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课时作业33不等关系与不等式


课时作业 33 不等关系与不等式
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (2014· 大连质检)x=(a+3)(a-5)与 y=(a+2)(a-4)的大小关系 是( ) A.x>y C.x<y B.x=y D.不能确定

解析:∵x-y=a2+3a-5a-15-a2-2a+4a+8 =-7<0,∴x<y. 答案:C

2.已知 a>b,则下列不等式成立的是( A.a2-b2≥0 C.|a|>|b| B.ac>bc D.2a>2b )

解析:A 中,若 a=-1,b=-2,则 a2-b2≥0 不成立;当 c=0 时,B 不成立;当 0>a>b 时,C 不成立;由 a>b 知 2a>2b 成立,故选 D. 答案:D 3.已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0, 1 1 能推出a<b成立的有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

1 1 解析:运用倒数性质,由 a>b,ab>0 可得a<b,②、④正确.又 正数大于负数,①正确,③错误,故选 C. 答案:C

4.若 1<a<3,-4<b<2,那么 a-|b|的取值范围是( A.(-1,3) C.(-3,3) B.(-3,6) D.(1,4)

)

解析:由-4<b<2?0≤|b|<4,-4<-|b|≤0, 又 1<a<3.∴-3<a-|b|<3.故选 C. 答案:C 5.(2014· 合肥一模)使不等式 a>b 成立的一个充要条件是( A.a2>b2 C.lga>lgb 1 1 B.a<b 1 1 D.2a<2b )

1 1 解析:a=-2,b=1,满足 a2>b2 和a<b,但 a<b;lga>lgb?a>b 但 0>a>b?/ lga>lgb. 答案:D 1 6.已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C= ,比较 A、B、 1+a C 的大小结果为( A.A<B<C C.A<C<B ) B.B<A<C D.B<C<A

1 5 3 解析:不妨设 a=-2,则 A=4,B=4,C=2,由此猜想 B<A<C. 由-1<a<0 得 1+a>0, A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0 得 A>B, a?a2+a+1? 1 2 C-A= -(1+a )=- 1+a 1+a 1? 3? ?? a??a+2?2+4? ? ?? ? =- >0,得 C>A,∴B<A<C. 1+a

答案:B 7.(2014· 安徽百校联盟一模)已知 a,b∈R,下列四个条件中,使 a b>1 成立的必要不充分条件是( A.a>b-1 C.|a|>|b| ) B.a>b+1 D.lna>lnb

a-b a a 解析:由b>1?b-1>0? b >0?(a-b)b>0?a>b>0 或 a<b<0? a |a|>|b|,但由|a|>|b|不能得到 a>b>0 或 a<b<0,即得不到b>1,故|a|>|b| a 是使b>1 成立的必要不充分条件. 答案:C 1 3 8.若 x∈(2,1),a=log2x,b=2log2x,c=log2 x,则( A.a<b<c C.b<a<c B.a<a<b D.b<c<a )

1 解析:∵x∈(2,1),∴-1<log2x<0. ∴c-a=log2x(log2x+1)(log2x-1)>0,即 c>a. a-b=-log2x>0,∴a>b,∴c>a>b,故选 C. 答案:C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 3 9.现给出三个不等式:①a2+1>2a;②a2+b2>2(a-b-2);③ 7 + 10> 3+ 14.其中恒成立的不等式共有________个. 解析:因为 a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以①不恒成立;对于②, a2+b2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,所以②恒成立;对于③,

因为( 7+ 10)2-( 3+ 14)2=2 70-2 42>0,且 7+ 10>0, 3+ 14>0,所以 7+ 10> 3+ 14,即③恒成立. 答案:2 10.(2014· 福建泉州 3 月,15)若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y, a b ②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤y >x 这五个式子中,恒成立 的所有不等式的序号是________. 解析:令 x=-2,y=-3,a=3,b=2, 符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6, ∴ax=by,因此③也不成立. a 3 b 2 又∵y= =-1,x= =-1, -3 -2 a b ∴y=x,因此⑤不成立. 由不等式的性质可推出②④成立. 答案:②④ 11.设 a>0,且 a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),则 P 与 Q 的大小关系是________. 解析:∵P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1), a>0,∴a3-1>0,a2-1>0,∴a>1. 又∵(a3-1)-(a2-1)=a2(a-1)>0, ∴a3-1>a2-1, ∴loga(a3-1)>loga(a2-1),即 P>Q. 答案:P>Q

三、解答题(共 3 小题,每小题 15 分,共 45 分.解答写出必要的 文字说明,证明过程或演算步骤) 12. 设 0<x<1, a>0 且 a≠1, 比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小. 解:法一:当 a>1 时,由 0<x<1 知, loga(1-x)<0,loga(1+x)>0, ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2), ∵0<1-x2<1,∴loga(1-x2)<0,从而-loga(1-x2)>0, 故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 当 0<a<1 时,同样可得|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 法二:平方作差 |loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2 1-x =[loga(1-x)]2-[loga(1+x)]2=loga(1-x2)· loga 1+x =loga(1-x2)· loga(1- 2x )>0. 1+x

∴|loga(1-x)|2>|loga(1+x)|2, 故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 法三:作商比较 ∵ |loga?1-x?| loga?1-x? =| | |loga?1+x?| loga?1+x?

=|log(1+x)(1-x)|, ∵0<x<1,∴log(1+x)(1-x)<0, 故 |loga?1-x?| =-log(1+x)(1-x) |loga?1+x?| 1 1-x

=log(1+x)

=1+log1+x(

1 1 1 · )=1+log(1+x) , 1-x 1+x 1-x2

1 由 0<x<1 知,1+x>1 及 >1, 1-x2 ∴log(1+x) |loga?1-x?| 1 >1, 2>0,故 1-x |loga?1+x?|

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. x 13.已知 x,y 为正实数,满足 1≤lgxy≤2,3≤lgy≤4,求 lg(x4y2) 的取值范围. 解:设 a=lgx,b=lgy, 则 lg(xy)=a+b, x lgy=a-b,lg(x4y2)=4a+2b, 设 4a+2b=m(a+b)+n(a-b),
? ? ?m+n=4, ?m=3, ? ∴ 解得? ?m-n=2. ? ? ?n=1.

x ∴lg(x4y2)=3lg(xy)+lgy, x ∵3≤3lg(xy)≤6,3≤lgy≤4, ∴6≤lg(x4y2)≤10. 1 1 14.(2014· 汉中调研)已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且a>b,x>y,求 x y 证: > . x +a y + b bx-ay x y 证明: - = . x+a y+b ?x+a??y+b? 1 1 ∵a>b且 a,b∈(0,+∞),

∴b>a>0, 又∵x>y>0,∴bx>ay>0, ∴ bx-ay x y >0,∴ > . ?x+a??y+b? x+a y+b


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