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指数函数图像与性质


指数函数及其性质

引题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后, 得到的细胞个数与x的关系式是什么?

分裂 次数

1次

2次

3次

4次

x次

y?2

/>x

x

……

细胞 总数

2个 21

4个

8个

16个

22

23

24

2

想一 想

一尺之锤,日取其半,万世不竭! -------庄子

引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半, 第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第 二次剩余部分的一半,依次截下去,问截的 次数与剩下的尺子长度之间的关系.

截取 次数

1次

2次

3次

4次

x次

1 x y?( ) 2
木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 x ( ) 尺 2

引题3:国际象棋中有六十个格子,假如在 第一个格子中放3粒麦子,第二个格子中放 9粒麦子,第三个格子中放27粒麦子,以此 规律,那么在第x个格子中应放多少粒麦子?

y ?3

x

y?2

x

1 x y?( ) 2

y ?3

x

思考: 以上三个函数有何共同特征?

(1)均为幂的形式 ;
(2)底数是一个正的常数 ; (3) 自变量x在指数位置 .

y?a

x

(4)幂的系数为 1.

一般地,函数y = ax(a?0,且a ?1)叫 做指数函数,其中x是自变量 .定义域 为 R

思考:为何规定a>0且a≠1?
当a?0时,ax有些会没有意义; 如:(?2) ,0
? 1 2 ? 1 2

当a=1时,函数值y恒等于1,没有研究价值.

探究:怎么判断一个函数是不是指数函数? 指数函数的解析式y= a 中,a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如
x

x

y ? a ?k
x

(a ? 0且a ? 1, k ? z)
(a ? 0, 且a ? 1)
x

有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如

y ? a? x

?1? 因为它可以化为 y ? ? a ? ? ?

1 1 ( ? 0, 且 ? 1) a a

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y?3

x

y?2

x

1

0

1

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y?2

x

1

0

1

x

1x 观察右边图象,回答下列问题: y?( )

问题一: 图象分布在哪几个象限?
Ⅰ、Ⅱ 答两个图象都在第____象限。

2

Y

y = 2x

Y=1

问题二: 图象的上升、下降与底数a有什么联系?

O

X

a > 1 时图象上升;当底数____时图象下降 0< a<1 答:当底数__ .
问题三: 图象中有一个最特殊的点?

(0,1) 答:两个图象都经过定点____.

观察右边图象,回答下列问题: 问题四: 1x 指数函数 y ? ( 2 ) 图像是否具有 对称性? 答: 不关于Y轴对称不关于 原点中心对称

1x y?( ) 2

Y

y = 2x

O

当底数a (a ? 0且a ? 1)
取任意值时,指数函 数图象如何分类研究?

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

指数函数的图象和性质
a>1
y

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1 x 0 y (0,1) x

图 象
a>1 图 象

y=1 0

y=ax (a>1)

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内 性

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?). 2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.



质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 非奇非偶函数

征 不关于Y轴对称不关于原点中心对称

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y?3

x

y?2

x

底数互为倒 数的两个指 数函数图象:
1

关于y轴对称
1

0

x

普通高中课程标准实验教科书· 人教A版数学必修一(2.1.2)

记忆口诀:
左右无限上冲天, 永与横轴不沾边.
大 于1 增、小 于1 减,

图象恒过(0,1)点.

例1 已知指数函数f(x)的图象经过点(3,π),
求f(0)、f(1)、f(-3)的值.
x 3, ? ? , 分析:指数函数的图象经过点 ? 3 f x ? ? ? ? 1 有 , 3 3 想一 a ? ? 即 a ? ? ,解得 想 于是有 f ?3? ? ?

所以:
0

思考:确定一个指数函数 需要什么条件?
?1

1 f ?0? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3? ? π ? . π
3

1 3

例2: 比较下列各题中两值的大小:

?1?

1.72.5 与 1.73 ;

? 2?
1.8

0.8?0.1与0.8?0.2
3 7 5 12

?1? 3 ? ? ? ? ? 4?

0.8

?1? 与? ? ? 2?

;

?8? 4 ? ? ? ? ?7?

?

?7? 与? ? ?8?

? 5?

? 0.3?

?0.3

与 ? 0.2 ?

?0.3

? 6?

1.70.3 与0.93.1

比较下列两个值的大小: ( 1 ) 1 . 7 2 .5 ,

1 .7

3

解 :利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7,它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值;
5



因为1.7>1,所以函数y= 1 .7 在R上是增函数, 而2.5<3,所以,

x

4.5

4

3.5

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

1 .7

2 .5

<

1 .7

3
-2 -1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5

.3 0 . 9 3 .1 ( 6 ) 1 .7 0 ,

3.2

3

2.8

2.6

2.4

解 :根据指数函数的性质, 由图像得,

2.2

2

1.8

f?x? = 1.7x

1.6

1.4

1.2

1

1.7

0.3

?1 且
0.3

0.9

3.1

?1
-2 -1.5 -1 -0.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

从而有
3.2

-0.4

1 .7

> 0 .9

3 .1

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

f?x? = 0.9x

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

例2: 比较下列各题中两值的大小:

?1?

1.72.5 与 1.73 ;

? 2?
1.8

0.8?0.1与0.8?0.2
3 7

同底指数幂比大 小,构造指数函数, 利用函数单调性

同底比较大小
?1? 3 ? ? ? ? ? 4?
0.8

?1? 与? ? ? 2?

;

?8? 4 ? ? ? ? ?7?

?

?7? 与? ? ?8?

5 12

不同底但可化同底

? 5?

? 0.3?

?0.3

与 ? 0.2 ?

?0.3

不同底数幂比大小 ,利用指数函数图像 与底的关系比较

不同底但同指数

? 6?

1.70.3 与0.93.1
底不同,指数也不同

利用函数图像 或中间量进行比 较

练习:已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 : (1) 2 m ? 2 n 单调性的逆用,结合函 m n 数图像和分类讨论思想 (2) 0.2 ? 0.2 (3) a m ? a n (a ? 0且a ? 1)

解:( 1 )m ? n (2)m ? n (3)当0 ? a ? 1, m ? n,

当a ? 1,m ? n

比较指数大小的方法
①构造函数法:要点是利用函数的单调性,数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的), 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法:用特殊数如0或1等做桥。数的 特征是不同底不同指或同指不同底。

小结与收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质? 数形结合的方法记忆 3.记住两个基本图形:
1 o x

Y ? (0.5)

x

y

Y ? 2x
y=1

思考:指数函数 y ? a , y ? b , y ? c , y ? d
x x x

x

a,a,b,c,d b, c, d 与正整数 1 的图象如下图所示,则底数
? b ? a ? 1 ? d ? .c 共五个数,从小到大的顺序是 0:
y

y b y? ?b

x x

y ? a x , y ? bx , y ? cx , y ? d x

y?a a

x x
1

yy??c c
yy? ?d d
xx

x x

x 0

谢谢 再见


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