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2004年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)


2004 年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
(9 月 19 日上午 9:00~11:00)

一、选择题(本题共 6 个小题,每小题 5 分满分 30 分)
(1) 若函数 f ( x) ? 11? 8 cos x ? 2 sin 2 x 的最大值为 a , 最小值为 b , 则 (A) 18 (B) 6 (C) 5 (D) 0 )

/>
a ?1 等于 ( b



(2)若 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列各式中最大的是( (A) ? 1 (C) log2 b (B) log2 a ? log2 b ? 1

(D) log2 (a 3 ? a 2 b ? ab2 ? b 3 )

(3)已知数列 2004 , 2005 ,1 , ? 2004 , ? 2005 ,…,这个数列的特点是从第二项起, 每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2004 项之和 S 2004 等于( (A) 2005 (4)已知函数 f ( x) ? (A) k ? (0, ) (B) 2004 (C) 1
?1



(D) 0

e x ? e?x 的反函数是 f e x ? e ?x
(B) k ? ( ,1)

( x) ,且

| f ?1 (?0.8) | ? k ,则( | f ?1 (0.6) |
3 2



1 2

1 2

(C) k ? (1, )

(D) k ? ( ,2)

3 2

(5)正四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱与底面所成的角为 ? ,侧面与底面所成的角为 ? ,侧面 等腰 三角形的底角为 ? ,相邻两侧面所成的二面角为 ? ,则 ? 、 ? 、? 、? 的大小关系是( (A) ? ? ? ? ? ? ? (C) ? ? ? ? ? ? ? (B) ? ? ? ? ? ? ? (D) ? ? ? ? ? ? ? )

(6)若对任意的长方体 A ,都存在一个与 A 等高的长方体 B ,使得 B 与 A 的侧面积之比 和体积之比都等于 k ,则 k 的取值范围是( (A) k ? 0 (B) 0 ? k ? 1 ) (C) k ? 1 (D) k ? 1

二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分)

(7)若关于 x 的方程

x lg 2 a ? 1 ? x 只有一个实数解,则 a 的值等于 x ? lg a



(8)在 ?ABC 中,若 tan A ?

1 1 , tan B ? ,且最长的边的长为1 ,则最短的边的的长等 2 3


于 . (9)若正奇数 n 不能表示为三个不相等的合数之和,则满足条件的 n 的最大值为

(10)设 a 、 b 、 c 是直角三角形的三条边长,且 (a n ? b n ? c n ) 2 ? 2(a 2n ? b 2n ? c 2n ) ,
* 其中 n ? N , n ? 2 ,则 n 的值等于

. 对.

(11)连接正文体各个顶点的所有直线中,异面直线共有

(12)如图,以 O(0,0) 、 A(1,0) 为顶点作正 ?OAP 1 ,再以 P 1和P 1 A 的中点 B 为顶点作正

?P 1 BP 2 ,再以 P 2和P 2 B 的中点 C 为顶点作正

?P2 CP3 ,…,如此继续下去.有如下结论:
①所作的正三角形的边长构成公比为 数列; ②每一个正三角形都有一个顶点在直线 AP 2 ( x ? 1 )上; ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上

P1
C

P2
P6 P3 P5 P4

1 的等比 2

B

63 21 , 3) ; 64 64 ④第 2004 个正三角形的不在第 2003 个正三角 1 形边上的顶点 P2004 的横坐标是 x 2004 ? 1 ? 2004 . 2
的顶点 P6 的坐标是 ( 其中正确结论的序号是

O

A

(把你认为正确结论的序号都填上) .

三、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分)
x ( 13 )已知函数 f ( x) ? a ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 )的反函数是 y ? f ?1

( x) ,而且函数

y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于点 (a,0) 对称.
(Ⅰ)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f
?1

( x) ? g (? x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义,求 a 的取值范围.

(14)设边长为 1 的正 ?ABC 的边 BC 上有 n 等分点,沿点 B 到点 C 的方向,依次为 P 1,

11n 2 ? 2 . P2 ,…, Pn?1 ,若 S n ? AB ? AP 1 ? AP 1 ? AP 2 ? ? ? AP n ?1 ? AC ,求证: S n ? 6n

d 为公差且不等于 0 , (15) 已知 {an } 是等差数列, 它的前 n 项和记作 S n , a1 和 d 均为实数,
设集合 A ? {( a n ,

Sn 1 ) | n ? N * } , B ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1, x, y ? R} ,试问下列结论是 4 n

否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明. (Ⅰ)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在一条直线上; (Ⅱ) A ? B 至多有一个元素; (Ⅲ)当 a1 ? 0 时,一定有 A ? B ? ? .

二 00 四年全国高中数学联合竞赛(天津初赛) 试题参考答案及评分标准 一、选择题(本题共 6 个小题,每小题 5 分满分 30 分) (1)B (2)C (3)D (4)D (5)A (6)D 二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) (7)100 (8)

5 5

(9)17

(10)4

(11)174

(12)①②③④

三、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分)
x (13) 【解】 (Ⅰ)由 f ( x) ? a ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 ) ,得 f

?1

( x) ? loga ( x ? 3a) …………

5分 又 函 数 y ? g ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? f
?1

( x) 的 图 象 关 于 点 (a,0) 对 称 , 则

g (a ? x) ? ? f ?1 (a ? x)









g ( x) ? ? f ?1 (2a ? x) ? ? l

a

( x ? ?a )………………………………… 10 分 (?x ? a) . o g
?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,有 F ( x) ? f 要使 F ( x) 有意义,必须 ? 又a ? 0, 故 x ? 3a . 分

( x) ? g (?x) ? loga ( x ? 3a) ? loga ( x ? a) .

? x ? 3a ? 0, ? x ? a ? 0.
……………………………………………………………………… 15

由题设 F ( x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义,所以 a ? 2 ? 3a ,即 a ? 1 . 于是, 0 ? a ? 1 . 20 分 ………………………………………………………………………

14. 【证明】如图,设 AB ? c , AC ? b , BC ? a , 令

1 BC ? p ,则 APk ? AB ? BPk ? c ? k p ( k ? 0 , 1 , 2 ,…, n ) n

其中, AP 0 ? AB , AP n ? AC . ∴ AP k ?1 ? AP k ? [c ? (k ? 1) p] ? (c ? k p)

? c ? (2k ? 1)c ? p ? k (k ? 1) p ( k ? 0 ,1 ,2 ,…,n ) ……………
5分 又∵ S n ? AB ? AP 1 ? AP 1 ? AP 2 ? ? ? AP n ?1 ? AC , ∴ S n ? nc ? [
2

2

2

2

? (2k ? 1)]c ? p ? [? k (k ? 1)]p
k ?1 k ?1

n

n

2

? nc ? n 2 c ? p ?
10 分

n(n ? 1)( n ? 1) (n p) 2 3

……………………………………………

? nc ? nc ? ( n p ) ?
…15 分

2

2 n2 ?1 n2 ?1 2 ( n p ) 2 ? nc ? nc ? a ? a . 3n 3n

……………………

又∵ | a |?| b |?| c |? 1 , c 与 a 的夹角为 60 ,
?

∴ Sn ? n ? 20 分

1 n 2 ? 1 11n 2 ? 2 n? ? . 2 3n 6n

……………………………………………………

15. 【解】 (Ⅰ)正确. 因为,在等差数列 {an } 中, S n ?

n(a1 ? a n ) S a ? an ,所以, n ? 1 . 2 n 2

这表明点 ( a n ,

Sn 1 ) 的坐标适合方程 y ? ( x ? a1 ) . 2 n
, 点





(a n ,

Sn ) n







线

y?

1 ( x ? a1 ) 2

上. ……………………………………………5 分 (Ⅱ)正确.

1 1 ? y ? x ? a1 , ? 2 2 设 ( x, y) ? A ? B ,则 ( x, y ) 坐标中的 x 、 y 应是方程组 ? 2 的解. ? x ? y2 ? 1 ? 4
解这个方程组,消去 y ,得 2a1 x ? a1 ? ?4 . (﹡) 当 a1 ? 0 时,方程(﹡)无解,此时, A ? B ? ? . 10 分 当 a1 ? 0 时,方程(﹡)只有一个解 x ? …………………………………
2

? 4 ? a1 , 2a1

2

2 ? ? 4 ? a1 , ?x ? ? 2a1 此时方程组也只有一个解,即 ? 2 ? y ? a1 ? 4 . ? 4a1 ? 故上述方程组至多有一解, 所以 A ? B 至多有一个元素.

………………………………

15 分 (Ⅲ)不正确.
* 取 a1 ? 1 , d ? 1 ,对一切 n ? N ,有 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 0 ,

Sn ? 0. n

这时集合 A 中的元素的点的横、纵坐标均为正. 另外,由于 a1 ? 1 ? 0 ,如果 A ? B ? ? ,那么根据(Ⅱ)的结论,

A ? B 至多有一个元素( x0 , y0 ) ,而 x0 ?

? 4 ? a1 a ?4 5 3 ? ? ? 0 , y0 ? 1 ? ? ? 0. 2a1 2 4a1 4

2

2

这样的 ( x0 , y0 ) ? A ,产生矛盾.所以, a1 ? 1 , d ? 1 时, A ? B ? ? , 故 a1 ? 0 时,一定有 A ? B ? ? 是不正确的. ……………………………………20 分


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