 2(2 x0 ? 3) 2

所以点 M 在椭圆 E 上. 19. (1)解: f '( x) ?

ex x ? ex . 因为切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) , x2

e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 ,解得: x0 ? 2 . 2 x0 x0
(2)证明:设 g ( x) ? 令 g '( x) ?

f ( x) e x e x ( x 2 ? 2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 g '( x) ? . x4 x x e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 2 . x4

x 在 (0, ??) 上变化时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下表

所以 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最小值 所以 当 x ? 0 时, g ( x) ?

e2 . 4

e2 4

1 ,即 f ( x) ? x .

ex (3)解: F ( x) ? 0 等价于 f ( x) ? bx ? 0 ,等价于 2 ? b ? 0 .注意 x ? 0 . x

ex e x ( x ? 2) ? ( x ? 0) . 令 H ( x ) ? 2 ? b ,所以 H ( x) ? x3 x
(I)当 b ? 0 时, H ( x) ? 0 ,所以 H ( x ) 无零点,即 F(x)定义域内无零点. (II)当 b ? 0 时, (i)当 x ? 0 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增;
? 1 ) ? be 因为 H ( x ) 在 (??, 0) 上单调递增,而 H (? b
1 b

1 b

?b ? b?

1? e e
1 b

1 b



又e

? 1 ,所以 H (?

1 ) ? 0. b

? 1 又因为 H (? ) ? nbe nb
1 nb

1 nb

?b ? b?

n?e e
1 nb

1 nb

,其中 n ? N ,取 n ? ? ? ? 3 , ? ? 表示 的 b b b

?

?1? ? ?

?1? ? ?

1

整数部分.所以 1 ? e

? e , n ? 3 ,由此 H (?

1 ) ? 0. nb

由零点存在定理知, H ( x ) 在 (??, 0) 上存在唯一零点. (ii)当 0 ? x ? 2 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递减; 当 x ? 2 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增. 所以当 x ? 2 时, H ( x ) 有极小值也是最小值, H (2) ? ①当 H (2) ? ②当 H (2) ? ③当 H (2) ?

e2 ?b. 4

e2 e2 ? b ? 0 ,即 0 ? b ? 时, H ( x ) 在 (0, ??) 上不存在零点; 4 4 e2 e2 ? b ? 0 ,即 b ? 时, H ( x ) 在 (0, ??) 上存在惟一零点 2;………12 分 4 4 e2 e2 ? b ? 0 ,即 b ? 时,由 e 4 4
1 b

? 1有 H (

1 ) ? be b

1 b

? b ? b(e

1 b

? 1) ? 0 ,

而 H (2) ? 0 ,所以 H ( x ) 在 (0, 2) 上存在惟一零点; 又因为 2b ? 3 , H (2b) ? 令 h(t ) ? e ?
t

e 2b e2b ? 4b3 ? b ? . 4b 2 4b 2

1 3 3 t ,其中 t ? 2b ? 2 , h?(t ) ? et ? t 2 , h??(t ) ? et ? 3t , h???(t ) ? et ? 3 , 2 2

所以 h???(t ) ? e2 ? 3 ? 0 ,因此 h??(t ) 在 (2, ??) 上单调递增,从而 h??(t ) ? h(2) ? e2 ? 6 ? 0 , 所以 h?(t ) 在 (2, ??) 上单调递增,因此 h?(t ) ? h?(2) ? e ? 6 ? 0 ,
2

故 h(t ) 在 (2, ??) 上单调递增,所以 h(t ) ? h(2) ? e2 ? 4 ? 0 . 由上得 H (2b) ? 0 ,由零点存在定理知, H ( x ) 在 (2, 2b) 上存在惟一零点,即在 (2, ??) 上存在 唯一零点. 综上所述:当 b ? 0 时,函数 F(x)的零点个数为 0; 当0 ? b ? 当b ? 当b ?

e2 时,函数 F(x)的零点个数为 1; 4

e2 时,函数 F(x)的零点个数为 2; 4 e2 时,函数 F(x)的零点个数为 3. 4

20.解: (1)因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ,

所以 2a2 ? 2a1 ? p ? 2 ? p , 2a3 ? 2a2 ? p ? 2 ? 2 p . 因为 S3 ? 12 , 所以 2 ? 2 ? p ? 2 ? 2 p ? 6 ? 3 p ? 24 ,即 p ? 6 . 所以 an?1 ? an ? 3(n ? 1, 2,3,

).

所以 数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. 所以 Sn ? 1? n ?

n(n ? 1) 3n 2 ? n ?3 ? . 2 2

2 (2)若数列 {an } 是等比数列,则 a2 ? a1a3 .

由(1)可得: (1 ?

p 2 ) ? 1? (1 ? p ) .解得: p ? 0 . 2

当 p ? 0 时,由 2an?1 ? 2an ? p 得: an?1 ? an ?

? 1.

显然,数列 {an } 是以 1 为首项,1 为公比的等比数列. 所以 p ? 0 . (3)当 p ? 0 时,由(2)知: an ? 1(n ? 1, 2,3, 所以

).

1 1 ? 1(n ? 1, 2,3, ) ,即数列 { } 就是一个无穷等差数列. an an

所以 当 p ? 0 时,可以得到满足题意的等差数列. 当 p ? 0 时,因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ,即 an ?1 ? an ? 所以 数列 {an } 是以 1 为首项, 所以 an ?

p , 2

p 为公差的等差数列. 2

p p n ?1? . 2 2

下面用反证法证明:当 p ? 0 时,数列 {

1 } 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列. an

假设存在 p0 ? 0 , 从数列 { 公差为 d .

1 } 中可以取得满足题意的无穷等差数列, 不妨记为 {bn } . 设数列 {bn } 的 an

①当 p0 ? 0 时, an ? 0(n ? 1, 2,3,

).

所以 数列 {bn } 是各项均为正数的递减数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ? 1)d (n ? 1, 2,3,

),

所以 当 n ? 1 ?

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d p0 p 2 n ? 1 ? 0 ? 0 ,解得: n ? 1 ? . 2 2 p0

②当 p0 ? 0 时,令 所以 当 n ? 1 ?

2 时, an ? 0 恒成立. p0

所以 数列 {bn } 必然是各项均为负数的递增数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ? 1)d (n ? 1, 2,3, 所以 当 n ? 1 ?

),

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d

综上所述, p ? 0 是唯一满足条件的 p 的值.

第 II 卷
A.选修 4—1:几何证明选讲 解:连结 DO ,

参考答案与解析

21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ......

PD 为切线, PEF 为割线,? PD 2 ? PE ? PF ,



PD ? 4 3 , PF ? 12 ,? PE ?

PD2 ? 4 ,? EF ? PF ? PE ? 8 , EO ? 4 , PF

PD 为切线, D 为切点,? OD ? PD

在 Rt PDO 中, OD ? 4 , PO ? PE ? EO ? 8 ,
? ?DPO ? 30 , ?DOP ? 60 ,
1 OD ? OF ,? ?EFD ? ?DOP ? 30 . 2

B.选修 4—2:矩阵与变换 4x? x? ? y? ? ? ? 解:由条件知点(x,y)在矩阵 M 作用下变换为点?4x,2?,即 M? ?= y ?, ?y? ? ? ?2 ?

? 4 0 ? ? 所以 M=? ? 0 1 ?, ? 2 ? ? 4 0 ? a b a b ? ? ?=? 1 0 ?, -1 ? ? 设 M =? ?,于是有 MM =? ? ? 1 ? ? 0 ? ? c d ? ? c d ? ? ? 0 1 ? ? 2 ?
-1

1 a= ? 4b=0 4 ? ?c ? 1 ? b = 0 所以? =0 ,解得? ,所以 M 的逆矩阵为? 4 ? 2 ? 0 c=0 d ?d=2 ? ? ?2=1 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(1)由 ? sin 2 ? ? 4 cos ? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4 ? cos ? 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x .

4a=1

0 ? ?

?. 2 ?

(2)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 4 x ,得 t 2 sin 2 ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 . 设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ∴ AB ? t1 ? t 2 ? 当? ?

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

16 cos 2 ? 16 4 ? ? , 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?

?
2

时, AB 的最小值为 4.

D.选修 4—5:不等式选讲

解:

?

2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤ ? 2a ? 1 ? 2b ? 1? ?12 ? 12 ? ? 8 ,
2

?

?

2a ? 1 ? 2b ?1 ≤ 2 2 .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)证明:如图,以 AB,AC,AA1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz. 1 1 1 则 P(λ,0,1) ,N( , ,0) ,M(0,1, ) , 2 2 2 1 1 1 从而 PN =( -λ, ,-1) , AM =(0,1, ) ,P NA M ? 2 2 2 以 PN⊥AM; (2)平面 ABC 的一个法向量为 n= AA . 1 =(0,0,1) 设平面 PMN 的一个法向量为 m=(x,y,z) , 1 由(1)得 MP =(λ,-1, ) . 2 1 1 1 =( -λ)×0+ × 1-1× =0,所 2 2 2

1 1 ? (? ? ) x ? y ? z ? 0, ? ? m ? NP ? 0, ? 2 2 由? 得? ? 1 ? ?m ? MP ? 0, ??x ? y ? z ? 0. ? 2 ?

2? ? 1 ? y? x, ? ? 3 解得 ? 令x ? 3, 得m ? (3,2? ? 1,2(1 ? ? )) . 2 ( 1 ? ? ) ?z ? x. ? 3 ?
∵平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45° , ∴|cos〈m,n〉|=| 1 解得 λ=- . 2 1 故点 P 在 B1A1 的延长线上,且|A1P|= . 2 23.解: (1)当 a ? ?1 时, a1 ? ?4, an ?1 ? (?1) an ?1 ? 1 . 令 bn ? an ? 1 ,则 b1 ? ?5, bn ?1 ? (?1)bn . 因 b1 ? ?5 为奇数, bn 也是奇数且只能为 ?1 ,
??5, n ? 1, ??4, n ? 1, 所以, bn ? ? 即 an ? ? ??1, n ? 2, ?0, n ? 2.

|2(1-λ)| m· n 2 |= = , 2 2 |m|· |n| 2 9+(2λ+1) +4(1-λ)

(2)当 a ? 3 时, a1 ? 4, an ?1 ? 3an ?1 ? 1 . 下面利用数学归纳法来证明:an 是 4 的倍数. 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 4 ? 1 ,命题成立; 设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,则存在 t ? N*,使得 ak ? 4t ,

? ak ?1 ? 3ak ?1 ? 1 ? 34t ?1 ? 1 ? 27 ? (4 ? 1) 4(t ?1) ? 1 ? 27 ? (4m ? 1) ? 1 ? 4(27 m ? 7) ,
4t ?5 其中, 4m ? 44(t ?1) ? C1 ? 4( t ?1) ? 4 4t ? 4 ? r ? (?1) r C r ? 4( t ?1) ? 4 t ?3 ? C4 4( t ?1) ? 4 ,

? m ? Z ,? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.
? 由数学归纳法原理知命题对 ?n ? N* 成立.

2015 年江苏高考考前数学押题卷(二)
第Ⅰ卷 (必做题
苏州市高中数学学科基地

分值 160 分)

苏州市高中数学命题研究与评价中心

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.函数 f ( x) ? log 2 (2 x ?1) 的定义域为 2.若复数 ▲ . ▲ .

a?i 是实数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是 2?i


3.在大小相同的 4 个小球中,2 个是红球,2 个是白球,若从中随机抽取 2 个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 4.若 cos ? ? .

?

?
3

? ,则 sin ? 2?? ? = ??1 3 6




▲ .

5.如图所示的流程图,若输入 x 的值为 ?5.5 ,则输出的结果 c ?

? x ≥1 ? 6.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 3 若 z ? ax ? y 取得最小值时的最优解有无数个, ?x ? 2 y ? 3≤ 0 ?
则a ? ▲ . ▲ .

7.给出下列命题:其中,所有真命题的序号为

(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m ,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确的是 8.设斜率为 ▲ .
2 2

x y 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点 P、Q,若点 P、Q 在 x 轴上的射 2 a b
▲ . ▲ . ▲ .

影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为

9.已知等比数列 {an } 各项都是正数,且 a4 ? 2a2 ? 4, a3 ? 4 ,则 {an } 前 10 项的和为
2 2 2

10.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,a ? b ? 2c ,则角 C 的取值范围是 11. 如图, 函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? (? ? 0,

? ? ? ? ? ) 的部分图象, 其中 A,B 2
▲ ▲ . .

分别是图中的最高点和最低点,且 AB ? 5 ,那么 ? ? ? 的值为 12.若

1 m ? ≥ 4 对任意的 x ? (0,1) 恒成立,则 m 的取值范围为 x 1? x
2 2 2

13.若正实数 a,b,c 满足 3a ? 10ab ? 8b ? c ,且 a>b,若不等式 5a+6b≥kc 恒成立,则实数 k 的最 大值为 ▲ .

14. 设三角形 ABC 的内角 A、 B、 C 所对边 a、 b、 c 成等比数列, 则

sin A ? cos A tan C 的取值范围是 sin B ? cos B tan C





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 a=( 3 ,sinθ)与 b=(1,cosθ)互相平行,其中 θ∈(0, (1)求sinθ和cosθ的值;[来源:学.科.网Z.X.X.K] (2)求 f(x)=sin(2x+θ)的最小正周期和单调增区间.

?
2

).

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥的底面 ABCD 是平行四边形, PA ? 平面 ABCD , M 是 AD 中点, N 是 PC 中点, (1)求证: MN // 面 PAB ; (2)若面 PMC ? 面 PAD ,求证: CM ? AD .

P

A B

N

M

D

C

17. (本小题满分 14 分) 如图,某小区有一矩形地块 OABC,其中 OC ? 2 , OA ? 3 (单位百 米) . 已知 OEF 是一个游泳池, 计划在地块 OABC 内修一条与池边 EF 相切于点 M 的直路 l(宽度不计) ,交线段 OC 于点 D ,交线段 OA 于 点 N .现以点 O 为坐标原点,线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直
x 角坐标系, 若池边 EF 满足函数 y ? ? x 2 ? 2 0剟

y A N E B M F DC

?

2 的图象. 若点 M

?

到 y 轴距离记为 t . (1)当 t ?

O

x

2 时,求直路 l 所在的直线方程; 3

(2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含 泳池那侧的面积取到最大,并求出最大值.

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2 ? 1 ,离心率为

e?

2 ﹒ 2

y

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 ?1 , 0 ? 作斜率为 k 的直线 l 交 E 于 A 、 P 两点, 点 B 是点 A 关于 x 轴的对称点,求证直线 BP 过定点,并 求出定点坐标﹒
O B P x

A

19. (本小题满分 16 分) 在数列{an}中, an ?

1 (n∈N*).从数列{an}中选出 k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{bn},并称 n 1 1 1 1 2 3 5 8

{bn}为数列{an}的 k 项之列.例如数列 ,,, 为{an}的一个 4 项子列. (1)试写出数列{an}的一个 3 项子列,并使其为等差数列; (2)如果{bn}为数列{an}的一个 5 项子列,且{bn}为等差数列,证明:{bn}的公差 d 满足 ? ? d ? 0 ; (3)如果{cn}为数列{an}的一个 m(m≥3)项子列,且{cn}为等比数列, 证明:c1+c2+c3+……+cm≤2-

1 8

1 2
m ?1



20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ?

m . x

(1)若 m ? 2, 求 f ( x) 的最值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)已知 A, B 是 f ( x) 图像上的二个不同的极值点,设直线 AB 的斜率为 k . 求证: k ? ?1

第 II 卷 (附加题

分值 40 分)

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... ....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, 已知 AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的弦,?BAC 的平分线 AD 交 ⊙ O 于 D ,过点 D 作 DE ? AC 交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于 点 F .若 C F A O B E D

AC 3 AF ? ,求 的值. AB 5 FD

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?1 b? ?1 ? 有特征值 ?1 ? ?1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? . ? ??1? ?c 2?

(1)求矩阵 M ; (2)求曲线 5x 2 ? 8xy ? 4 y 2 ? 1 在 M 的作用下的新曲线方程.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单
?x=t+1, ? 位.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,求直线 l 被圆 C 截得 ?y=t-3 ?

的弦长.

D.选修 4—5:不等式选讲
2 2 已知 x ? y ? 2 ,且 x ? y ,求

1

? x ? y?

2

?

1

? x ? y?

2

的最小值.

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA, OB, OC 两两垂直,且 OA ? 1, OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求二面角 A ? BE ? C 的正弦值.
A

O

E

C

B

23. (本小题满分 10 分) 设整数 n ≥ 3 ,集合 P ? {1, 2,
, n}, A, B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满足 A 中的最大数小于 B 中

的最小数的集合对 ( A, B) 的个数. (1)求 a3 ; (2)求 an .

2015 年江苏高考考前数学押题卷(二)
第Ⅰ卷
1 2
5 6
7 9

参考答案与解析
1 6.- 2

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ( , ??) 2.2 10. (0, 3. 4. ? 5.1 7. ?1? 、 ? 3? 、 ? 4 ? 13. 2 2 14. ( 8.

2 2

9.1023 解析:

?
3

]

11.

7? 6

12. m ≥ 1

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

1.只要解不等式 2 x ? 1 ? 0 3.任意取两个球的种数有 6 种,取出两个都是白色的有 2 种, P ? 1 ?

1 6
1 2

6.直线 y=-ax+z 与可行域(三角形)下边界 x-2y-3=0 重合时 z 最小,a=- 8.设点 P、Q 在 x 轴上的射影分别为焦点 F1、F2,|PF1|= 从而|PF2|= | PF1 |2 ? | F1 F2 |2 =

2 c(其中 c 为|OF1|的长), 2

3 2 2 c ,所以 2a=|PF1|+|PF2|= 2 2c ,得 e= . 2 2

9.由条件得 a1 ? 1, q ? 2 ,则 S10 ? 1023 10. cos C ? 11. 3 ?

? a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 2ab 1 ? ≥ ? ,又因为 C ? (0, ? ) ,得 C ? (0, ] 3 2ab 4ab 4ab 2

T 2? ? 5? ,T ? ? 6, 得 ? ? ,又当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ,得 ? ? 2 ? 3 6 1 ? x mx 1 m 1 m ? ?( ? )( x ? 1 ? x) ? m ? 1 ? ? ≥ m ?1? 2 m x 1? x x 1? x x 1? x

12.由题意可知 m ? 0 ,

? m ? 1 ? 2 m ≥ 4 ,? m ≥ 1
13. 由已知,(a ? 4b)(3a ? 2b) ? c2 ,a ? 4b ? 0,

3a ? 2b ? 0 ,5a ? 6b ? 2(a ? 4b) ? (3a ? 2b) ≥ 2 2c

k ≤(
14.

5a ? 6b ) min ? 2 2 c

sin A ? cos A tan C sin A cos C ? cos Asin C sin( A ? C ) sin(? ? B) sin B b = = = = = sin B ? cos B tan C sin B cos C ? cos B sin C sin( B ? C ) sin(? ? A) sin A a
设 a、b、c 的公比为 q,则 b=aq,c=aq2,又 a、b、c 能构成三角形的三边,所以有

?1 ? 5 1? 5 ?q? ? 2 ? 2 ?a ? aq ? aq 2 ? ? 2 5 ?1 5 ?1 1? 5 5 ?1 ? ?q? ,即 . 或q ? ?aq ? aq ? a ,解得 ?q ? ? 2 2 2 2 ? ? 2 ?a ? aq ? aq ?q ? R ? ? ?
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1)因为向量 a 与 b 平行,则 sinθ= 3 cosθ,tanθ= 3 ,又 θ∈(0, 所以 θ=

?
2

),

?
3

,所以 sinθ=

3 1 ,cosθ= ; 2 2

(2)由 f(x)=sin(2x+θ)= sin(2 x ? 由 2k? ?

?
3

) ,得最小正周期 T ? ? ,

?
2

≤ 2x ?

?
3

≤ 2k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

5? ? ≤ x ≤ k? ? , k ? Z , 12 12

所以 f(x)的单调增区间为 [k? ?

5? ? , k? ? ], k ? Z . 12 12

16.证明: (1)取 PB 中点 E ,连 EA , EN , ?PBC 中, EN // BC 且 EN ? 又 AM ?

1 BC , 2

1 // AM ,四边形 ENMA 是平行四边形, AD , AD // BC , AD ? BC 得 EN ? 2

得 MN // AE , MN ? 面 PAB , AE ? 面 PAB ,? MN // 面 PAB (2)过点 A 作 PM 的垂线,垂足为 H , 面 PMC ? 面 PAD ,面 PMC 面 PAD ? PM , AH ? PM , AH ? 面 PAD

? AH ? 面 PMC , CM ? 面 PMC ,? AH ? CM PA ? 平面 ABCD , CM ? 平面 ABCD ,? PA ? CM

PA

AH ? A , PA 、 AH ? 面 PAD , CM ? 面 PAD ,

AD ? 面 PAD ,? CM ? AD
14 , ?, ?2 3 9

17.解: (1)由题意得 M

又因为 y? ? ?2 x ,所以直线 l 的斜率 k ? ? 即 y??

4 14 4 2 , 故直线 l 的方程为 y ? ? ? x ? , 9 3 3 3

? ?

4 22 . x? 3 9

(2)由(1)易知 l : y ? (2 ? t 2 ) ? ?2t ( x ? t ) ,即 y ? ?2tx ? t 2 ? 2 . 令y?0得x?

1 2 t ? ,令 x ? 0 得 y ? t 2 ? 2 . 2 t

? ?

2 ?1 ? t ? ≤2 , 由题意 ? 2 解得 2 ? 2 ≤ t ≤1 . t 2 ? ?t ? 2 ≤ 3

? ?

1 1 2 1 4 ? S?ODN ? ? t ? ? t 2 ? 2? ? t 3 ? 4t ? . 2 2 t 4 t
2 2 1 2 4 3t 4 ? 4t 2 ? 4 ? t ? 2 ?? 3t ? 2 ? 1 3 4 令 g ? t ? ? t ? 4t ? ,则 g ? ? t ? ? 3t ? 4 ? 2 ? . ? 4t 2 4 t 4 t 4t 2

? ?

?

?

? ? 6 6 ? 0 ;当 t ? ? 2 ? 当t ? 时, g ? ? 3 3 ? ?

?

2,

6 6 ? 0; 时, g ? 3 3

?

? ?

∴所求面积的最大值为 6-

8 6. 9

?a ? c ? 2 ? 1 ? x2 y 2 18.解: (1)设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得: ? c 2 a b ? ? 2 ? a
? a? 2 ? ?? ? ? c ?1
?b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,? 椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x1 , ? y1 ? ,则 x1 ? 1 , 直线 AP : y ?

y1 ( x ? 1) ,与椭圆方程 x2 ? 2 y 2 ? 2 联立, x1 ? 1
2 2

得 ? 2x1 ? 3? x ? 4 y1 x ? 3x1 ? 4x1 ? 0 ,得 xP ?
2

3x1 ? 4 , 2 x1 ? 3

点 P 在直线 AP 上,则 yP ? 直线 BP 方程: y ? y1 ? 则直线 BP 过定点 (2, 0)

y1 , 2 x1 ? 3

y1 y1 ( x ? x1 ) ,化简得: y ? ( x ? 2) , ?( x1 ? 2) ?( x1 ? 2)

19.解: (1)3 项子列 , , ;(答案不唯一) (2)由题意,知 1≥b1>b2>b3>b4>b5>0,所以 d=b2-b1<0. 若 b1=1,若{bn}为{an}的一个 5 项子列,得 b2≤

1 1 1 2 3 6

1 1 1 ,所以 d=b2-b1≤ -1=- , 2 2 2 1 1 ,与 d≤- 矛盾,所以 b1≠1. 4 2

又 b5=b1+4d,b5>0,所以 4d=b5-b1=b5-1>-1,即 d>-

所以 b1≤

1 1 1 1 ,因为 b5=b1+4d,b5>0,所以 4d=b5-b1≥b5- >- ,即 d>- , 2 2 2 8

所以 ? ? d ? 0 . (3)由题意,设{cn}的公比为 q,则:c1+c2+c3+……+cm=c1(1+q+q2+……+qm 1),


1 8

因为{cn}为{an}的一个 m 项子项,所以 q 为正有理数,且 q<1,c1= 设 q=

1 ≤1(a∈N*), a

K ( K , L ? N * ,且 K,L 互质,L≥2), L 1 1 - ≤ ,所以 c1+c2+c3+……+cm=c1(1+q+q2+……+qm 1)≤ L 2

当 K=1 时,因为 q= 1+

1 1 1 1 + ( )2 +……+ ( )m?1 =2- m?1 ; 2 2 2 2


当 K≠1 时,因为 cm=c1qm 1=

1 K m ?1 - ? 是{an}的项,且 K、L 互质,所以 a=Km 1× M(M∈N*) a Lm ?1


所以 c1+c2+c3+……+cm=c1(1+q+q2+……+qm 1)= 因为 L≥2,M∈N*,所以 c1+c2+c3+……+cm≤1+ 综上,c1+c2+c3+……+cm≤2- 20.解: (1)当 m ? 2 时, f ?( x) ?

1 1 1 1 ( m?1 ? m?2 ? m?3 2 ? M K K L K L

?

1 ) Lm?1

1 1 1 1 + ( )2 +……+ ( )m?1 =2- m?1 ; 2 2 2 2

1 2
m ?1



?( x 2 ? x ? 2) ?( x ? 2)( x ? 1) ? ? 0 ,? x ? 2 x2 x2

? f ( x) 在 ?0,2? 上单调递增,在 ?2,??? 上单调递减 ? f ( x) max ? f (2) ? ln 2 ? 3
1 m ? ( x 2 ? x ? m) (2) f ?( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x2
1 4

( x ? 0)

i: ? ≤ 0时,即m ≤ ? 时 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 ?0,??? 上单调递减. ii: f ?( x) ? 0 时 x1 ? ① 当?

1 ? 1 ? 4m 1 ? 1 ? 4m , x2 ? 2 2

1 ? m ? 0 时, 0 ? x1 ? x2 4

? 1 ? 1 ? 4m 1 ? 1 ? 4m ? ? 1 ? 1 ? 4m ? ? 上单调递减,在 ? 0 , , ? f ( x) 在 ? ? ? ? ? ? 上单调递增, 2 2 2 ? ? ? ?
在?

? 1 ? 1 ? 4m ? ,?? ? ? ? 上单调递减. 2 ? ?

② 当 m ≥ 0 时, x1 ? 0 ? x2

? 1 ? 1 ? 4m ? ? 1 ? 1 ? 4m ? ? 上单调递增,在 ? ? 上单调递减. 0 , , ?? ? f ( x) 在 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
(3)设 A( x1 , f ( x1 ), B( x2 , f ( x2 ) 则 x1 , x2 是方程 x ? x ? m ? 0 的二个根,且 x1 ? x2 ? ?m , 0 ? x1 ? x2 ? 1
2

?k ?
?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2

ln x1 ? x1 ?

m m ? (ln x2 ? x2 ? ) x1 x2 x1 ? x2

ln x1 ? ln x2 m ln x1 ? ln x2 ?1? ? ?2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
(0 ? x ? 1) ,? g ?( x) ?

令 g ( x) ? ln x ? x

1 1? x ?1 ? ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,1? 上单调递增 x x

? 0 ? x1 ? x2 ? 1,? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 即 ln x1 ? x1 ? ln x2 ? x2
? ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 ,? ? k ? ?1
ln x1 ? ln x2 ?1 x1 ? x2

第 II 卷
A.选修 4—1:几何证明选讲 解:连接 OD,BC,设 BC 交 OD 于点 M.

参考答案与解析

21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ......

因为 OA=OD,所以 ? OAD= ? ODA;又因为 ? OAD= ? DAE,所以 ? ODA= ? DAE 所以 OD//AE;又 因为 AC ? BC,且 DE ? AC,所以 BC//DE. 所以四边形 CMDE 为平行四边形,所以 CE=MD 由

AC 3 3 5 ? ,设 AC=3x,AB=5x,则 OM= x ,又 OD= x , AB 5 2 2

所以 MD=

5 3 AF AE 4 x 8 x - x =x,所以 AE=AC+CE=4x,因为 OD//AE,所以 = ? ? . 2 2 FD OD 5 x 5 2
?1 b? ?1 ? ?? 1? ? ? ? ? ? ? ,即 1 ? b ? ?1, c ? 2 ? 1 , ?c 2? ?? 1? ?1 ?

B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1)由已知 ?

?1 3? ? b ? 2, c ? 3 ,所以 M ? ? ?; ?3 2?
(2)设曲线上任一点 P( x, y) , P 在 M 作用下对应点 P' ( x1 , y1 ) ,则 ?

? x1 ? ?1 2? ? x ? ??? ?? ? ? y1 ? ?3 2? ? y ?

y ?x ? x? 1 1 ? ? x1 ? x ? 2 y ? 2 2 2 即? ,解之得 ? ,代入 5x 2 ? 8xy ? 4 y 2 ? 1得 x1 ? y1 ? 2 , ? y1 ? 3x ? 2 y ? y ? 3 x1 ? y1 ? 4 ?
即曲线 5x ? 8xy ? 4 y ? 1在 M 的作用下的新曲线的方程是 x ? y ? 2 .
2 2 2 2

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
?x=t+1, ? 解:直线 l 的参数方程? (t 为参数)化为直角坐标方程是 y=x-4, ?y=t-3 ?

圆 C 的极坐标方程 ρ=4cos θ 化为直角坐标方程是 x2+y2-4x=0. 圆 C 的圆心(2,0)到直线 x-y-4=0 的距离为 d= 因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2-d2=2 2. 2 = 2.又圆 C 的半径 r=2, 2

D.选修 4—5:不等式选讲 解:

x 2 ? y 2 ? 2 ,? ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? 4 ,
2 2

?? x ? y ?

2

1 1 ? 2 ? ? ? x ? y? ? ? ≥4, 2 2 ? ? ( x ? y) ( x ? y) ?

?

?

1 1 ? ≥ 1 , 当且仅当 x ? ? 2 , y ? 0 ,或 x ? 0, y ? ? 2 时 2 ( x ? y) ( x ? y)2 1 1 的最小值是 1. ? 2 ( x ? y) ( x ? y)2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)以 O 为原点,分别以 OB,OC,OA 为 x,y,z 轴,建立直角坐标系 A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0)

EB ? (2, ?1,0), AC ? (0,2, ?1) ?cos ? EB, AC ?? ?
异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值为

2 5

2 . 5

(2) AB ? (2,0, ?1), AE ? (0,1, ?1) ,设平面 ABE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,

?2 x ? z ? 0 则由 n1 ? AB , n1 ? AE ,得 ? ?y ? z ? 0
平面 BEC 的法向量为 n2 ? (0,0,1)

取n1 ? (1, 2, 2)

2 5 . ?cos ? n1 , n2 ?? , 二面角 A ? BE ? C 的正弦值为 3 3
23.解: (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对,所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3,
1 k ?1 k ?1 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,…,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为: C0 , k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

B 中必不含元素 1,2,…,k,另元素 k ? 1,k ? 2,…,n 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

2015 年江苏高考考前数学押题卷(三)
第Ⅰ卷 (必做题
苏州市高中数学学科基地

分值 160 分)

苏州市高中数学命题研究与评价中心

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A={1,2,3,4,5},集合 B={x|x<a},其中 a ? Z ,若 A B={1,2},则 a= 2.若复数(1+i)z = 3 ? 4 i ( i 为虚数单位),则复数 z 的模| z | = ▲ . ▲ .

3.右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差 为 ▲ .
▲ .

4.右边是一个算法的伪代码,若输入 x 的值为 1,则输出的 x 的值是

5.有三张大小形状都相同的卡片,它们的正反面分别写有 1 和 2、3 和 4、5 和 6,现 将它们随机放在桌面上,则三张卡片上显示的数字之和大于 10 的概率是 ▲ .
6.已知 ?an ? 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 2a7 ? 3a15 ? a17 ? 3 ,则 S17 ? ▲ .

Read x If x>3 then x←x-3 Else x←3-x EndIf Print x

7.已知正四棱锥的底面边长是 2,这个正四棱锥的侧面积为 16,则该正四棱锥的体积 为 ▲ . ▲ .

8.设 ?,? ? ? ?,?? ,且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为 2 2 13

? x ≥ 1, ? 9.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 3, 则 z=2x+y 的最小值为 ▲ . ?2 y ≥ x ? 3, ?
10.若 ?x ? 2 ,不等式 x2 ? ? 6 ? a ? x ? 2a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ 11.椭圆 C: .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 , A 为椭圆上一点, AF1 ? AF2 ? 0 , AF2 与 y a 2 b2
▲ .

5 轴交与点 M ,若 F2 M ? MA ,则椭圆离心率的值为 4

2 3 2 12.已知二次函数 f ( x) ? ax ? (16 ? a ) x ?16a ( a ? 0 )的图象与 x 轴交于 A, B 两点,则线段 AB 长

度的最小值





13.如图,在正△ABC中,点G为边BC上的中点,线段AB,AC上的动点D,E 分 别 满 足 AD ? ? AB, AE ? (1 ? 2? ) AC (? ? R) , 设 DE 中 点 为 F , 记

FG BC

? R(? ) ,则 R (? ) 的取值范围为




2 2

2 14. 设二次函数 f ( x) ? ax ? (2b ? 1) x ? a ? 2(a ? 0) 在区间 [3, 4] 上至少有一个零点, 则 a ? b 的最小值



▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,且 a ? c ? b ? ac .
2 2 2

1 (1)若 cosA= ,求 sinC 的值; 3 (2)若 b= 7,a=3c,求三角形 ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AD ,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 45? , E、F 分别是棱 BC、PA 上的点, EF //平面 PCD , 平面PAE ? 平面PAD . (1)求证: EF ? BC ; (2)若 AF ? ? FP ,求实数 ? 的值.
F
A B C P

D

E

17. (本小题满分 14 分) 如图,有一景区的平面图是一半圆形,其中 AB 长为 2km,C、D 两点在半圆弧上,满足 BC=CD.设

?COB ? ? .
(1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当 θ 为何值时,观光道 路的总长 l 最长,并求 l 的最大值. (2)若要在景区内种植鲜花,其中在 ?AOD 和 ?BOC 内种满鲜花,在 扇形 COD 内种一半面积的鲜花, 则当 θ 为何值时, 鲜花种植面积 S 最大.
B O A C D

18. (本小题满分 16 分) 如图,设 A、B 分别为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右顶点,P 是椭圆 E 上不同于 A、B 的 a 2 b2

一动点,点 F 是椭圆 E 的右焦点,直线 l 是椭圆 E 的右准线.若直线 AP 与直线: x ? a 和 l 分别相交 于 C、Q 两点,FQ 与直线 BC 交于 M. (1)求 BM : MC 的值; (2)若椭圆 E 的离心率为
y P C Q M A O F B l x

3 ,直线 PM 的方程为 2

x ? 2 3 y ? 8 ? 0 ,求椭圆 E 的方程.

19. (本小题满分 16 分)

bn 1 已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 ? ,an ? bn ? 1,bn ?1 ? . 4 1 ? an 2
(1)求 b1 , b2 , b3 , b4 ;

? 1 ? (2)证明: ? ? 是等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? bn ? 1?
(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? an an?1 ,求实数 a 为何值时 4aSn ? bn 恒成立.

20. (本小题满分 16 分)

, 2)x ∈ (0 , 2) 时, f ( x) ? ln x ? ax ( a ? ? 已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ? 2) ? f (x ),当 x ? (0 x? (? 4, ? 2) 时, f ( x) 的最大值为 ? 4.
(1)求实数 a 的值; ( 2)设 b ≠0 ,函数 g ( x) ?

1 ) ,当 2

1 3 bx ? bx , x ? ( 1,) 2 .若对任意 x1 ? ( 1,) 2 ,总存在 x2 ? ( 1,) 2 ,使 3

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 0 ,求实数 b 的取值范围.

第 II 卷 (附加题
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲

分值 40 分)

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... .......

A

如图, PA 是圆 O 的切线, 切点为 A, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA= 3,PB=1 ,求∠ABC 的大小.
P B O C

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A=?

?3 ?c

?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?,属于特征值 1 的一个特征 ?1? d?

3?

? 3 ? 向量为 α2=? ?.求矩阵 A 和 A 的逆矩阵. ?-2?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

x=t cos ?+m x ? 5 cos? 已知直线 l: ? (t 为参数)恒经过椭圆 C: ? (?为参数)的右焦点 F. ? ? ? y=t sin ? ? y ? 3 sin ?
(1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|·|FB|的最大值与最小值.

D.选修 4—5:不等式选讲
已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=1,2a2+3b2+6c2+d2=25,求实数 d 的取值范围.

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)
如图,正方体 ABCD-A1B1C1 D1 的所有棱长都为 1,M、N 分别为线段 BD 和 B1C 上的两个动点. (1)求线段 MN 长的最小值; (2)当线段 MN 长最小时,求二面角 B-MN-C 的大小.
A D1 A1 B1 N D M B C C1

23. (本小题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? x e
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 ? x ? R? . 3

(1)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间; (2)当 x ? ?1, ?? ? 时,用数学归纳法证明: ?n ? N , e
*

x ?1

xn ? . n!

2015 年江苏高考考前数学押题卷(三)
第Ⅰ卷 参考答案与解析
4 15 3
1 100
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.3 8. ? 16 65 解析: 2.由|(1+i)z| =| 3 ? 4 i |和|(1+i)z| =|1+i||z| 可知|z|=
5 2. 2

2.

5 2 2

3.1.04

4.2

5.
10 4

1 2 12.12

6. 10.2

7.

9.1

10. a ≥ 2

11.

13. ? ,

?1

?2

7? ? 4 ?

14.

3.由题意知,只要求 83,84,84,85,86 的方差,得到 s2 ? 4.1<3,故 x=3-1=2.

1.42 ? 0.42 ? 0.42 ? 0.62 ? 1.62 ? 1.04 . 5

5.1+3+5=9,1+3+6=10,1+4+5=10,1+4+6=11,2+3+5=10,2+3+6=11,2+4+5=11,2+4+6=12 共 8 种其中和 大于 10 的有 4 种,故概率为

4 1 ? . 8 2

6.由条件得 5a9 ? 3 ,故 S17 ? 17a9 ? 10.2 9.作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值,由 ?

? x ? 1, ? x ? 1, 得? ∴zmin=2-1=1. ?2 y ? x ? 3, ? y ? ?1,

5 5 4 9 11.设 M (0, m) , A( x, y ) ,因为 F2 M ? MA ,所以 (?c, m) ? ( x, y ? m) ,解得 x ? ? c, y ? m , 4 4 5 5

x2 y2 c 9m 9c 9m 又因为 AF1 ? AF2 ? 0 ,所以 (? , ? )( , ? ) ? 0 ,解得 c 2 ? 9m2 ,因为点 A 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上, a b 5 5 5 5
所以

16 c 2 81 m 2 16 c 2 9 c2 ? ? 1 ? ? 1, , 即 又即 16c 4 ? 50a 2 c 2 ? 25a 4 ? 0 , 从而 16e4 ? 50e2 ? 25 ? 0 , 25 a 2 25 b 2 25 a 2 25 b 2

解得 e ?

10 . 4

2 2 12. 因式分解可得 f ( x) ? ( x ? a )(ax ? 16) , 于是 A, B 两点的坐标分别是 ( a , 0), ( ?

16 , 0) , 于是线段 AB a

2 的长度等于 a ?

16 16 16 2(a3 ? 8) 2 .记 F (a ) ? a ? , F '(a) ? 2a ? 2 ? ,于是 F ( a ) 在 (0, 2) 上单调 a a a a2 16 ? 12 . 2

2 递减,在 (2, ??) 上单调递增,从而 F ( a ) 的最小值就是 F (2) ? 2 ?

13. FG ?

1 1 3? 2 ? 1 EC ? DB ,不妨设三角形边长为 1,则 FG ? 2? AC ? (1 ? ? ) AB ? ,又由 2 2 2

?

?

点 D,E 分别在线段上可知 0 ≤ ? ≤1,0 ≤1 ? 2? ≤1, 即有 0 ≤ ? ≤

?1 7 ? 1 ,那么 R (? ) ? ? , ?. 2 2 4 ? ?

14 .设 a 2 ? b2 ? r 2 (r ? 0) ,再令 ?

? a ? r cos? ;那么由 f ( x) ? ax2 ? (2b ? 1) x ? a ? 2在 [3, 4] 上存在零点可知: ?b ? r sin?

?x ? [3, 4] ,使得 r ( x 2 ? 1) cos ? ? 2rx sin ? ? 2 ? x 成立;即 r 2 ( x2 ?1)2 ? 4r 2 x2 sin ?? ? ? ? ? 2 ? x ,

则有: sin ?? ? ? ? ? 又 g '? x? ?

2? x r ( x ? 1) ? 4r x
2 2 2 2 2

? 1 ;化简得到 r ?

x?2 x2 ? 1

g ( x) .

?( x ? 2) 2 ? 5 1 在 [3, 4] 上 g '( x) ? 0 恒成立,那么 gmin ( x) ? g (3) ? ; 2 2 ( x ? 1) 10

综上可知 a 2 ? b2 ? r 2 ?

1 . 100
x?2 ( x ? 1) ? 4 x
2 2 2

另解:以 aOb 建立平面坐标系,则原点到直线的距离满足

≤ a 2 ? b2 ,下略.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1)由余弦定理,cosB ?

a 2 ? c2 ? b2 ac 1 π ? ? 2.又 B 为三角形内角,则 B=3. 2ac 2ac

1 2 2 因为 cosA= ,且 A 为三角形内角,则 sinA= , 3 3 3+2 2 π 3 1 故 sinC=sin(B+A)=sin( +A)= cosA+ sinA= . 3 2 2 6 (2)由 a=3c,由余弦定理知:b2= a2+c2-2accosB,则 7=9c2+c2-3c2,解得 c=1,则 a=3.面积 S 1 3 3 = acsinB= . 2 4

平面PAE ? 平面PAD ? ? AD // BC ? 平面PAE 平面PAD ? PA? 16.证明: (1) ? ? AD ? 平面PAE ? ? ? EF ? BC ; AD ? 平面PAD ? EF ? 平面PAE ? ? AD ? EF ? ? ? AD ? PA ?
(2)过 F 作 FG//AD 交棱 PD 于点 G,连结 CG.

FG // AD ? ? ? FG // EC ? F、G、C、E四点共面 ; EC // AD ?

P

EF // 平面PCD ? ? EF ? 平面EFGC ? ? EF // CG ; 平面PCD 平面EFGC ? CG ? ?
FG // EC ? ? ? 四边形EFGC是平行四边形 ? EC ? FG ; EF // CG ?
D

G

F
A B C

E

AD // BC ? 2 BC AD ? 平面PAE ? ? ? AE ? BC ? BE ? AB ? cos ?ABC ? 2 ? ? AD ? AE ? AE ? 平面PAE ?
? EC ? ? 2 ?1 BC ? ? ? 2 ?1 2 AD ? 2 ?1 ? ? FG ? AP ? ? ? 2 ? 1 FG ? EC ? ? PF ? 2 ? 2 ? ? AD ? BC FG // AD ? ?

? ?? 17.解: (1)由题 ?COD ? ? , ?AOD ? ? ? 2? , ? ? ? 0, ? ? 2?
取 BC 中点 M,连结 OM.则 OM ? BC , ?BOM ? ∴ BC ? 2BM ? 2sin 同理可得 CD ? 2sin ∴ l ? 2 ? 2sin

?
2


C M

D

?
2

. , AD ? 2sin

?
2

? ? 2?
2

B

O

? 2cos? .

A

?
2

? 2sin
2

?

?? ? ? ? 2cos ? ? 2 ?1 ? 2sin 2 ? ? 4sin ? 2 . 2 2? 2 ?

? 1 ? ? ? 1? ? ?? 即 l ? ?4 ? sin ? ? ? 5,? ? ? 0, ? .∴当 sin ? ,即 ? ? 时,有 lmax ? 5 . 2 2? 2 2 3 ? ? 2?
(2) S?BOC ? sin ? , S?AOD ? sin ?? ? 2? ? ? sin ? cos? , S扇形COD ? ? . ∴ S ? sin ? ? sin ? cos? ? ? . ∴ S ' ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

1 2

1 1 ? ? 4cos? ? 3?? 2cos? ? 1? 4 4

? ? ?? ∵ ? ? ? 0, ? ,∴解 S ' ? 0 得 ? ? ,列表得 3 ? 2?

?
S'

? ?? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

? 3
0 极大 值

?? ? ? ? , ? ?3 2?
- 递减

S
∴当 ? ?

?
3

时,有 Smax .

答: (1)当 ? ?

?
3

时,观光道路的总长 l 最长,最长为 5km;

(2)当 ? ?

?
3

时,鲜花种植面积 S 最大.

18.解: (1)设 P ? m, n ? ,则直线 AP: y ? 分别令 x ? a 和 x ?

n ? x ? a? , m?a

? a 2 an ? a ? c ? ? a2 ? 2an ? Q 得 C ? a, , ? ? ? c , c ?m ? a? ? ?. c ? m?a ? ? ?

∵ F ? c,0? ,则直线 FQ: y ? 令 x ? a 得 M ? a,

an ? x ? c? . ? a ? c ?? m ? a ?

? ?

an ? ? ,∴ BM : MC ? 1 . m?a?

(2)∵椭圆 E 的离心率为

b2 1 3 2 2 2 ,∴ 2 ? ,椭圆 E: x ? 4 y ? a . a 4 2

? a2 ? m ? 2 3n ? 8 ? 0 ?m ? 8 ? ? ∵PM: x ? 2 3 y ? 8 ? 0 ,故 ? ,解得 ? . an 2 ?8 ? 0 ?n ? 4 ? a ?a ? 2 3 ? m?a ? ? 3 16 3 ?
2 2 2 2 ∵ m ? 4n ? a ,代入得 a ? 16

?

?? a

2

? 64 ? ? 0 ,∴ a2 ? 16 或 a2 ? 64 .

2 当 a ? 64 时, a ? 8 , m ? 8 ,故点 P 与 B 重合,舍去.

∴椭圆 E 的方程为 19.解: (1) bn ?1 ?

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
1 3 , b1 ? 4 4
∴ b2 ?

∵ a1 ? (2)∵ bn?1 ? 1 ?

4 5 6 , b3 ? , b4 ? . 5 6 7

2 ? bn 1 1 1 . ?1 ∴ ? ? ?1 ? bn?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1 2 ? bn

∴数列{

1 }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列. bn ? 1
∴ bn ? 1 ?



1 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 bn ? 1
1 . n?3

1 n?2 ? . n?3 n?3

(3) an ? 1 ? bn ?

1 1 1 n ∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? , ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)
∴ 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 . ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)

由条件可知 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件设 f (n) ? (a ?1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 , a=1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, a>1 时,由二次函数的性质知不可能成立. a<l 时,对称轴 ?

3 a?2 3 1 ? ? ? (1 ? ) ? 0 ,f(n)在 (??,1] 为单调递减函数. 2 a ?1 2 a ?1

f (1) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? 0 ,
∴a ?

15 ,∴a<1 时 4aSn ? b 恒成立. 4

综上知:a≤1 时, 4aSn ? b 恒成立. 20.解: (1)当 x∈(0,2)时, f ( x) ?

1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) , 2 4

由条件,当 x ? 4∈(?4,?2), f ( x ? 4) 的最大值为 ? 4,∴ f ( x) 的最大值为 ? 1. ∵ f ?( x) ?

1 1 1 1 ? ax 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? .∵ a ? ? ,∴ ? ? (0, 2) . ?a? a 2 x x a

1 当 x∈(0, ? )时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是增函数; a 1 当 x∈( ? ,2)时, f ?( x) ? 0 ; f ( x) 是减函数. a 1 1 1 则当 x ? ? 时, f ( x) 取得最大值为 f (? ) ? ln(? ) ? 1 ? ?1 .∴a ? ? 1. a a a
(2)依题意,设 f ( x) 在 x∈(1,2)的值域为 A, g ( x) 在 x∈(1,2)的值域为 B,则 A ? B. ∵ f ( x) 在 x∈(1,2)上是减函数,∴A ? (ln 2 ? 2, ?1) . ,∴ x 2 ? 1 ∈(0,3) . g ?( x) ? bx2 ? b ? b( x2 ? 1) ,∵x∈(1,2)

2 2 ① b ? 0 时, g ?( x) ? 0,g(x)是增函数,B ? (? b, b) . 3 3 2 3 ∴ ? b≤ln 2 ? 2 . b≥3 ? ln 2 . 3 2 2 2 ② b ? 0 时, g ?( x) ? 0,g(x)是减函数,B ? (? b, b) . 3 3 2 3 ∴ b≤ln 2 ? 2 . b≤? 3 ? ln 2 . 3 2 3 3 由①,②知, b≤? 3 ? ln 2 ,或 b≥3 ? ln 2 . 2 2

第 II 卷
A.选修 4—1:几何证明选讲

参考答案与解析

21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ......
A

解:连接 AO,由弦切角等于同弦所对的圆周角知∠PAB=∠ACP, PB PA 又∠APB=∠APC,所以△APB∽△CPA,于是 = ,即 PA PC PA2=PB· PC,由题设得 PC=3,由于 PB=1,所以 BC=2, 从而 AO=1, PO=2,AP= 3,于是∠APO=30o,∠PAO=90o,又由于 PB=BO,所以,∠ABC=60o. B.选修 4—2:矩阵与变换
P C

B

O

?1? ?3 解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?可得,? ?1? ?c
由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=?

3 ? ? d ?

?1?=6?1?,即 c+d=6; ? ? ? ? ?1? ?1?

? 3 ? ?3 ?,可得? ?c ?-2?

3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?=? ?,即 3c-2d=-2, d ? ?-2? ?-2?

?c=2, ? 3 解得? 即 A=? ? 2 ?d=4.

3? ?,A 逆矩阵是 A-1= 4?

?3 ? 1 ?-3

2

1 - 2

? . 1 ? 2 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

x2 y 2 解: (1)椭圆的参数方程化为普通方程,得 ? ?1, 25 9
? a ? 5, b ? 3, c ? 4, 则点 F 的坐标为 (4, 0) .
直线 l 经过点 (m, 0),? m ? 4 . (2)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

(9 cos 2 ? ? 25sin 2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .
设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t2 ,则

| FA | ? | FB |?| t1t2 | =
当 sin 当 sin

81 81 ? . 2 9 cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ?
2

? ? 0 时, | FA | ? | FB | 取最大值 9 ;

? ? ?1 时, | FA | ? | FB | 取最小值

81 . 25
2

D.选修 4—5:不等式选讲

1 1 1 ? ? 2 ?1 1 1? 2 2 2 解:由柯西不等式得 ? a ? b ? c ? ? ? 2a ? ? 3b ? ? 6c ? ? ≤ 2a ? 3b ? 6c ? ? 2 ? 3 ? 6 ? , 2 3 6? ? ? ?

?

?

当且仅当 2a ? 3b ? 6c 时取等号. ∵ a ? b ? c ? 1 ? d , 2a 2 ? 3b 2 ? 6c 2 ? 25 ? d 2 ,

∴ ?1 ? d ? ? 25 ? d 2 ,即 d 2 ? d ? 12 ? 0 .解得 d ?? ?3,4? .
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.
22.解:(1)以 DA, DC , DD1 为单位正交基底,如图建立空间直角坐标系. 设 DM ? mDB, CN ? nCB1 ,则 M ? m, m,0? , N ? n,1, n ? . ∴ MN ? ? n ? m,1 ? m, n ? .

?

?

m? 3? 2? 1 ? ∴ MN ? ? n ? m ? ? ?1 ? m ? ? n ? 2n ? 2mn ? 2m ? 2m ? 1 ? 2 ? n ? ? ? ? m ? ? ? . 2 ? 2? 3? 3 ?
2 2 2 2 2 2

2

2

2 m ? ? m? n? ?0 ? ? 2 1 ? ? 3 时,有 2 ∴当 ? ,即 ? MN ? . min 3 ?m ? 2 ? 0 ?n ? 1 ? ? 3 ? 3 ?
∴线段 MN 长的最小值为

3 . 3

D1

z
B1 N D C M B C1

(2)由(1)可知,当 MN 取得最小值时, MN ? ? ? , , ? . 又 DB ? ?1,1,0? , B1C ? ? ?1,0, ?1? , ∴ MN ? DB ? ? ?

? 1 1 1? ? 3 3 3?

A1

1 1 1 1 ? 0 ? 0, MN ? B1C ? ? 0 ? ? 0 . 3 3 3 3

A

y

x

∴ DB ? MN , B1C ? MN . ∴二面角 B-MN-C 的大小等于向量 MB 与向量 NC 的夹角,即向量 DB 与向量 B1C 的夹角. ∵ cos ? DB, B1C ??

DB ? B1C DB ? B1C

?

?1 ? , ? DB, B1C ???0,? ? ,∴ ? DB, B1C ?? . 2 3


∴二面角 B-MN-C 的大小为

?
3

23.解: (1) f ? ? x ? ? 2xex?1 ? x2ex?1 ? x2 ? 2x ? x ? x ? 2? ex?1 ? 1 , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 0 或 x ? 1 , 易知当 x ? ? ?2,0? 与 x ? ?1, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ??, ?2 ? 与 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 y ? f ? x ? 的单调增区间为 ? ?2,0? 和 ?1, ?? ? ,减区间为 ? ??, ?2? 和 ? 0,1? . (2)设 gn ? x ? ? e x ?1 ?

?

?

xn ? x ? 1? . n!

当 n ? 1 时,只需证明当 x ? 1 时, g1 ? x ? ? ex ?1 ? x ? 0 , 由 g1? ? x ? ? ex?1 ? 1 ? 0 ,得 g1 ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 所以 g1 ? x ? ? g1 ?1? ? 0 ,原不等式成立.

假设当 n ? k k ≥1, k ? N* 时,不等式成立,即当 x ? 1 时, gk ? x ? ? ex ?1 ? 则当 n ? k ? 1 时,因为 g k ?1 ? x ? ? e x ?1 ?

?

?

xk ?0, k!

? k ? 1? xk x ?1 xk x k ?1 ? ?1 ? x ? ? e x ?1 ? ,所以 g k ?e ? ? 0, k! ? k ? 1?! ? k ? 1?!
1 ?0, ? k ? 1?!

即 gk ?1 ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,所以 g k ?1 ? x ? ? g k ?1 ?1? ? 1 ? 所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综上可知,当 x ? ?1, ??? 时,对 ?n ? N* , ex ?1 ?

xn 成立. n!

2015 年江苏高考考前数学押题卷(四)
第Ⅰ卷 (必做题
苏州市高中数学学科基地

分值 160 分)

苏州市高中数学命题研究与评价中心

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.设集合 A ? { 0 , 1, 2 } , B ? {x x ? 2} ,则 A

B=



. ▲ .

2.已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ?

3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做 分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁 四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ▲ .

4.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任意取两个球,则这两个球颜色不相同的概率 为 ▲ . ▲ .
开始
a ? 5, S ? 1

5.如右图所示的流程图的运行结果是 6.给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面 相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两个平面相互平行; ④若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面 平行. 其中,真命题的序号 7.已知 sin ? ? ▲ . ▲ .

a?4 S ? S ?a a ? a ?1

N
输出S

Y

结束

1 ? cos 2? 的值为 ? cos? ,且 ? ? (0, ) ,则 ? 2 2 sin(? ? ) 4

8.在平行四边形 ABCD 中, AD ? 1 , ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点.若 AC BE ? 1 , 则 AB 的长 为 ▲ . ▲ .
*

9.已知 a,b∈R,若 a2+b2-ab=2,则 ab 的取值范围是

10.已知 ?an ? ,?bn ? 均为等比数列,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,若对任意的 n ? N ,总有 则

S n 3n ? 1 ? , Tn 4

a3 ? b3





11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点 F1 , F2 ,梯形的顶点 A, B 在双曲线上且 a2 b2
▲ .

F1 A ? AB ? F2 B , F1F2 // AB ,则双曲线的离心率的取值范围是

2 12.已知 a ?R,关于 x 的一元二次不等式 2 x ? 17 x ? a ≤ 0 的解集中有且仅有 3 个整数,则实数 a 的取

值范围为





x ? 1 ? 2 ? 1 x ,? , 若 关 于 x 的 函 数 13 . 已 知 函 数 f ? x ? ? ? ,≥ 1 ? ?2 ? x x

y M P A O x+2y-9=0 l B x

y?2 f ?
2

? x ? 2 ?b ? f

2 2

有 ? x 1 6 个不同的零点,则实数 b 的取值范

围是



14. 已知圆 C : x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点分别为 A, B (由左到右) ,

P 为 C 上的动点,l 过点 P 且与 C 相切,过点 A 作 l 的垂线且与
直线 BP 交于点 M ,则点 M 到直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 的距离的最大值是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( x ? (1)若 x ? [0,

?
3

) cos x .

?
2

] ,求 f ( x) 的取值范围;

(2) 设△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 已知 A 为锐角, f ( A) ? 求 cos( A ? B) 的值.

3 ,b ? 2 ,c ? 3 , 2

16. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱与底面垂直, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 , 点 M , N 分别为 A1 B 和
B1C1 的中点.

A1 C1 B1 M N

(1)求证:平面 A1 BC ? 平面 MAC ; (2)求证: MN // 平面 A1 ACC1 .

A B

C

17. (本小题满分 14 分) 冬训期间,某足球队进行射门训练. 如图,已知这种训练用足球场地的球门框的长 AB 为 2 3 米,一 名队员位于垂直于 AB 的直线 CD 上的点 D 处,已知 CD 为 7 ? 61 米,且 BC= 6 3 米. (1)若该队员一直沿着射线 DC 方向突破,则他跑几米后起脚射门可以使得射门角度(即射门瞬间足 球与球框两端点 A, B 连线所成角)最大? (2)假设该队员沿任何方向直线突破 6 米后,总有对方球员来干扰而迫使他射门,则要使此时射门角 度最大他该向哪个方向跑?

?

?

A B C D

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 B 关于原点对称. (1)若椭圆的离心率为 标准方程; (2)设 D 为直线 BC 与 x 轴的交点,E 为椭圆上一点,且 A, D,E 三点共线,若直线 AB,BE 的斜率分别为 k1 , k2 , 试问, k1 ? k2 是否为定值?若是,求出该定值;若不是, 请加以说明.
D E B O x

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上的点 A,C 关于 y 轴对称,点 A, a 2 b2

2 6 1 ,且 A( , ) ,求椭圆的 2 2 2

y C A

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ? 0 时, (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 a ?

a f ( x) ? ln x , h( x) ? f ( x) ? . x

1 x , x ? 1 时,求证: h ( x ) ? ; 2 2

(3)若函数 h( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求 a 的值;

20. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? , ?bn ? 中,已知 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,且 an , ?bn , an ?1 成等差数列, bn , ? an , bn ?1 也成等 差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)设 m 是不超过 100 的正整数,求使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 (m, n) . an?1 ? m am?1 ? 4

第 II 卷 (附加题

分值 40 分)

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... ....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如下图, AB, CD 是圆的两条平行弦, BE / / AC , BE 交 CD 于 E 、交 圆于 F , 过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P ,PC ? ED ? 1 ,PA ? 2 . (1)求 AC 的长; (2)求证: BE ? EF .

B.选修 4—2:矩阵与变换
?1 0 ? ?0 1 ? 已知曲线 C : y 2 ? 1 x ,在矩阵 M ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C1 , C1 在矩阵 N ? ? ? ? 对应 2 ?0 ?2 ? ?1 0 ?

的变换作用下得到曲线 C2 ,求曲线 C2 的方程.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A, B
? x ? 4 ? r cos? 3π ? ? π? ? (? 为参数) 的极坐标分别为 ? 3, ? ,? 2 2 , ? ,曲线 C 的参数方程为 ? . 4 ? ? 2? ? ? y ? r sin?

(1)求直线 AB 的直角坐标方程; (2)若直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点,求正实数 r 的值.

D.选修 4—5:不等式选讲 设实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ?
2 2 2

3 ?a ?b ?c ,求证: 3 ? 9 ? 27 ≥1 . 2

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 2015 年苏州承办世乒赛,现有甲、乙等六名志愿者,被随机地分到世乒赛的 A、B、C、D 四个场馆服 务,每个场馆至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时被分到 A 场馆的概率; (2)记随机变量 X 表示这六名志愿者中被分到 C 场馆的人数,试求 X 的分布列与数学期望 E(X) .

23. (本小题满分 10 分) 已知 p(p≥2)是给定的某个正整数,数列{ak}满足:a1=1,(k+1)ak+1=p(k-p)ak,其中 k=1, 2, 3,…,p-1. (1)设 p=4,求 a2,a3,a4; (2)求 a1+a2+a3+…+ap.

2015 年江苏高考考前数学押题卷(四)
第Ⅰ卷
1 1 ? i 2 2
10 . 27

参考答案与解析
2 3
14 2

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. A

B ={0,1}
9. ??

2. z ?

3. 808

4.

5.20

6.②③

7. ?

8.

1 2

? 2 ? ,2 ? 3 ? ?
14.

11 .

? 2,1 ? 2 ? ? ?1 ?

2,3

?

12 . 30 ? a ? 33

13. ? 解析:

3 ?b?? 2 2

2 5? 2

3.由分层抽样的定义可知,总人数 N ? 96 ?

12 ? 808 ; 12 ? 21 ? 25 ? 43

6.解:①缺少条件:两直线相交,因此错误;②即两平面垂直的判定定理,因此正确;③正确;④也可 能会是直线在平面内,因此错误.所以答案为②③;
2 1 1 1 1 ? ? 8.由题设有 AB ? AD ? ? AD ? AB ? ? 1 ,打开即有 ? AB ? AB ? AD ? 0 ,所以 AB ? ; 2 2 2 2 ? ?

?

?

2 2 9.由 a ? b ? 2 ? ab ? 2ab 得, ab ? 2 ;又 ? a ? b ? ? 2 ? 3ab ? 0 得 ab ? ?
2

2 ? 2 ? .?m? ? ? , 2 ? ; 3 ? 3 ?

10.设 ?an?,?bn? 的公比分别为 p, q ,因为对任意的 n ,总有

S n 3n ? 1 ? ,所以 p, q 均不为 1.令 n ? 1 , Tn 4

5 ? ? p ? 9 a3 ?1 ? p ? 2 ?1 ? q ? 则 a1 ? b1 ,再分别令 n ? 2,3 ,则有 ? ,解得 ? , ? 27 ; b3 ?q ? 3 ?1 ? p ? p 2 ? 7 ?1 ? q ? q 2 ? ?
11 .设点 B ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?

1 a ,因 x0 ? a ,所以 2 ? e ? 3 ;又 x0 ? c ,故 ? ex0 ? a ? ,所以 x0 ? 2 e?2

e ? 2,1 ? 2 ? 1 ? 2, 3 ;
12.二次函数 f ( x) ? 2 x2 ? 17 x ? a 的对称轴为 x ? 5.所以 ?

?

? ?

?

17 ,所以 3 个整数为: 3,4, 4

? f (3) ? 0 ,解得 30 ? a ? 33 ; ? f (6) ? 0
2

13.由函数 f ? x ? 的图像可得,要使得函数 y ? 2 f

? x ? ? 2bf ? x ? ?1有

6 个不同的零点,必须保证方程

b ? ?0 ? ? 2 ? 1 ? 3 g ? x ? ? 2x2 ? 2bx ?1 ? 0 在 ? 0,1? 上有两个不同的根, ?3 ? 2b ? 0 ,解得 ? ? b ? ? 2 ; 2 ? 4b 2 ? 8 ? 0 ? ?
2 14.连接 OP ,则 MA ? 2 ,所以 M 的轨迹为圆 ? x ? 1? ? y ? 4 ,圆心到直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 的距离为 2

10 ? 2 5 ,所以点 M 到直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 的距离的最大值为 2 5 ? 2 . 5
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1) f ( x) ? (sin x ? 3 cos x) cos x ? sin x cos x ? 3 cos x
2

1 3 3 ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 3 2
∵ x ? [0,

?
2

] ,∴ 2 x ?

?

? 4? 3 ? ?[ , ] , ? ? sin(2 x ? ) ? 1. 3 3 3 2 3

∴ f ( x) ? [0, 1 ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ?

3 ]. 2

?
3

)?

? 3 3 ,得 sin( 2 A ? ) ? 0 , ? 3 2 2
,又 b ? 2 , c ? 3 ,

又 A 为锐角,所以 A ?
2

?
3

所以 a ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos

?
3

? 7 ,a ? 7 .



a b 2 3 ? ,得 sin B ? ,又 b ? a ,从而 B ? A , cos B ? . sin A sin B 7 7

所以, cos(A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ? 16. (1)证明:在 Rt ?BAC 中, BC ? 在 Rt ?A1 AC 中, A1C ?

1 2 3 3 5 7 ? ? ? ? 2 7 2 14 7

AB2 ? AC 2

A1 A2 ? AC 2 .

? BC ? AC 1CB 为等腰三角形. 1 ,即 ?A ? MC . 又点 M 为 A1 B 的中点,? AM 1
又 四边形 AA1 BB1 为正方形, M 为 A1 B 的中点,? A1M ? MA

AC ? MA ? A , AC ? 平面 MAC , MA ? 平面 MAC

? A1M ? 平面 MAC
(2)证明:连接 AB1 , AC1 ,

由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C1 的中点,? MN / / AC1 . 又 MN ? 平面 A 1 ACC1 , AC1 ? 平面 A 1 ACC1 ,

? MN / / 平面 A1 ACC1 .
17.解: (1)设 CE ? x, 则 DE ? 7 ? 61 ?x .记 ?AEB ? ? ,
A B α C E D

8 3 6 3 ? 2 3 x x , tan ? ? tan ? ?AEC ? ?BEC ? ? ? 8 3 6 3 x ? 144 1? ? x x x

则当 x ? 12 时, tan ? 有最大值,又因为 ? 是锐角,故此时 ? 最大. 故当他跑

?

61 ? 5 米后起脚射门可以使得射门角度最大.

?

(2)队员突破 6 米后在以 D 为圆心,6 为半径的圆上.问题转化为 圆上的动点与点 A, B 连线所成的角最大.以 AB 为弦作圆 M , 当圆 M 与圆 D 相切时,切点所在位置的射门角度最大(可以利 用三角形外角计算公式及圆中圆周角的性质证明这个基本事 实) .此时,设圆 M 的半径为 r ,点 M 到 AB 的距离为 a, 则

M

N

a 2 ? 3 ? r 2 ;又在 RT ?MND 中,
MN ? 7 3 , ND ? 7 ? 61 ? a, ,由勾股定理,联立解得 r ? 8 , a ? 61 ,故 tan ?MDN ? 3 ,所以

?MDN ?

?
3

.要使此时射门角度最大他该沿偏离 CD 靠向球门

?
3

大小的方向跑.

18.解: (1)因为椭圆的离心率 e ?

1 c 2 6 2 2 2 ? ,所以 a ? 2c ? 2b .又椭圆经过点 A( , ) ,所以 a 2 2 2

(

6 2 1 2 ) ( )2 2 ? 2 ? 1 .联立方程,解得 a 2 ? 2 , b2 ? 1 ,所以椭圆的标准方程为 x ? y 2 ? 1. a2 b2 2

(2)不妨设点 A( x1 , y1 ) , x1 ? 0 , y1 ? 0 ,由椭圆的对称性可知点 C,B 的坐标分别为( ? x1 , y1 ) , ( ? x1 , ? y1 ) ,D( ? x1 ,0) .设点 E 的坐标为( x2 , y2 ) , 因为点 A,E 都在椭圆

x12 y12 x2 2 y2 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1, 上,所以有 和 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2

即有

x2 2 ? x12 y2 2 ? y12 y2 ? y1 b2 ( x2 ? x1 ) ? ? 0 ,即 . ? ? a2 b2 x2 ? x1 a 2 ( y2 ? y1 )

又直线 AB 的斜率 k1 ? 由题意得 k1 ? k2 ?

y1 y ? y1 ,直线 BE 的斜率 k2 ? 2 , x1 x2 ? x1

y1 ( y2 ? y1 ) y1 b2 ( x2 ? x1 ) ? (? ). x1 ( x2 ? x1 ) x1 a 2 ( y2 ? y1 )

因为 A,D,E 三点共线,所以 k AE ?

y2 ? y1 y1 ? 0 y 与 k AD ? ? 1 相等, x1 ? (? x1 ) 2 x1 x2 ? x1



y2 ? y1 y y b2 ( x ? x ) 2b2 ? 1 ,所以 k1 ? k2 ? 1 (? 2 2 1 ) ? ? 2 为定值. x2 ? x1 2 x1 x1 a ( y2 ? y1 ) a
2b 2 . a2

故 k1 ? k2 为定值 ?

19.解: (1)f(x)定义域为 R 的奇函数 ∴f(0)=0 ,当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-ln(-x)

x?0 ?lnx, ? x =0 ∴f(x)= ?0, ? ?ln( ? x), x ? 0 ?
(2)只需证:当 x >1 时, x ?

1 ? 2ln x ? 0 . x

1 ( x ?1) 2 设?(x)= x ? ? 2ln x ,??(x)= >0(x >1) x x2

??(x)在(1,+?)上单调递增,又?(x)在[1,+?)上不间断,?当 x >1 时,?(x)> ?(1)=0
x 1 ?当 a= ,x >1 时, h( x) < 2 2

(3)h(x)=lnx+

a 1 a x?a ∴h?(x)= - 2 = 2 ,由 h?(x)=0 得 x=a x x x x

①当 a≤1 时,f(x)在[1,e]上单调递增∴h(x)min=h(1)=a∴a=3,不符合 a≤1,舍去 ②当 1<a<e 时,f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,e]上单调递增 ∴h(x)min=h(a)=lna+1=3 ∴a= e 2 ,不符合 1<a<e,舍去 ③当 a≥e 时,f(x)在[1,e]上单调递减∴h(x)min=h(e)=1+ 综上所述:当 a=2e 时,h(x)=f(x)+

a a ∴1+ =3,即 a=2e e e

a 在[1,e]上的最小值为 3 x

20.解: (1)由 an , ?bn , an ?1 成等差数列可得, ?2bn ? an ? an ?1 ,① 由 bn , ? an , bn ?1 成等差数列可得, ?2an ? bn ? bn ?1 , ① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? ?3(an ? bn ) , 所以 ?an ? bn ? 是以 6 为首项、 ?3 为公比的等比数列. (2)由(1)知, an ? bn ? 6 ? (?3)n?1 ,③ ① ? ②得, an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? ?2 , ③ ? ④得, an ? 代入 ④ ②

6 ? (?3) n ?1 ? 2 ? 3 ? (?3) n ?1 ? 1 , 2

an ? m a ?4 3 ? (?3) n ?1 ? 1 ? m 3 ? (?3) m ?1 ? 3 ? m ? ,得 , an ?1 ? m am ?1 ? 4 3 ? (?3) n ? 1 ? m 3 ? (?3) m ? 3

所以 [3 ? (?3)n?1 ? 1 ? m][3 ? (?3)m ? 3] ? [3 ? (?3)n ? 1 ? m][3 ? (?3)m?1 ? 3] , 整理得, (m ? 1)(?3)m ? 3 ? (?3)n ? 0 , 所以 m ? 1 ? (?3)n?m?1 , 由 m 是不超过 100 的正整数,可得 2 ≤ (?3)n?m?1 ≤101 , 所以 n ? m ? 1 ? 2 或 4 , 当 n ? m ? 1 ? 2 时, m ? 1 ? 9 ,此时 m ? 8 ,则 n ? 9 ,符合题意; 当 n ? m ? 1 ? 4 时, m ? 1 ? 81 ,此时 m ? 80 ,则 n ? 83 ,符合题意. 故使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 ( m, n ) 为 (8,9) , (80,83) . an ?1 ? m am ?1 ? 4

第 II 卷
A.选修 4—1:几何证明选讲解:

参考答案与解析

21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选 做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ... ... 解: (1)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,? PD ? 4 ,

? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB , 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,

? ?PAC ∽ ?CBA , ?
? AC ? 2 .

PC AC , ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 , ? AC AB

(2)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF ,

? EF ?

2 ?1 2

? 2 ,? EF ? BE .

B.选修 4—2:矩阵与变换
?0 1 ? ?1 0 ? ?0 ?2 ? 解:设 A=NM,则 A ? ? ?? ??? ?, ?1 0 ? ?0 ?2 ? ?1 0 ?

设 P ? x ', y '? 是曲线 C 上任一点,在两次变换下,在曲线 C2 上的对应的点为 P ? x, y ? , 则
x ' ? y, ? x ? ?0 ?2? ? x ' ? ? ?2 y '? ? x ? ?2 y ', ? ? , 即 ∴ ? ? ? ? ? y ? ? 1 0 ? ? y '? ? x ' ? y ' ? ? 1 x. ?? ? ? ? ? ? ? ? y ? x ', ? ? 2

又点 P ? x ', y '? 在曲线 C : y 2 ? 1 x 上,∴ (? 1 x) 2 ? 1 y ,即 x 2 ? 2 y . 2 2 2 C.选修 4—4:坐标系与参数方程
3π ? ? π? ? 解: (1) A ? 3, ? , B ? 2 2, ? 的直角坐标为 A ? 0,3? , B ? ?2,2? , 4 ? ? 2? ?

所以直线 AB 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 .

? x ? 4 ? r cos ? 2 (2)将参数方程 ? 化为普通方程为 ? x ? 4? ? y2 ? r 2 ,表示圆. y ? r sin ? ?

若直线 AB 和圆 C 有且只有一个公共点,则直线 AB 和圆 C 相切, 所以 r ?
4?6 5 ?2 5.

D.选修 4—5:不等式选讲 解: a ? 2b ? 3c
2 2

?

2

3 1? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ??1? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? a ? 2b ? 3c ? ? ?? ? ? 2? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2
2

2



所 以

?a ? 2

b ? 3? c

?9 , 也 就 是 ?3 ? a ? 2b ? 3c ? 3 , 所 以 ?3 ? ? a ? 2b ? 3c ? 3 ,

3?a ? 9?b ? 27?c ? 3?a ? 3?2b ? 3?3c ? 3 ? 3 3?a?2b?3c ? 3 ? 3 3?3 ? 1.
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)记“甲、乙两人同时被分到 A 场馆”为事件 M,则 P( M ) ?
1 3 2 3 C4 A3 ? C4 A3 1 ? , 2 2 C6 C4 4 26 3 4 C6 A4 ? A4 2 A2

故甲、乙两人同时被分到 A 场馆的概率为 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3.

1 . 26

C52C32 3 ) A3 2 A2 15 P ( X ? 1) ? ? , 2 2 C C 4 26 3 4 C6 A4 ? 6 2 4 A4 A2
1 3 C6 (C5 ?

P ( X ? 2) ?

2 3 C62C 4 A3 9 ? , 2 2 C C 4 26 3 4 C6 A4 ? 6 2 4 A4 A2

P( X ? 3) ?

3 3 C6 A3 1 ? . 2 2 C C 4 13 3 4 C6 A4 ? 6 2 4 A4 A2

所以 X 的分布列为 X P 所以 E(X)= 1? 1 2 3

15 26

9 26

1 13

15 9 1 3 ? 2 ? ? 3? ? . 26 26 13 2

ak+1 k-p 23.解:(1)由(k+1)ak+1=p(k-p)ak,得 =p× ,k=1,2,3,…,p-1, ak k+1 4-1 4- 2 a2 a3 8 即 =-4× =-6,a2=-6a1=-6; =-4× =- ,a3=16, a1 2 a2 3 3 4-3 a4 =-4× =-1,a4=-16. a3 4 ak+1 k-p (2)由(k+1)ak+1=p(k-p)ak,得 =p× ,k=1, 2, 3,…,p-1, ak k+1

p-1 a3 p-2 p-k- a2 ak 即 =-p× , =-p× ,…, =-p× , a1 2 a2 3 ak—1 k p- p- p- ak 以上各式相乘得 =(-p)k—1× a1 k! p- p- p- - ∴ ak=(-p)k 1× k!


p-k+



p-k+

p- ! -pk 1 p! - =(-p)k 1× = × p k!p-k! k!p-k! 1 k - k =-(-p)k 2× Ck p=- 2Cp(-p) ,k=1,2,3,…,p, p 1 1 2 3 3 p p p ∴ a1+a2+a3+…+ap=- 2[C1 (-p)1+C2 p(-p) +Cp(-p) +…+Cp(-p) ]=- 2[(1-p) -1]. p p p

2015 年江苏高考考前数学押题卷(五)
第Ⅰ卷 (必做题
苏州市高中数学学科基地

分值 160 分)

苏州市高中数学命题研究与评价中心

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题 卡相应位置上 . .. ...... 1.已知全集 U ? {1 , 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,则集合
?U ( A B) =



. ▲ .

2.已知 x, y ? R , i 为虚数单位, ( x ? 2)i ? y ? 1 ? i ,则 (1 ? i) x? y 的值为

3.某校对全校 1200 名男女学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已知女生抽 了 85 人,则该校的男生数应是 ▲ 人.

4.从数字 1、2、3、4、5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 26 的概率是 ▲ . 5.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2x ? 1 是奇函数,则 a ? 2x ?1 ? a

▲ ▲

. .

6.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, B ?

?
3

,则角 A 的大小为

? y ≤ 2 x, ? 1 ? 7.设变量 x , y 满足约束条件 ? y ≥ x, 且目标函数 z ? 2 x+y 的最大值为 3,则 k ? 2 ? ? ? x ≤ k,
3 2





8.若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 2,?x1, x2 ? R, 满足(x1 ? x2) ? f (x1) ? f (x2 )? ? 0 ,则实数 m 的取值范 围是 ▲ . ▲ .

1 9.在等比数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn.若数列{Sn+ }也是等比数列,则 Sn 等于 2 10.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个长方形 的面积为 0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公 差是互为相反数,若样本容量为 1600, 则中间一组(即第五组)的 频数为 ▲
2

频率 组距


第10题图
2 2

样本数据

11.已知圆 C : x ? y ? (2 ? 2m) x ? 4my ? 5m ? 2m ? 8 ? 0 ,直线

l : tx ? y ? t ? 0 .若对任意的实数 t ,直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,则实数 m 的值为
12.圆 x
2





? y 2 ? 1与曲线 y ? x ? a 有两个交点,则 a 的值是





13.将一个长宽分别是 a, b(0 ? b ? a) 的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体的盒 子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则

a 的取值范围是 b





14.设 x, y, z 是不全为 0 的实数,则

xy ? yz ? zx 的最大值是 3x 2 ? 3 y 2 ? z 2





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 , x ? R . 2 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin B ? 2sin A ,

求 a , b 的值.

16. (本小题满分 14 分)
? 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 4 ,CB ? 2 , AA 1 ? 2 , ?ACB ? 60 ,E、F 分别是 A1C1,BC

的中点. (1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; (2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积. P A F B C
A1

E

C1 B1

17. (本小题满分 14 分) 在一段笔直的斜坡 AC 上竖立两根高 16 米的电杆 AB, CD ,过 B, D 架设一条十万伏高压电缆线.假设 电缆线 BD 呈抛物线形状,现以 B 为原点, AB 所在直线为 Y 轴建立如图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 , 经 观 测 发 现 视 线 AD 恰 与 电 缆 线 相 切 于 点
D ( m, n).

(1)求电缆线 BD 所在的抛物线的方程; (2)若高压电缆周围 10 米内为不安全区域,试问一个身高 1.8 米的人在 这段斜坡上走动时,这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威 胁?请说明理由.

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 1 在平面内,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,椭圆的离心率为 , P 点是椭圆上 2 a b
任意一点,且 PF 1 ? PF 2 ? 4. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于 A、B 点, ①求 O 到 AB 的距离; ②求 OA ? OB 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分)
2 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, 公差为 d ,Sn 为其前 n 项和, 且满足 an 数 ? S2 n ?1 ,n ? N* .

列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知 f ( x ) ?

1 ? 2 ln x x2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)令 g ( x) ? ax ? 2ln x ,则 g ( x) ? 1 时有两个不同的根,求 a 的取值范围;
2

(3)存在 x1 , x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ k ln x1 ? ln x2 成立,求 k 的取值范围.

第 II 卷 (附加题

分值 40 分)

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... ....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙ O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC. E A C B.选修 4—2:矩阵与变换
?cos ? 若点 A(2,2)在矩阵 M ? ? ? sin ? ? sin ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(-2,2) ,求矩阵 M 的逆 cos ? ? ?

· O

F

B D

P

矩阵.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A 、 B 分别在曲线

? x ? 3 ? 2cos ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,求 AB 的最大值 . C1 : ? ? y ? 4 ? 2sin ?

D.选修 4—5:不等式选讲

y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 有一枚质地均匀的硬币,抛掷 n(n ? N ? ) 次, (1)当 n ? 3 ,记正面向上的次数为 ? ,求 ? 的分布列及期望; (2)当 n ? 10 ,求正面不连续出现的概率.

23. (本小题满分 10 分) 设等差数列 ?an ? 的首项为 1,公差 d( d ? N* ) ,m 为数列 ?an? 中的项.

? 的展开式中是否含有常数项?并说明理由; (2)证明:存在无穷多个 d,使得对每一个 m, ? x ? 1 ? 的展开式中均不含常数项. x
(1)若 d=3,试判断 x ? 1 x
m m

?

2015 年江苏高考考前数学押题卷(五)
第Ⅰ卷
3 5

参考答案与解析
? 6
3 4 1 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. {3,5} 2. 2i 3.690 4. 5.2 6. 7. 8. m ≥

3n ? 1 9. 2
解析:

10.360

11.0

12. a ? ? ?1,1?

?? 2?

13. (1, )

5 4

14.

1 2

4.共有 12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54 共 20 个基本事件,其中 31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54 共 12 个基本事件,故所求 的概率为

12 3 ? ; 20 5

6.

a b 1 ? 5? ? ? ,sinA ? ,得A ? 或 ,经检验A ? . sin A sin B 2 6 6 6
3 . 4

(k ,2k) 7.过 时取最大值, 4k =3,得k =
8. ?x1 , x2 ? R, 满足 (x1 -x2)f ( x1 ) ?

?

f ( x2 )? ? 0 得 f ( x) 单调递增, f ?( x) ? 0 恒成立,
1 3

3x2 ? 2 x ? m ≥ 0 恒成立, ? ? 4 ? 12m ≤ 0, 故m ≥
14.

xy ? yz ? zx xy ? yz ? zx xy ? yz ? zx 1 ? ? ? 2 2 2 1 1 3x ? 3 y ? z ( x2 ? y 2 ) ? (2 x2 ? z 2 ) ? (2 y 2 ? z 2 ) 2 xy ? 2 yz ? 2 zx 2 2 2
1 z 时等号成立 2

当且仅当 x ? y ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1) f ( x ) ?

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 , 则 f ( x ) 的最小值是-2, 2 2 2 6

最小正周期是 T ? 2? ? ? ;

2

(2) f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 ,

6

6

Q0? C ??

?0 ? 2 C ?2 ?

?? ? ? 2C ? ? ? 11? , ? 2C ? ? ? ? ,? C ? ? , 3 6 6 6 6 2

Q sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2
2 2 2 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos ? ,即 a ? b ? ab ? 3 , ②
2 2

3

由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 16. (1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60?
2 2 2 ∴ AB ? 2 3 ,∴ AB ? BC ? AC ,∴ AB ? BC

H

由已知 AB ? BB1 , ∴ AB ? 面BB1C1C 又∵ AB ? 面ABE, 故 ABE ? 面BB1C1C (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM
G

, FM // AB , 在 ?ABC 中
而 FM ? 平面ABE ,∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点,∴ C1 M // AE 而 C1M ? 平面ABE ,∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M 故 C1F // 面AEB (或解:取 AB 的中点 G,连结 FG,EG,证明 C1 F / / EG,从而得证) (3)取 B1C1 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH ? 由(1) AB ? 面BB1C1C ,∴ EH ? 面BB1C1C ,
1 1 1 3 ∵P 是 BE 的中点,∴ VP ? B1C1F ? VE ? B1C1F ? ? S ?B1C1F ? EH ? 2 2 3 3

∴ 面ABE // 面FMC1

1 AB ? 3 , 2

17.解: (1)设电缆所呈现的抛物线方程为 y ? ax2 ? bx ,∴ y ? ? 2ax ? b ∵点 D 的坐标为 ( m, n) ,则抛物线在点 D 处的切线的斜率为 k ? 2am ? b , 又∵直线 AD 的斜率为
n ? 16 n ? 16 ,由题意可得 2am ? b ? ,即 2am2 ? bm ? n ? 16 ① m m

∵点 D 在抛物线上,∴ n ? am2 ? bm 由①②可得 a ?



16 n ? 16 16 n ? 16 ,即抛物线方程为 y ? 2 x2 ? x. ,b ? 2 m m m m
n x ? 16 ,作直线 EF m
y 轴且分别与抛物线及 AC 交于 E , F ,
2

(2)坡面 AC 所在直线方程为 y ?

n ? 16 ? ? n 16 16 ? m? ? 16 ? 16 x ? ? ? x ? 16 ? ? 2 x 2 ? x ? 16 ? 2 ? x ? ? ? 12 ? 12 则 EF ? ? 2 x 2 ? m m m ? 2? ?m ? ?m ? m

(当且仅当 x ?

m 时取等) , 2

这说明电缆线与坡面的铅直距离的最小值为 12 米,这个距离大于 10 ? 1.8 ? 11.8 米, ∴这根高压线是不会对这个人的安全构成威胁的.

? 2a ? 4 ?a ? 2 ? x2 y 2 18.解: (1)由题意得 ? c 1 ,? ? ?b ? 3 ? 方程为: ? ? 1. 4 3 ? ?c ? 1 ? ?a 2
(2)①解法 1:当 k 不存在时易得 d ?

2 21 7

? y ? kx ? m ? 当 k 存在时,设 AB 为 y ? kx ? m , ? x 2 y 2 , ?1 ? ? 3 ?4
? ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0

?

? x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,? x1x2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? 0 即 (k ?1) x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,?7m2 ? 12(k 2 ? 1) , d ?
2

m k 2 ?1

?

2 21 7

经检验 ? 式 ? >0,所以点 O 到直线 AB 的距离为 解法 2:设 A ? m cos? , m sin ? ? ,B ? n cos(? ? OA= m ,OB= n ,AB= m ? n ,
2 2

2 21 7

? ?

?

? ? ), n sin(? ? ) ? 即 B ? ?n sin ? , n cos? ? 2 2 ?

1 AB 2 m2 ? n 2 1 1 ? ( ) ? ? 2? 2 2 2 2 d OA ? OB mn m n

(m cos ? ) 2 (m sin ? ) 2 cos 2 ? sin 2 ? 1 ? ? 1,? ? ? 2 4 3 4 3 m
同理:

sin 2 ? cos 2 ? 1 1 1 1 1 7 2 21 ? ? 2 ,两式相加得: 2 ? 2 ? ? ? ,? d ? m n 4 3 12 4 3 n 7
4 21 7

②当 k 不存在或为 0 时易得 AB ? 当 k 存在且不为 0 时

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

4 21 16k 4 ? 25k 2 ? 9 4 21 1 ? 1? 4 2 9 7 16k ? 24k ? 9 7 16k 2 ? 24 ? 2 k

OA ? OB =AB,
综上

4 21 ? AB ? 7 7

4 21 ? OA ? OB ? 7 7

2 19.解: (1) (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

2 ? ?a1 ? S1 , 得? 2 ? ?a 2 ? S 3 ,

2 ? ?a1 ? a1 , 即? 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ,

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1 又
2 an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1

bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5 ? 1 1 n ? )? . 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(法二)? ?an ? 是等差数列, ?

a1 ? a 2 n ?1 ? an 2

? S 2 n ?1 ?

a1 ? a 2 n ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an . 2
2

2 由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an ,



an ? 0 ,? an ? 2n ? 1 ,则 a1 ? 1, d ? 2 .

( Tn 求法同法一) (2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立, 即需不等式 ? ?

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n

2n ?

8 ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 . n

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

??

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n

8 8 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2 n ? 取得最小值 ?6 . n n

? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .
综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . (3) T1 ?

1 m n , Tm ? , Tn ? , 3 2m ? 1 2n ? 1
m2 n m 2 1 n . ? ) ? ( ) ,即 2m ? 1 3 2n ? 1 4m2 ? 4m ? 1 6n ? 3

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 由

m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 2 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 n m

?1?

6 6 . ? m ? 1? 2 2

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, 数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列. 另解:因为

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n

?1?

6 6 , (以下同上) . ? m ? 1? 2 2
?4 ln x ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 , x ? ? 0,1? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; x3

20.解: (1) f ?( x) ?

x ? ?1, ??? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减.
综上, f ( x ) 单调递增区间为 ? 0,1? ,单调递减区间为 ?1, ?? ? . (2) g ?( x) ? 2ax ?

2 2(ax 2 ? 1) ? x x

①当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,单调递减,故不可能有两个根,舍去 ②当 a ? 0 时, x ? ? 0,

? ? ?

1? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, a? ?

? 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1. x?? ? a , ?? ? ? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 所以 g ( a ) ? 1 得 ? ?
综上, 0 ? a ? 1 (3)不妨设 x1 ? x2 ? 1,由(1)知 x ? ?1, ?? ? 时, f ( x ) 单调递减.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ k ln x1 ? ln x2 ,等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≥ k (ln x1 ? ln x2 )
即 f ( x2 ) ? k ln x2 ≥ f ( x1 ) ? k ln x1 存在 x1 , x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2 ,使 f ( x2 ) ? k ln x2 ? f ( x1 ) ? k ln x1 成立 令 h(x) ? f ( x) ? k ln x , h( x) 在 ?1, ?? ? 存在减区间

kx 2 ? 4ln x 4 ln x 4 ln x h?( x) ? <0 有解,即 k ? 有解,即 k ? ( 2 ) max 2 3 x x x
令 t ( x) ?

4 ln x 4(1 ? 2 ln x) , t ?( x) ? , x ? 0, e 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, 2 x x3

?

?

x?

?

e , ?? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, (
2 e.

?

4 ln x 2 ) max ? , 2 x e

?k ?

第 II 卷
A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:∵AE=AC,∠CDE=∠AOC,

参考答案与解析

21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... E A C
(第 21-A 题)

又∠CDE=∠P+∠PDF,∠AOC=∠P+∠OCP, 从而∠PDF=∠OCP. 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P,∠PDF=∠OCP, 故△PDF∽△POC. B.选修 4—2:矩阵与变换
? 2 ? ? ?2 ? ? 2 cos ? ? 2sin ? ? ? ?2 ? 解: M ? ? ? ? ? ,即 ? ??? ? , 2 2 ? ? ? ? ? 2sin ? ? 2 cos ? ? ? 2 ?

· O

F

B D

P

所以 ?

?cos ? ? sin ? ? ?1, ?sin ? ? cos ? ? 1.

解得 ?

?cos ? ? 0, ?sin ? ? 1.

所以 M ? ? ?1 另解: M ?

?0 ?1? ?1 0 ? ? 0 1? .由 M ?1 M ? ? ,得 M ?1 ? ? ? ? ?. 0? ? ?1 0 ? ?0 1 ?

0 ?1 ? 0 1? =1 ? 0 , M ?1 ? ? ?. 1 0 ? ?1 0 ? ? 0 ?1? ? cos 90? ? sin 90?? ?? ? , 看 作 绕 原 点 O 逆 时 针 旋 转 90°旋 转 变 换 矩 阵 , 于 是 0? ? ? sin 90? cos 90? ?

另解: M ?? ?1

?cos(?90?) ? sin(?90?) ? ? 0 1 ? M ?1 ? ? ? ?? ?. ? sin(?90?) cos(?90?) ? ? ?1 0 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,曲线 C2 : x2 ? y 2 ? 1

AB ≤ 32 ? 42 ? 2 ?1 ? 8 ,所以 AB 的最大值为 8.
D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ . yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ , zx xy x xy yz y

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1) ? =0,1,2,3, P(? ? 0) ?
1 2 C3 C3 3 3 1 1 1 P ( ? ? 1 ) ? ? , P ( ? ? 2 ) ? ? , P(? ? 0) ? 3 ? ; ? 3 3 3 8 8 8 8 2 2 2 2

1

?
P

0

1

2

3

1 8

3 8

3 8

1 8

1 3 3 1 3 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 8 8 8 8 2
1 2 (2)10 次均为反面只有 1 次,只有 1 次正面 C10 种,只有 2 次正面且不连续出现有 C 9 种,只有 3 次正面 3 4 5 且不连续出现有 C8 种,只有 4 次正面且不连续出现有 C 7 种,只有 5 次正面且不连续出现有 C6 种,

6 次正面肯定会连续出现 所求概率为
1 2 3 4 5 1 ? C10 ? C9 ? C8 ? C7 ? C6 10

2

?

144 9 ? . 1024 64

23.解: (1)因为 ?an ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 an ? 3n ? 2 . 假设 x ? 1 x
r m?r Tr ?1 ? Cm x

?

, ? 的展开式中的第 r+1 项为常数项( r ? N ) r ?0. ? 1x ? ? C ? x ,于是 m ? 3 2
m r r m m? 3 r 2

设 m ? 3n ? 2 n ? N* ,则有 3n ? 2 ? 3 r ,即 r ? 2n ? 4 ,这与 r ? N 矛盾. 2 3 所以假设不成立,即 x ? 1 x

?

?

?

? 的展开式中不含常数项.
m

(2)证明:由题设知 an= 1 ? (n ? 1)d ,设 m= 1 ? (n ? 1)d , 由(1)知,要使对于一切 m, x ? 1 x

?

? 的展开式中均不含常数项,
m

必须有:对于 n ? N* ,满足 1 ? (n ? 1)d ? 3 r =0 的 r 无自然数解, 2 即 r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? N . 3 3 当 d=3k k ? N* 时, r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? 2k (n ? 1) ? 2 ? N . 3 3 3 故存在无穷多个 d,满足对每一个 m, x ? 1 x

?

?

?

? 的展开式中均不含常数项.
m


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