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第三次


金山区 2012 学年第一学期期末考试 高三数学试卷(一模)
(满分:150 分,完卷时间:120 分钟) (答题请写在答题纸上) 一、填空题(本大题共有 14 小题,满分 56 分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ? 3x ? 2 的反函数 f ?1 ( x ) =________. 2. 若全集 U ? R , 集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} , 则 A? CB B ? {x | 0 ? x ? 1} , U 3.函数 y ? sin(2 x ? = .

?
3

) 的最小正周期是_________.


4.计算极限: lim(
n ??

2n 2 ? 2 )= n2 ? n ? 1

5.已知 a ? (1, x) , b ? (4,2) ,若 a ? b ,则实数 x ? _______. 6.若复数 (1 ? 2i )(1 ? ai ) 是纯虚数,( i 为虚数单位),则实数 a 的值是 7.在 ( x ? ) 的二项展开式中,常数项等于
6



2 x

.(用数值表示)

8.已知矩阵 A ? ?

?1 2? ?4 2? ,矩阵 B ? ? ? 3 1 ? ,计算: AB = ?3 4? ? ?



2? 2? . , cos ) ,则直线 l 的倾斜角为 ? = 3 3 10. A, B, C 三所学校共有高三学生 1500 人,且 A, B, C 三所学校的高三学生人数成等差数
9.若直线 l : y ? kx 经过点 P(sin 列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为 120 的样本,进行 成绩分析,则应从 B 校学生中抽取_________人. 11.双曲线 C : x ? y ? a 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线
2 2 2 2

交于 A, B 两点, | AB |? 4 3 ,则双曲线 C 的方程为__________. 12.把一颗骰子 投掷两次,第一次出现的点数记为 m ,第二次出现的点数记为 n ,方程组

?mx ? ny ? 3 只有一组解的概率是_________. (用最简分数表示) ? ?2 x ? 3 y ? 2

13 .若函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足: f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1]时, f ( x ) ?| x | ,函

y ? g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? log3 x ,则函数 y ? f ( x ) 的
图像与函数 y ? g ( x ) 的图像的交点个数为_______. 14.若实数 a, b, c 成等差数列,点 P( ?1,0) 在动直线 l : ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点

N (0,3) ,则线段 MN 长度的最小值是



二、选择题(本大题有 4 题,满分 20 分) 每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律的零分. 15.若

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
2 2





(A) a ? b (C)

(B) ab ? b (D)

2

开始

b a ? ?2 a b

b ?1 a
)

S=0 k=1 k>2011
否 是

16.右图是某程序的流程图,则其输出结果为(

2010 (A) 2011 2011 (C) 2012
2

1 (B) 2011 1 (D) 2012

S?S?

1 k (k ? 1)
输出 S

17. 已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , 则 “ | k |? 2 ” g ( x) ? kx ? 1 , 是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的 (A) 充分但不必要条件 (C) 充要条件 ( )

k ← k+1 第 16 题图

结束

(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

18.给定方程: ( ) ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中:(1) 该方程没有小于 0 的实数解;(2) 该
x

1 2

方程有无数个实数解;(3) 该方程在 ( ??,0) 内有且只有一个实数解;(4) 若 x0 是该方程的 实数解,则 x0 ? ?1 .则正确命题的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ( )

三、解答题(本大题共有 5 个小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 已知集合 A ? {x || x ? a |? 2, x ? R} , B ? {x | (1) 求 A, B ; (2) 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

2x ? 1 ? 1, x ? R} . x?2

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 1. (1) 求 m 的值,并求 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边 a, b, c ,若 f ( B) ? 3 ? 1 ,且 3 a ? b ? c ,试判断

?

) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m , x ? R ,且 f ( x ) 的最大值为 3 3

?

?ABC 的形状.

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a ? 0 . x

(1) 当 a ? 4 时,证明函数 f ( x ) 在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f ( x ) 的最小值.

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,上顶点为 A ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,线段

OF1 , OF2 的中点分别为 B1 , B2 ,且 ?AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.过 B1 作直线 l 交椭圆
于 P, Q 两点. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程; (3) 设直线 l 与圆 O :x ? y ? 8 相交于 M , N 两点, 令 | MN | 的长度为 t , 若 t ? [4,2 7] ,
2 2

求 ?B2 PQ 的面积 S 的取值范围.

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? ?

6 , 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ?an?1 ? 0 ( 其 中 ? ? 0 且 ? ? ?1 , 7

n ? N * ), S n 为数列 {an } 的前 n 项和.
(1) 若 a2 ? a1 ? a3 ,求 ? 的值;
2

(2) 求数列 {an } 的通项公式 a n ; (3) 当 ? ?

1 时,数列 {an } 中是否存在三项构成等差数列,若存在,请求出此三项;若不存 3

在,请说明理由.


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