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物理奥赛辅导:第6讲 万有引力和天体运动


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第六讲
一,知识点击 1.开普勒定律

万有引力和天体运动

第一定律(轨道定律) :所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动.太阳是在 这些椭圆的一个焦点上. 第二定律(面积定律) :对每个行星来说,太阳和行星的连线(叫矢径)在相等的时间内 扫过相等的面积. "面积速度" :

S 1 = rυ sin θ (θ为矢径 r 与速度 υ 的夹角) t 2

第三定律(周期定律) :所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值 相等.即:

T2 = 常量 . a3

2.万有引力定律 ⑴万有引力定律:自然界中任何两个物体都是相互吸引的.任何两个质点之间引力的大 小跟这两个质点的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比.

F =G

Mm , r2

G = 6.67 × 1011 N m 2 / kg 2 ,称为引力常量.

⑵重力加速度的基本计算方法 设 M 为地球的质量,g 为地球表面的重力加速度. 在地球表面附近( h << R )处: G 在地球上空距地心 r=R+h 处: g r = G

Mm GM = mg , g = 2 =9.8m/s2 2 R R M , r2

gr R 2 R 2 = 2 =( ) g r R+h

4 3 πr ρ Mr 4 g r r 在地球内部跟离地心 r 处: g r = G 2 = G 3 2 = Gπρ r , r = , gr = g r r 3 g R R
3.行星运动的能量 ⑴行星的动能 当一颗质量为 m 的行星以速度 υ 绕着质量为 M 的恒星做平径为 r 的圆周运动:

EK =
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GM 1 Mm mυ 2 = G ,式中 υ = . 2 2r r
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⑵行星的势能 对质量分别为 M 和 m 的两孤立星系,取无穷远处为万有引力势能零点,当 m 与 M 相距 r 时,其体系的引力势能: EP = G

Mm r 1 Mm Mm 2 ⑶行星的机械能: E = EK + EP = mυ G = G 2 r 2r

4.宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度(相对地球) 第一宇宙速度:环绕地球运动的速度(环绕速度) . 第二宇宙速度:人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度(脱离速度) . 第三宇宙速度:使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度(逃逸速度) . ⑵引力场,引力半径与宇宙半径. 对于任何一个质量为 M,半径为 r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征 速度.如果第二宇宙速度超过光速,即 c <

2GM 2GM ,则有关系. r < r c2

在这种物体上,即使发射光也不能克服引力作用,最终一定要落回此物体上来,这就是 牛顿理论的结论,近代理论有类似的结论,这种根本发不了光的物体,被称为黑洞,这个临 界的 r 值被称为引力半径,记为 rg =

2GM c2

用地球质量代入,得到 rg≈0.9 cm,设想地球全部质量缩小到 1 cm 以下的小球内,那么 外界就得不到这个地球的任何光信息. 如果物质均匀分布于一个半径为 r 的球体内,密度为ρ,则总质量为 M =

4 3 πr ρ 3

4 2G π rg3 ρ 3c 2 1 3 又假设半径 r 正好是引力半径,那么 rg = ,得 rg = ( )2 c2 8π G ρ
此式表示所设环境中光不可能发射到超出 rg 的范围,联想起宇宙环境的质量密度平均值 为 10-29g/cm3, 这等于说, 我们不可能把光发射到 1028cm 以外的空洞, 这个尺度称为宇宙半径. 二,方法演练 类型一,天体运动中一类应用开普勒定律的问题,解这类问题时一定要注意运动的轨道, 类型一,天体运动中一类应用开普勒定律的问题,解这类问题时一定要注意运动的轨道, 面积,周期,但三者之间也是有关联的,正因为如此,解题时要特别注意"面积速度" 面积,周期,但三者之间也是有关联的,正因为如此,解题时要特别注意"面积速度" 速度 . 例 1.要发射一艘探测太阳的宇宙飞船,使其具有与地球相等的绕日运动周期,以便发射一年 . 后又将与地球相遇而发回探测资料.在地球发射这一艘飞船时,应使其具有多大的绕日
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速度? 分析与解: 分析与解:如示 6—1 所示,圆为地球绕日轨道,椭圆为所发射飞船的绕日轨道,S 点(太阳) 为此椭圆的一个焦点,因飞船与地球具有相等的绕日周期,由开普勒周期定律:

T2 4π 2 T 2 = = a 3 GM S R 3
可知椭圆的半长轴 a=R,两轨道的交点必为半轴顶点, 发射飞船时,绕日速度 υ 应沿轨道切线方向,即与椭圆 长轴平行的方向. 则飞船的"面积速度"为: S椭 = 地球的"面积速度"为: S圆 = 故: υ0 = υ 当绕日速度的方向不同时,其轨道的短轴 b 不同,但长半轴 R 相同,太阳为椭圆轨道的 一个焦点,且发射的绕日速度大小相同. 一物体 A 由离地面很远处向地球下落, 落至地面上时, 其速度恰好等于第一宇宙速度. 已 例 2. . 知地球半径 R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力,求此物体在空中运动的时间. 分析和解: 分析和解:物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值,即: υ = 上式中 R 为地球半径,g 为地球表面处的重力加速度. 设 A 最初离地心的距离为 r, 则由其下落过程中机械能守恒, 应有: mυ G
2

1 π Rb 2π R υb = ,υ = 2 T T

1 π R2 2π R υ0 R = , υ0 = 2 T T

Rg

1 2

Mm Mm = G R r

且 GM=gR2 联立上三式可解得:r=2R 物体在中心天体引力作用下做直线运动时,其速度,加速度是变化的,可以将它看绕中 心天体的椭圆轨道运动,将其短轴取无限小.这就是我们通常所说的"轨道极限化" . 物体 A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行,其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端,如图 6—2 所示,则由开普勒第一定律, 得知地心为椭圆的一个焦点.则椭圆长半轴为 a=R

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又由开普勒第三定律,物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心(轨道不计为 R)的圆轨 道运行的周期相等.其周期为:

T=

2π R

υ

= 2π

R g
S t = S0 T

再由开普勒第二定律得:

1 1 S = π ab + ab , S0 = π ab 4 2

1 1 π ab + ab S 2 2π R = ( π + 1) R t= T= 4 π ab S0 g 2 g =( 3.14 6400 ×103 + 1) = 2.06 × 103 s 2 9.8

类型二,天体质量(密度) 类型二,天体质量(密度)的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计 算的基本方程,解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立, 算的基本方程,解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立,同时还要注意忽略微小 量(次要因数)的问题,这是解决这类问题的两个非常重要的因数. 次要因数)的问题,这是解决这类问题的两个非常重要的因数. 例 3.新发现一行星,其星球半径为 6400 km,且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面, . 海洋的深度为 10 km,学者们对该行星进行探查时发现,当把试验样品浸入行星海洋的不同深 度时,各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变.试求此行星表面处的自由落体加 速度.已知万有引力常量 G=6. 67×10-11N m2/ kg2. 分析和解: 分析和解:解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星,才能运用基本方程式求行 星表面处的自由落体加速度,若把水视为运动卫星群,则关键是如何求中心天体的质量. 以 R 表示此星球的半径,M 表示其质量,h 表示其表面层海洋的深度,R0 表示除海洋外星 球内层的半径,r 表示海洋内任一点到星球中心的距离.则:

R > r > R0 ,且 R = R0 + h ,以ρ 水 表示水的密度.则此星球表面海洋水的总质量为 4 4 4 3 m = π R 3 ρ水 π R0 ρ水 = πρ水 3R02 h + 3R0 h 2 + h3) ( 3 3 3
因 R>>h,略去 h 高次项,得 m = 4πρ水 R h
2

由G

Mm GM (M m)m G M m) ( = mg 表 , g 表 = 2 , G = mg 0 , g 0 = 2 2 R R R0 R02
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依题意: g 表 = g 0 ,即:

M (M m)(M m) R 2m = = ,M = 2 R2 R02 (R h) 2 Rh h 2

G × 4πρ水 R 3h 则 g表 = = 2π G ρ水 R R 2 2h
将 G=6. 67×10-11N m2/kg2,ρ水=1.0×103kg/m3,R=6.4 ×106 m 代入得:g 表=2. 7 m/s2. 类型三,天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能, 类型三,天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能,然后利用机械能的改变 星的机械能 及功能原理来解题,这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理,又要符合能量原理. 及功能原理来解题,这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理,又要符合能量原理. 例 4.质量为 m 的人造地球卫星,在圆形轨道上运行.运行中受到大小恒为 f 的微弱阻力作 . 用,以 r 表示卫星轨道的平均半径,M 表示地球质量,求卫星在旋转一周的过程中: (1)轨道半径的改变量Δr=? (2)卫星动能的改变量ΔEk=? 分析和解: 分析和解:因卫星沿圆形轨道运动,则 G 则卫星的机械能为 E =

Mm υ2 1 GMm = m ,则 EK = mυ 2 = , 2 r r 2 2r

GMm GMm GMm = 2r r 2r

(1) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r,则对应机械能改变量为

GMm GMm GMm 1 1 1 1 r r + = ( ) , = ≈ 2 (r + r) 2r 2 2 r r + r r r + r r(r + r) r GMm E = r 2r 2 E = GMm 4π r 3 f 根据功能原理:W=ΔE,即 2π rf = r , r = ,负号表示轨道半径减小. 2r 2 GMm
(2)卫星动能的改变量为:

EK =

GMm GMm GMm 1 1 GMm GMm 4π r 3 f = ( ) ≈ r = × ( ) 2π rf = (r + r) 2r 2 2 r + r r 2r 2 2r 2 GMm

类型四,天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题: 类型四,天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力场所需要的能量的 问题;一个是能量的来源问题.而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞. 问题;一个是能量的来源问题.而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞. 例 5.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行星的质量 . 小很多,飞行器的速率为 υ0 ,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍.有人企图借 助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系,于是他便设计了如下方案:Ⅰ.当飞行 器在其圆周轨道的适当位置时,突然点燃飞行器上的喷气发动机,经过极短时间后立即
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关闭发动机,以使飞行器获得所需的速度,沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道;Ⅱ.飞 行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘,速度的方向和小行星在该处速度的方 向相同,正好可被小行星碰撞;Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰.不计燃烧的燃 料质量. (1)试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系. (2)设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1.如果不采取上述方案而令飞行 器在圆轨道上突然点燃喷气发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,以使飞行器获得足够 的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系.采用这种办法时飞行器从发动机 取得的能量的最小值用 E2 表示.问

E1 为多少? E2

分析和解: 分析和解:(1)设太阳的质量为 M0,飞行器的质量为 m,飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径 为 R.根据所设计的方案,可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发,沿着半个椭圆轨道到 达小行星轨道上的.该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切,又与小行星的圆轨道相切.要使 飞行器沿此椭圆轨道运动,应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内,由 υ0 变为某一值 u0.设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为 u,因为大小为 u0 和 u 的这两个速度的方 向都与椭圆的长轴垂直,由开普勒第二定律可得 u0 R= 6 Ur 由能量关系,有 (1) (2)

M m 1 M m 1 2 mu0 G 0 = mu 2 G 0 2 R 2 6R

由万有引力定律,有 G

GM 0 M 0m υ2 = m 0 ,或 υ0 = 2 R R R 12 υ0 7
(4) u = ,

(3)

解(1) (3)三式得 u0 = (2)

1 υ0 21

(5)

设小行星绕太阳运动的速度为 V,小行星的质量为 M, 由万有引力定律 G 可以看出 V>u

GM 0 M 0M 1 V2 =M ,得 V = = υ0 2 (6 R) 6R 6R 6
(7)

(6)

由此可见,只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道,使得它到达小行星轨 道处时,小行星的前缘也正好运动到该处,则飞行器就能被小行星撞击.可以把小行星看作 是相对静止的,飞行器以相对速度 V u 射向小行星,由于小行星的的质量比飞行器的质量 大得多,碰撞后,飞行器以同样的速度 V u 弹回,即碰撞后,飞行器对小行星的速度的大小
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为 V u , 方 向 与 小 行 星 的 速 度 的 方 向 相 同 , 故 飞 行 器 相 对 太 阳 的 速 度 为

u1 = V + V u = 2V u
或将(5) (6)式代入得 u1 = (

2 1 )υ0 3 21

(8)

如 果 飞 行 器 能 从 小 行 星 的 轨 道 上 直 接 飞 出 太 阳 系 , 它 应 具 有 的 最 小 速 度 为 u2 , 则 有

M m 1 2 mu2 G 0 = 0 2 6R
得 u2 =

GM 0 1 = υ0 3R 3

(9)

可以看出 u1 =

1 1 1 ( 2 )υ0 > υ 0 = u2 3 7 3

(10)

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系. (2) 为使飞行器能进人椭圆轨道,发动机应使飞行器的速度由 υ0 增加到 u0,飞行器从发动 机取得的能量 (3)

E1 =

1 1 1 12 1 5 2 2 2 mu0 mυ0 = m υ02 mυ0 = mυ02 2 2 2 7 2 14

(11)

若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系,飞行器应具有最小速度为 u3 ,则有

M m 1 2 mu3 G 0 = 0 2 R
由此得 u3 =

2G

M0 = 2υ0 R

(12)

飞行器的速度由 υ0 增加到 u3,应从发动机获取的能量为

1 1 1 2 mu3 mυ02 = mυ02 2 2 2 5 mυ 2 E1 14 0 所以 = = 0.71 1 E2 2 mυ0 2 E2 =

(13)

(14)

类型五,天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题: 类型五,天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力场所需要的能 量的问题;一个是能量的来源问题.而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞. 量的问题;一个是能量的来源问题.而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞. 例 7.经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研 . 究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识,双星系统由两个 星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离,一般双星系统距离其他星
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体很远,可以当作孤立系统处理,现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该星系 统中每个星体的质量 M,两者相距 L,它们正围绕两者连线的中点作圆周运动. (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算; (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,,且 T 观测:T 计算=1: N (N>l) ,为了解释 T 观


与 T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测

不到的暗 物质,作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体 内均这种暗物质, 而不考虑其他暗物质的影响, 试根据这一模型和上述观测结果确 定该星系间这种暗物质的密度. 解.(1)双星均绕它们的连线的中点作圆周运动,设运动速度为 υ ,向心加速度满淀下面的方 程M

υ2
L/2

=

GM 2 L2




υ=

GM 2L 2π L / 2) ( =πL 2L GM

周期 T计算 =

υ



(2)根据观测结果,星体的运动周期

T观测 =

1 T计算 < T计算 N



这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力,故它一定还受到其他指向中心的作用 力,按题意,这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的 作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M',位于中点处的质点相同,考虑暗物质作用后双星 的速度即为观察到的速度 υ观 ,现有 M
2 υ观

L/2

=

GM 2 MM ′ +G 2 L ( L / 2) 2



υ观 =

G ( M + 4M ′) 2L



因为在轨道一定时,周期和速度成反比,由④式得

1

υ观

=

1 1 Nυ




把②⑥式代入⑦式得 M ′ =

N 1 M 4

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设所求暗物质的密度为ρ,则有 π ( ) ρ =
3

故ρ =

3( N 1) M 2π L3

4 3

L 2

N 1 M 4



三,小试身手 1.质量为 m 的人造地球卫星,绕半径为 r0 的圆轨道飞行,地球质量为 M,试求 (1)卫星的总机械能. (2)若卫星受微弱摩擦阻力 f (常量),则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球,因 f 很小, 轨道半例径变化非常缓慢,每周旋转可近似按半径为 r 的圆轨道处理,但 r 将逐周 缩短,在 r 轨道上旋转一周 r 的改变量Δr 是多少. (3)在 r 轨道上旋转一周卫星动能的改变量是多少.

2.一个飞行器被发射到一个围饶太阳的椭圆轨道上,以地球轨道为近日点,而以火星轨道为 远日点,如图 6—3 所示,已知地球至太阳的距离为 R1,火星至太阳的距离为 R2. (1)求 轨道方程的参数λ和ε值; (2)利用开普勒第三定律计算沿此轨道到达火星轨道所需时 间.

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3.地球 m 绕太阳 M(固定)作椭圆运动,已知轨道半长轴为 A,半短轴为 B,如图 6 一 4 所 示,试求地球在椭圆各顶点 1,2,3 的运 动速度的大小及其曲率半径.

4.要发射一颗人造地球卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球作匀速圆周运动,为此先 将卫星发射到半径为 r1 的近地暂行轨道上绕地球作匀速圆周运动.如图 6—5 所示,在 A 点,实际使卫星速度增加,从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上,当卫星到达转移轨 道的远地点 B 时,再次改变卫星速度,使它进入预定 轨道运行,试求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间,设 万有引力恒量为 G,地球质量为 M.

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5.宇宙飞船在距火星表面 H 高度处作匀速圆周运动,火星半径为 R,今设飞船在极短时间内 向外侧点喷气,使飞船获得一径向速度,其大小为原速度的 α 倍,因 α 量很小,所以飞 船新轨道不会与火星表面交会.如图 6 一 6,飞船喷气质量可忽略不计. (1)试求飞船新轨道的近火星点的高度 h近 和远火星点高度 h远 , (2)设飞船原来的运动速度 υ0 ,试计算新轨道的运行周期 T.

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6.质量为 m 的登月器连接在质量为 M(=2m)的航天飞机上一起绕月球作圆周运动,其轨道 半径是月球半径 Rm 的 3 倍,某一时刻,将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后,登 月器仍沿原方向运动,并沿图 6 一 7 所示的椭圆轨道登上月球表面,在月球表面逗留一 段时间后,经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接,试求登月器在月 球表面可逗留多长时间?已知月球表面的重力加速度为 gm=1.62m/s2 ,月球的半径

Rm = 1.74 × 106 m .

7.从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的能量最少.假定 地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体, R=6400km.已知质量为 m 的物体在地球引力作 用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

E=

GMm 式中 M 为地球质量,G 为引力常量. 2a

(1)假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示).

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(2)若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? (3)试导出 E =

GMm . 2a

参考解答

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1.解: (1)因人造地球卫星沿圆形轨道运动,则 G

Mm υ2 1 GMm = m ,则 EK = mυ 2 = , 2 r0 r0 2 2r0

则卫星的机械能为 E =

GMm GMm GMm = 2r0 r0 2r0

(2) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r,则对应机械能改变量为

GMm GMm GMm 1 1 1 1 r r + = ( ) , = ≈ 2 (r + r) 2r 2 2 r r + r r r + r r(r + r) r GMm E = r 2r 2 GMm r , 根据功能原理:W=ΔE,即 2π rf = 2r 2 E = r =

4π r 3 f ,负号表示轨道半径减小. GMm

(3)卫星动能的改变量为:

EK =

GMm GMm GMm 1 1 GMm GMm 4π r 3 f = ( ) ≈ r = × ( ) 2π rf = (r + r) 2r 2 2 r + r r 2r 2 2r 2 GMm

2.解: (1)在近日点处,椭圆轨道方程中的θ=0,即 R1 = 在远日点处 θ = π 即 R2 =

λ (1 + ε ) 1 ε
R1 R2 R1 + R2

λ (1 + ε ) =λ 1+ ε





均①②式解得: λ = R 1 , ε =

T2 (2)根据开普勒第三定律, 3 = C (常数)地球绕太阳的运行周期 T1(=1 年) ,设飞 a T2 行器运行的周期为 T,则 2 = T1
即T = (

(

R1 + R2 3 ) 2 R13

R1 + R2 3 2 ) T 2 R1

因此该飞行器沿此轨道运行到火星轨道所需时间为

t=

T 1 R1 + R2 3 2 = ( ) 年. 2 2 2 R1

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3.解:对顶点 1,2,由机械能守恒定律有

1 Mm 1 Mm 2 mυ12 G = mυ2 G 2 AC 2 A+C




( = ( 根据开普勒第二定律有 V1 A C) V2 A + C)
②式中 C =

A2 B 2 A + C GM A + A2 B 2 = B A B GM A GM A


由①②式解得 V1 =

A C GM A A2 B 2 V2 = = B A B
由万有引力提供向心力得

mυ12

ρ1

Mm =G 2 (A C) Mm =G 2 (A + C)

2 mυ2

ρ2



B2 解得 ρ1 = ρ 2 = A
对顶点 3,由机械能守恒得 将 υ1 代入⑤得 υ3 =

1 Mm 1 Mm mυ32 G = mυ12 G ⑤ 2 B 2 AC

GM A

同样可得 ρ3 =

A2 B

4.解:以 V 表示卫星的速度,当卫星在暂行轨道上经过近地点 A 和远地点 B 时.V 与 r 垂直, 根据并普勒第二定律,有 VB =

r1 VA r2

卫星在暂行轨道上总机械能守恒 E A = EB

EA =

1 Mm 1 Mm 1 1 1 1 2 2 2 mVA2 G , EB = mVB G , mVA mVB = GMm ( ) 2 r1 2 r2 2 2 r1 r2
2

解得 VA =

2GMr2 2GMr1 2 , VB = (r1 + r2) r1 r2 r1 + r2) ( 1 rVA 1 2

卫星的面积速度为 S = S A = S B =

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椭圆的面积为 π ab ,其中 a = 因此周期为 T =

r1 + r2 , b = r1r2 2

π ab
S



3 (r1 + r2) 2GM

从 A 到 B 点所需时间 t 为 t =

T π r1 + r2) r1 + r2 ( = 2 2 2GM

5.解:设火星和飞船的质量分别为 M 和 m,飞船沿椭圆轨道运行时,飞船在最近点 或最远点与火星中心的距离为 r,飞船速度为 υ . 因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为 度

1 r0υ0 . 等于喷气后飞船绕椭圆轨道在 P 点的面积速 2

1 r0υ P sin θ (P 点为圆和椭圆的交点) ,由开普勒第二定律,后者又应等于飞船在近, 2 1 1 1 1 远火星点的面积速度 rυ ,故 r0υ0 = r0υ P sin θ = rυ ,即 r0υ0 = rυ 2 2 2 2
由机械能守恒定律有

1 Mm 1 Mm 2 mυ 2 G = m(υ0 + α 2υ02 ) G 2 r 2 r0

飞船沿原圆轨道运动时,有 G 式中 r0 = R + H ,r=R+h

υ2 Mm =m 0 r02 r0

上述三个方程消去 G,M, υ0 后可解得关于 r 的方程为 (1 α ) r 2r0 r + r0 = 0
2 2 2

上式有两个解,大者为 r远 ,小者为 r近 .

r近 =

r0 r R+H R+H = , r远 = 0 = 1+α 1+α 1α 1α H αR H +αR , h近 = r近 R = 1+α 1α r0 1α 2 2π r0

故近,远火星点距火星表面的高度为

h远 = r远 R =

(2)设椭圆轨道的半长轴为 a

r近 + r远 = 2a ,即 a =

飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为 T0 =

υ0

,设飞船喷气后,绕椭圆轨道运行的周期为

T,由开普勒第三定律有

T a 3 = ( )2 T0 r0
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故 T = T0 ( )2 =

a r0

3

3 3 2π r0 2π R + H) 1 ( 1 ( )2 ,即 T = ( )2 . 2 2 1α υ0 1 α υ0

6.解:设脱离前登月器与航天飞机一起绕月球运动的速度为 V0,有

GM m GM m (M + m)(M + m)V02 = ,得 V0 = 2 (3Rm) 3Rm 3Rm
其运动周期 T0 =

2π 3Rm) ( 3Rm = 6π Rm V0 GM m
GM m , 2 Rm

①式中 Mm 为月球的质量,而月

球表面的重力加速度 g m =



GM m = g m Rm = 1.62 ×1.74 × 106 = 2.82 × 106 m 2 / s 2 Rm

因而①式中 T0 ≈ 33812 s ≈ 9.4h 设登月器与航天飞机脱离后两者的的速度分别为 V1 和 V2,由动量守恒可得

(M + m)V0 = mV1 + MV2



此后两者沿不同的椭圆轨道运动,设登月器运动到月球表面时的速度为 V1′ ,则由机械能 守恒得

GM m m 1 2 GM m m 1 mV12 = V1′ 2 3Rm 2 Rm




由开普勒第二定律 3RmV1 = RmV1′ 由③④可得, V1 =

GM m 1 = V0 6 Rm 2
3 2 1 2 2 )V0




将⑤代入②得, V2 = (

设航天飞机运动到离月球最远处与月球的距离为 KRm ,速度为 V2′ ,同样可得类似于③④ 式的方程

GM m m 1 GM m m 1 mV22 = mV2′2 2 3Rm 2 Rm




3RmV2 = KRmV2′

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由⑦⑧式可解得 K =

19 6 2 ≈ 5.75 V0 2 2 2 1 2( ) 1 V2 3 =
1 ( K + 3) Rm 2


故航天飞机运动轨道的半长轴为 d m =

由题意知,登月器为能沿原轨道返回脱离点与航天飞机实现对接,则它在月球上 可逗留的时间应是 t = ( n + 1)TM Tm ( n = 0,1, 2 ) ⑩

式中 TM 与 Tm 分别为航天飞机与登月器运动周期,由开普勒第三定律,得

d 3 TM K + 3 32 =( m ) 2 =( ) ≈ 1.76 T0 3Rm 6 Tm 2R 3 2 3 = ( m ) 2 = ( ) 2 ≈ 0.54 3Rm 3 T0 TM ≈ 1.76T0 , Tm ≈ 0.54T0
将两式代入⑩式,得

t = [ (n + 1) × 1.76 0.54] T0 = (1.76n + 1.22) × 9.4h

(n = 0,1, 2 )

上式即为登月器在月球表面可逗留的时间,最短时间为 11.5 h.

7.解: (1)这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球 引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到 N 点,

则此椭圆一定位于过地心 O,北极点 N 和赤道上的

发射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内, 因此导弹的发射速度(初速度 v)必须也在此平面内,

地心 O 是椭圆的一个焦点.根据对称性,注意到椭圆上的 C,N 两点到焦点 O 的距离相等, 故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的直线,即图上的直线 AB,椭圆的另一焦点必在 AB 上.已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时,物体和地球

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构成的系统的能量 E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关系为 E = (1)

GMm 2a

要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短.根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两 焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的 半径 R,只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最小,该椭圆的半长轴就最小.显然,当 另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时,C 到该焦点的距离必最小.由几何关系可知

2a = R +

2 R 2

(2)

设发射时导弹的速度为 v,则有

E=

1 GMm mυ 2 2 R

(3)

解(1),(2),(3)式得 υ =

2GM ( 2 ) R

(4)

因G

Mm = mg R2

(5)

比较(4),(5)两式得 υ =

2 Rg ( 2 )
(7)

(6)

代入有关数据得 υ = 7.2km / s

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识,过椭圆上一点的切线的垂直线, 平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角

θ = 900 × 450 = 67.50

1 2

(8)

(2)由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为 υC =

2π R (9) T

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600s=86400s,故

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υC = 0.46km / s (10)
C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直 的速度 υC ,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7),(8)两式的要求,导弹相 对于地面(C 点)的发射速度应有一大小等于 υC ,方向与 υC 相反的分速度,以使导弹在此 方向相对于地心的速度为零,导弹的速度的大小为

2 υ ′ = υ 2 + υC (11)

代入有关数据得 υ ′ = 7.4km / s

(12)

它在赤道面内的分速度与 υC 相反,它在子午面内的分速度满足(7),(8)两式.

(3)质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对 于近地点和远地点有下列关系式

1 GMm 1 GMm 2 mυ12 = mυ2 2 r1 2 r2
1 1 r1υ1 = r2υ2 2 2

(13)

(14)

式中 υ1 , υ2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1,r2 为远地点和近地点到地心的距 离.将(14)式中的 υ1 代入(13)式,经整理得

2 1 GMm 2 r mυ2 ( 22 1) = (r2 r1 ) 2 r1 r1r2

(15)

注意到 r1+r2=2a

(16)



1 GMm r1 2 mυ2 = 2 2a r2

(17)

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E=

1 GMm 2 mυ2 = 2 r2

(18)

由(16),(17),(18)式得 E =

GMm 2a

(19)

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