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2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点2:函数导数


(新沂市第一中学 2011 届高三数学)6.二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c( a 、b 、c ? R ) , 若a、
2

b 、 c 成等比数列且 f (0) ? 1 ,则函数 f ( x) 的最大值为



5 . 4

(新沂市第一中学 2011 届高三数学)10

.若函数 f(x)对于任意的 x 都有 f (x+2)=f (x+1) -f (x)且 f (1)=lg3-lg2,f (2)=lg3+lg5,则 f (2010)= ▲ .-1 (新沂市第一中学 2011 届高三数学)20. (本小题满分 16 分)
2 ? g ( x) ? 2e ln x( x ? 0) 已知函数 f ( x) ? x , ( e 为自然对数的底数) , 它们的导数分别为 f ( x ) 、

g ?( x ) .

? ? (1)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? g ( x) ? 4 e ;
(2)求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)( x ? 0) 的单调区间及最小值; (3)试探究是否存在一次函数 y ? kx ? b(k , b ? R) ,使得 f ( x) ? kx ? b 且 g ( x) ? kx ? b 对一 切 x ? 0 恒成立,若存在,求出该一次函数的表达式;若不存在,请说明理由.

20.解: (1)∵ x ? 0 ,

f ?( x) ? 2 x, g ?( x) ?

2e x ,

e f ?( x) ? g ?( x) ? 2( x ? ) ? 2 ? 2 e ? 4 e x ∴ , x?
当且仅当

e x ,即 x ? e 时,等号成立.∴ f ?( x) ? g?( x) ? 4 e .???????4 分

e 2( x 2 ? e) F ?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? 2( x ? ) ? x x (2) (x ? 0) ,
? 令 F ( x) ? 0 ,得 x ?
∴当 0 ? x ? 当x? ∴当 x ?

e ( x ? ? e 舍) ,

e 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 (0, e ) 上单调递减;

e 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 ( e , ??) 上单调递增. ??????????8 分

e 时, F ( x) 有极小值,也是最小值,即 F ( x)min ? F ( e ) ? e ? 2e ln e ? 0 .

∴ F ( x) 的单调递增区间为 ( e , ??) ,单调递减区间为 (0, e ) , 最小值为 0. ???????10 分 (3)由(2)知, f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且仅有一个公共点 ( e , e) ,

∴猜想:一次函数的图像就是 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在点 ( e , e) 处的公切线, 其方程为 y ? 2 ex ? e . ?????????????????????12 分

下面证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ex ? e ,且 g ( x) ? 2 ex ? e 恒成立. 又∵ f ( x) ? (2 ex ? e) ? ( x ? e ) ? 0 ,∴ f ( x) ? 2 ex ? e 对 x ? 0 恒成立.
2

x 又令 G( x) ? 2 ex? e? g( x) ? 2 ex? e? 2 eln ,∴
∴当 0 ? x ? 当x? ∴当 x ? 即

G?( x) ? 2 e ?

2e 2 e ( x ? ? x x

e)


e 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 在 (0, e ) 上单调递减;

e 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( e , ??) 上单调递增.

e 时, G ( x) 有极小值,也是最小值,

G( x)min ? G( e ) ? 2e ? e ? 2e ln e ? 0 ,∴ G ( x) ? 0 ,即 g ( x) ? 2 ex ? e 恒成立.

e 恒成 故存在一次函数 y ? 2 ex ? e ,使得当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ex ? e ,且 g (x) ?2 ex ?
立. ????????????????????????????????16 分

(新沂市第一中学 2011 届高三上学期阶段性自主测试) 13.已知函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q,( x ? R) , 给出下列四个命题:① f ( x) 为奇函数的充要条件是 q ? 0 ;② f ( x) 的图象关于点 (0, q ) 对称; ③当 p ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 的解集一定非空;④方程 f ( x) ? 0 的解的个数一定不超过两个。 其中所有正确命题的序号是_____▲____(1)(2)(3)___ (新沂市第一中学 2011 届高三上学期阶段性自主测试)19..(本小题 16 分) 已知函数 f(x)=alnx+ x (a 为实常数). (1)若 a=-2,求证:函数 f(x)在(1,+.∞)上是增函数; (2)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围. 19. (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x ,当 x ? (1,??) ,
2
2

f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ?0 x ,

故函数 f ( x) 在 (1,?? ) 上是增函数.??????????4 分

(2)

f ?( x) ?

2x 2 ? a ( x ? 0) 2 2 x ,当 x ?[1, e] , 2x ? a ?[a ? 2, a ? 2e ] .

? ? 若 a ? ?2 , f ( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e] 上是
增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . ?????6 分

若 ? 2e ? a ? ?2 ,当
2

x?

?a ?a 1? x ? ? f ( x ) ? 0 2 时, 2 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是 ;当

减 函 数 ;



?a ? x?e ? 2 时 , f ( x) ? 0 , 此 时 f ( x ) 是 增 函 数 . 故

[ f ( x)] min ?

f(

?a a a a ) ? ln(? ) ? 2 2 2 2.

2 2 ? ? 若 a ? ?2e , f ( x ) 在 [1, e] 上非正 (仅当 a ? ?2e ,x=e 时, f ( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e] 上 2 是减函数,此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e .??????8 分 2 综上可知,当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 1,相应的 x 值为 1;当 ? 2e ? a ? ?2 时, f ( x) 的最

?a a a a ln(? ) ? 2 2 2 2 ,相应的 x 值为 2 ;当 a ? ?2e 时, f ( x) 的最小值为 a ? e , 小值为 2
相应的 x 值为 e .????????????????10 分
2 (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x ? 2 x .

∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 ,

因而

a?

x 2 ? 2x x ? ln x ( x ?[1, e] )?????????????????12 分



g ( x) ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) x 2 ? 2x g ?( x) ? ( x ? ln x) 2 x ? ln x ( x ?[1, e] ) ,又 ,???14 分

当 x ?[1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,

? 从而 g ( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数,
故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [?1,??) . ?????16 分 (新沂市第一中学 2011 届高三上学期阶段性自主测试)20、已知定理: “若 a , b 为常数, g ( x) 满 足 g (a ? x) ? g ( a ? x) ? 2b , 则 函 数 y ? g ( x) 的 图 象 关 于 点 ( a, b) 中 心 对 称 ” .设函数

f ( x) ?

x ?1? a a ? x ,定义域为 A.

(1)试证明 y ? f ( x) 的图象关于点 (a, ?1) 成中心对称;
f ( x) ? [? 1 2 , 0]

(2)当

x ? [a ? 2, a ? 1]

时,求证:


x2 ? f ( x1 ), x3 ? f ( x2 )
xi ? A

( 3 )对于给定的
xi ? A (i ? 2, 3, 4...)

x1 ? A

,设计构造过程:

,?,

xn ?1 ? f ( xn )

.如果 ,

,构造过程将继续下去;如果

,构造过程将停止.若对任意

x1 ? A

构造过程可以无限进行下去,求 a 的值.
f ( x ) ? ?1 ? 1 a ? x ,∴ f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? ( ?1 ? 1 ) ? ( ?1 ? ) ? ?2 ?x x . 1

20、解(1)∵

由已知定理,得 y ? f ( x) 的图象关于点 (a, ?1) 成中心对称.
[ a ? 2, a ? 1] (2)先证明 f ( x ) 在 上是增函数,只要证明 f ( x ) 在 ( ??, a ) 上是增函数.
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 a ? x1 ? 1 a ? x2 ? x1 ? x2 (a ? x1 )(a ? x2 ) ?0



?? ? x1 ? x2 ? a

,则



∴ f ( x ) 在 ( ??, a ) 上是增函数.
[ a ? 2, a ? 1] 再由 f ( x ) 在 上是增函数,得
f ( x) ? [? 1 2



x ? [ a ? 2, a ? 1]

时, f ( x) ? [ f ( a ? 2), f ( a ? 1)] ,即
f ( x) ?

, 0]



x ?1? a a?x

(3)∵构造过程可以无限进行下去,∴
x ?1? a ?a

?a

对任意 x ? A 恒成立.

∴方程 a ? x

无解,即方程 (a ? 1) x ? a ? a ? 1 无解或有唯一解 x ? a .
2

?a ? 1 ? 0, ? 2 ?a ? 1 ? 0, ?a ? a ?1 ? 2 ? a. ? a ? a ? 1 ? 0, ∴? 或 ? a ?1 由此得到 a ? ?1 .
2 ? 8、已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ( x ) ? x ? 2 x ? f ( 2) ,则 f ( ?1) 与 f (1) 的大小关系为

A. f ( ?1) = f (1)

B.

f ? ?1? ? f (1)

2 0 0 f ( ?1) ? f ?1? C. D.不确定 9 0 9、 若函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)在 (-∞, + ∞) 上既是奇函数, 又是增函数, 则 g(x)=loga(x+k) 6 的图象是 0 2

16、设函数 f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? m( x ? R).
2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? 1 7 x ? [0, ], 求m的值使函数 f ( x)的值域恰为 [ , ]. 2 2 2 (II)若
17、设 f ( x) 是定义在 ?0,??? 上的单调递增函数,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (3) ? 1,求: (Ⅰ) f ?1? ; (Ⅱ)若 f ?x ? ? f ?x ? 8? ? 2 ,求 x 的取值范围
2 ? ?sin(?x )(?1 ? x ? 0) f ( x) ? ? x ?1 ? ?e ( x ? 0) 13、函数 。若 f (1) ? f (a) ? 2 ,则 a 的值为

2010-2011 学年度

第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ 试 题 2011.1 14、设函数 f ( x) ?

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成一个

2

正方形区域,则 a 的值为

20、 (本题满分 16 分)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? a | ln x ?1| . (Ⅰ )当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ )若 x ? [1, ??) 时,不等式 f ( x) ? a 恒成立,实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 2 时,
2 ? ? x ? 2 ln x ? 2 (0 ? x ? e) ?? 2 f ( x) ? x2 ? 2 ln x ?1 ? ? x ? 2 ln x ? 2 ( x ? e)

…………(2 分)

当 0 ? x ? e 时,

f ?( x) ? 2 x ?

2 2 x2 ? 2 ? x x , f ( x) 在 (1, e] 内单调递增;

当 x ? e 时,

f ?( x) ? 2 x ?

2 ?0 x 恒成立,故 f ( x ) 在 [e, ??) 内单调递增;
…………(6 分)

? f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) 。
(2)① 当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a ,
2

f ?( x) ? 2 x ?

a x ( x ? e)

a ? 0 ,? f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 ?e, ?? ? 上增函数。
故当 x ? e 时,

ymin ? f (e) ? e2 。
2

…………(8 分)

② 当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a ,

f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a ? (x ? )( x ? ) x x 2 2 (1 ? x ? e)

a ?1 ? (Ⅰ )当 2 ,即 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x ) 在区间 [1, e) 上为
增函数。故当 x ? 1 时,

ymin ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e)

…………(10 分)

1?
(Ⅱ )当

a a a ?e x ? (1, ) x ? ( ,e) 2 ? 2 2 时为负数,在 2 时为 ,即 2 ? a ? 2e 时, f ( x ) 在 [1, a a a ) ( , e) x? 2 上为减函数,在 2 2 时, 上为增函数。故当

正数,所以 f ( x ) 在区间

ymi n ?

a 3a a a f ( ) ? f (e) ? ln 2 2 2 2 ,且此时 。

…………(12 分)

a ?e 2 ? (Ⅲ )当 2 ,即 a ? 2e 时, f ( x ) 在 x ? (1, e) 进为负数,所以 f ( x ) 在区间 [1, e] 上为减
函数,故当 x ? e 时,

ymin ? f (e) ? e2 。
?1 ? a, 0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ? ln , 2 ? a ? 2e2 ?2 2 2 2 2 ? ?e , a ? 2e 。

…………(14 分)

ymin
所以函数 y ? f ( x) 的最小值为

? 3a a a ? ? ln ? a ?e 2 ? a ? ?1 ? a ? a ?2 2 2 ? ? 2 2 ? a ? 2e , 0 ? a ? 2 此时 0 ? a ? 2 ;或 ? ?2 ? a ? 2e 由条件得 ? ,此时 2 ? a ? 2e ;或 ?
此时无解。 综上, 0 ? a ? 2e 。 江苏省 2010 高考数学模拟题(压题卷) …………(16 分)

M 1.已知函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 m 的值为 2 .
2.已知函数

y ? loga (ax2 ? x) 在区间[2,4]上是增函数,则实数 a 的取值范围是 (1,??) .

四、导数题 1. 汶川大地震后,为了消除某堰塞湖可能造成的危险,救授指挥部商定, 给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽(如图所示)进行引流, 已知等腰梯形的下底与腰的长度都为 a ,且水槽的单位时间内的最大流量与 横载面的面积为正比,比例系数 k ? 0 . (1)试将水槽的最大流量表示成关于 ? 的函数 f (? ) ; (2)为确保人民的生命财产安全,请你设计一个方案,使单位时间内水槽的流量最大(即当 ? 为 多大时,单位时间内水槽的流量最大) . s 解:(1)设水槽的横截面面积为 ,

1 s ? [a ? (a ? 2a cos ? )] ? a sin ? ? a 2 sin ? (1 ? cos ? ). 2 则 f (? ) ? ks ? a 2 k sin ? (1 ? cos ? ),? ? (0, ). 2 所以

?

? (2)因为 f (? ) ? a k (2cos
2

2

? ? cos? ?1) ,

2 ? 令 f (? ) ? 0 ,则 2cos ? ? cos ? ? 1 ? 0 .

cos ? ?
解得

1 2 或 cos ? ? ?1 ,

0 ?? ?


?

1 ? cos ? ? , ? ? . 2 知 cos ? ? ?1 ,所以 2 3 3 时, f ?(? ) ? 0 ,即 f (? ) 在 (0, ) 3 上递增,

0 ?? ?


?

?

?
当3

?? ?

?

? ? ( , ) ? 2 时, f (? ) ? 0 ,即 f (? ) 在 3 2 上递减,

??
所以当

?
3 时,水槽的流量最大,

??
即设计成

?
3 的等腰梯形引水槽,可使单位时间内水槽的流量最大.

2.某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为 2m. (1)过点 p 的一条直线与走廊的外侧两边交于 A, B 两点,且与走廊的一边的夹角为

? ? (0 ? ? ? )

2 ,将线段 AB 的长度 l 表示为 ? 的函数;

(2)一根长度为 5m 的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的 粗细忽略不计) .

解:(1)根据图得

l (? ) ? BP ? AP ?

2 2 ? ? , ? ? (0, ). sin ? cos ? 2

(2)解法 1:铁棒能水平通过该直角直廊,理由如下:

l ?(? ) ? (
?

2 2 )? ? ( )? sin ? cos ?

0 ? sin ? ? 2 ? cos ? 0 ? cos ? ? 2 ? sin ? 2(sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? ? . sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ?

? 令 l (? ) ? 0 得,
0 ?? ?


??

?
4.

?

4 时, l ?(? ) ? 0, l (? ) 为减函数;

?
当4

?? ?

?

2 时, l ?(? ) ? 0, l (? ) 为增函数;

??
所以当

?

4 时, l (? ) 有最小值 4 2 ,

因为 4 2 ? 5 ,所以铁棒能水平通过该直角走廊. 解法 2:铁棒能水平通过该直角走廊,理由如下:

[l (? )]2 ? [

2(sin ? ? cos ? ) 2 4(1 ? 2sin ? cos ? ) ] ? sin ? ? cos ? sin 2 ? cos 2 ?

?

4 8 1 ? ? 4( ? 1)2 ? 4 ? 4( 2 ? 1) 2 ? 4 2 (sin ? cos ? ) sin ? cos ? sin ? cos ? sin 2? ,

? ? ? (0, )
因为
2

2 ,所以 2? ? (0, ? ) ,所以当

2? ?

?
2

,? ?

?

2 4 时, sin 2? 有最小值 2.

所以 [l (? )] 有最小值 32, l (? ) 有最小值 4 2 , 因为 4 2 ? 5 ,所以铁棒能水平通过该直角走廊. 3.已知函数 f ( x) ? x ? 4x ? (2 ? a)ln x ,( a ? R ,且 a ? 0 ).
2

(1)当 a ? 18 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
2 (2)求函数 f ( x ) 在区间 [e,e ] 上的最小值.

解:(1)当 a ? 18 时 f ( x) ? x ? 4 x ?16ln x( x ? 0) ,
2

? f ?( x) ? 2 x ? 4 ?

16 2( x ? 2)( x ? 4) ? . x x

? 由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 4 或 ?2 ? x ? 0.
注意到 x ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (4, ??).

? 由 f ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 4 或 x ? ?2 ,
注意到 x ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, 4). 综上所述,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (4, ??) ,单调递减区间是 (0, 4). (2)当 x ?[e,e ] 时, f ( x) ? x ? 4 x ? (2 ? a)ln x,
2 2

2 ? a 2 x2 ? 4 x ? 2 ? a f ?( x) ? 2 x ? 4 ? ? x x ,
设 g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 ? a ,
2

当 a ? 0 时,有 ? ? 16 ? 4 ? 2(2 ? a) ? 8a ? 0 ,此时 g ( x) ? 0 恒成立,
2 f ( x)min ? f (e) ? e ? 4e ? 2 ? a. ? 所以 f ( x) ? 0, f ( x) 在 [e,e ] 上单调递增,所以

2

当 a ? 0 时, ? ? 16 ? 4 ? 2(2 ? a) ? 8a ? 0 ,

? 令 f ( x) ? 0 ,即 2 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得
2

x ? 1?

2a 2a x ? 1? 2 或 2 ;

? 令 f ( x) ? 0 ,即 2 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得
2

1?

2a 2a ? x ? 1? . 2 2

1?
① 当 所以

2a ? e2 , 2 2 2 2 即 a ? 2(e ?1) 时 f ( x ) 在区间 [e,e ] 上单调递减,

f ( x)min ? f (e2 ) ? e4 ? 4e2 ? 4 ? 2a ;
2a ? e2 1 ) 2 ? a?2(e 2 ,即 2(e ? 2a 2 ,e ] 2 上单调递增, 2a a 2a ) ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ) 2 2 2 ;
2

e ? 1?
② 当

? 1 )

2

时, f ( x ) 在区间

[e,1 ?

2a ] 2 上单调递减,

[1 ?
在区间

所以

f ( x)min ? f (1 ?

1?
③ 当

2a ?e 2 ) , f ( x) 在 区 间 [ e , 2e 上 ] 单调递增,所以 2 , 即 0 ? a ? 2 ( e? 1时

f ( x)min ? f (e) ? e2 ? 4e ? 2 ? a.
2 2 f ( x)min ? e ? 4e ? 4 ? 2a ; 综上所述,当 a ? 2(e ?1) 时,

4

2

2 2 2 当 2(e ?1) ? a ? 2(e ?1) 时,

f ( x)min ?

a 2a ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ) 2 2 ;

当 a ? 0 或 0 ? a ? 2(e ? 1) 时,
2

f ( x)min ? e2 ? 4e ? 2 ? a.

4.函数 f ( x) ? x ? 3x .
3

(1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)已知 f ( x ) 在 [t , t ? 2] 上是增函数,求 t 的取值范围; (3) f ( x ) 在 [t , t ? 2] 上最大值 M 与最小值 m 之差 M ? m 为 g (t ) ,求 g (t ) 的最小值.
2 ? ? 解:(1) f ( x) ? 3x ? 3 ,令 f ( x) ? 0 , x ? ?1 ,

x

(??, ?1)

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

f ?( x ) f ( x)

+

0 2



0 -2

+

所以, f ( x ) 极大= f (?1) ? 2 ,

f ( x) 极小= f (1) ? ?2.
(2) f ( x ) 在 [t , t ? 2] 上是增函数,必须有 t ? 2 ? ?1 或 t ? 1 , 所以 t 的取值范围是(-∞,-3]∪ [1,∞).
2 (3)当 t ? ?3 时, m ? f (t ) , M ? f (t ? 2) , g (t ) ? M ? m ? 6t ? 12t ? 2 ,

令 f (t ? 2) ? f (t ) , 6t ? 12t ? 2 ? 0 ,
2

t ? ?1 ?

6 3 ,

?3 ? t ? ?1 ?


6 3 3 时, m ? f (t ) , M ? 2 , g (t ) ? ?t ? 3t ? 2 ,

?1 ?


6 ? t ? ?1 3 2 3 时, m ? f (t ? 2) , M ? 2 , g (t ) ? ?t ? 6t ? 9t , 6 3 3 , m ? ?2 , M ? f (t ) , g (t ) ? t ? 3t ? 2 ,

?1 ? t ? ?1 ?


?1 ?


6 ? t ?1 3 2 3 时, m ? ?2 , M ? f (t ? 2) , g (t ) ? t ? 6t ? 9t ? 4 ,

2 当 t ? 1 时, m ? f (t ) , M ? f (t ? 2) , g (t ) ? 6t ? 12t ? 2 .

? 6t 2 ? 12t ? 2 (t ? ?3), ? 6 ? ?t 3 ? 3t ? 2 (?3 ? t ? ?1 ? ), ? 3 ? 6 ? 3 2 ? t ? 6 t ? 9 t ( ? 1 ? ? t ? ?1), ? ? 3 ? g (t ) ? ? 6 ? 3 (?1 ? t ? ?1 ? ), ? t ? 3t ? 2 3 ? 6 ?3 2 ?t ? 6t ? 9t ? 4 (?1 ? 3 ? t ? 1), ? 2 (t ? 1), ? ? 6t ? 12t ? 2

g (t ) 最小值为
六、函数题

g (?1 ?

6 6 2 6 ) ? g (?1 ? ) ? 2? 3 3 9 .
2 (x ? ax R, a ? 1) ,

3.已知函数

f ( x) ? a ?
x

(1)求函数 f(x)的值域; (2)记函数

g ( x) ? f (?x), x ???2, ???

,若 g ( x) 的最小值与 a 无关,求 a 的取值范围;

(3)若 m ? 2 2 ,直接写出(不需给出演算步骤)关于 x 的方程 f ( x) ? m 的解集.

x ? 0 时, 解:(1)①

a x ? 1, f ( x) ? a ?
x

2 2 ? ax ? x ? 2 2 x a a ,

ax ?
当且仅当

2 a x ,即 a x ? 2 ? 1 时等号成立; 3 ?3 ax ,

x ?0, ②

a ? 1,? 0 ? a x ? 1,? f ( x) ?

由① ② 知函数 f ( x ) 的值域为 [2 2, ??) . (2) g ( x) ? f (?x) ? a ? 2a , x ?[?2, ??) ,
x x

x ?0, ①

a ? 1,?a x ? 1, g ( x) ? 3a x ,? g ( x) ? 3 ,
a ? 1, 1 ? a x ? 1, g ( x) ? a ? x ? 2a x a2 , 1 1 1 h(t ) ? 2t ? . ( 2 ? t ? 1) t ,记 t a ,

?2 ? x ? 0 时, ②

令 t ? a ,则
x

g ( x) ? 2t ?

1 1 2 h(t ) ? 2t ? ? 2 2 2t ? t? t t, 2 时等号成立, ,当且仅当

1 2 ? 2 g ( x)min ? 2 2 与 a 无关; 2 ,即 a ? 4 2 时,结合① (i) a 知
1 1 2 h?(t ) ? 2 ? 2 ? 2 ? a 4 ? 0 ? 2 4 t 2 ,即 1 ? a ? 2 时, (ii) a ,
1 1 2 [ ,1) g ( x) min ? h(t ) min ? h( 2 ) ? a 2 ? 2 ? 3 ? h(t ) 在 a 2 上是增函数, a a ,

结合① 知

g ( x) min ? a 2 ?

2 a 2 与 a 有关;
4

综上,若 g ( x) 的最小值与 a 无关,则实数 a 的取值范围是 a ?

2.

? ? m ? m2 ? 8 ? ? x | x ? log ? ? a 2 f ( x ) ? m ? ? ? ?; 2 2 ? m ? 3 x (3)① 时,关于 的方程 的解集为 ? m ? m2 ? 8 ? 3? ? x | x ? log a x ? log a ? 2 m?. ? ② m>3 时,关于 x 的方程 f ( x) ? m 的解集为 ? 或
1 g (? ) ? g (1) ? f (0) 2 4.已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx ? cx (a, b ? R)且 .
?1 ?2

(1)试求 b, c 所满足的关系式; (2)若 b ? 0 ,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 有唯一解,求 a 的取值范围; (3)若 b ? 1 ,集合

A ? ?x | f ( x) ? g ( x), g ( x) ? 0?

,试求集合 A;

1 g (? ) ? g (1) ? f (0) 2 解:(1)由 ,得 (?2b ? 4c) ? (b ? c) ? ?3 ,

? b, c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 ? 0 .
(2)由 b ? 0, b ? c ? 1 ? 0 ,可得 c ? ?1 ,
?2 ?1 ?3 ?1 方程 f ( x) ? g ( x) ,即 ax ? 3 ? ? x ,可化为 a ? 3x ? x ,令 x ? t ,则由题意可得,

a ? 3t ? t3 在 (0, ??) 上有唯一解.

? 令 h(t ) ? 3t ? t (t ? 0) ,由 h (t ) ? 3 ? 3t ? 0 ,可得 t ? 1 ,
3 2

? 当 0 ? t ? 1 时,由 h (t ) ? 0 ,可知 h(t ) 是增函数;
? 当 t ? 1 时,由 h (t ) ? 0 ,可知 h(t ) 是减函数,故当 t ? 1 时, h(t ) 取极大值 2;
由函数 h(t ) 的图象可在,当 a ? 2 或 a ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个正实数解. 故所求 a 的取值范围为

?a a ? 2 或 a ? 0? .

(3)由 b ? 1, b ? c ? 1 ? 0 ,可得 c ? 0 ,

1 ? g ( x) ? 0? ? ? x | ax ? 3 ? 2 A ? ?x | f ( x) ? g( x) x 且 x ? 0? ? ? x | ax ? 3x ? 1 ? 0 且 x ? 0? , ? 且
当 a ? 0 时,

A?(

3 ? 9 ? 4a , 0) 2a ;

1 A ? ( ? , 0) 3 当 a ? 0 时, ; a??


9 4 时, (? ? 9 ? 4a ? 0), A ? (??,0) ;

a??


2? 9 x?? ? A ? x | x ? 0 ? 3?; 4 时, 且

9 3 ? 9 ? 4a 3 ? 9 ? 4a ? ?a?0 A ? (??, )?( , 0) 2a 2a 当 4 时, .
5.已知 f ( x) ? A x ? B 1 ? x ( A ? 0, B ? 0) . (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (3)若 g ( x) ? mx ?1 ? 1 ? nx (m ? n ? 0) ,如何由(2)的结论求 g(x)的最大值和最小值. 解:(1) f ( x ) 的定义域为[0,1].

f ( x) ? A2 ? B 2 (
(2)

A A ?B
2 2

x?

B A ? B2
2

1? x )
,

cos ? ?


A A ?B
2 2

, cos ? ? x , (0 ? ? , ? ?

?
2

),

?

B A2 ? B 2

? sin ? , 1 ? x ? sin ?
,

则 f ( x) ?

A2 ? B2 cos(? ? ? ),
x? A2 ? [0,1] 2 2 A2 ? B 2 ,此时 f ( x ) 最大值为 A ? B , A2 A2 [ ,1] ] A2 ? B 2 递增,在 A2 ? B 2 递减,

当 ? ? ? 时,

又 cos(? ? ? ) 在

[0,

? f ( x) 的最小值是 f (0) 与 f (1) 的较小者,即 A 与 B 的较小者.
1 1 1 1 1 x ? ( ? )t ? ? x ? [ , ],? t ? [0,1], n m m, m n (3)设

1 1 1 1 g ( x) ? k (t ) ? m( ? )t ? n( ? )(1 ? t ) n m n m 则 , 1 1 1 1 m n m( ? ) ? n( ? ) ? ? n m n m n m, 由(2)知 g(x)的最大值为 1 1 1 1 n m( ? ) n( ? ) 1? n m 和 n m 的较小者,即 m. 最小值为

6.已知

f ( x) ? log , 点 M ( x, y) 在 y ? f ( x) 的 图 象 上 运 动 时 , 点 N ( x, ny ) 在 函 数 2 x 当

y ? gn ( x) 的图象上运动 (n ? N) .
(1)求

y ? gn ( x) 的解析式;
A ? ?a
关于 x 的方程

(2)求集合

g1 ( x ? 2) ? g2 ( x ? a) 有实根, a ? R? ;

? 1 ? 1 ? ,3? , H n ( x) ? ( ) gn ( x ) ? F ( x ) ? H ( x ) ? g ( x ),(0 ? a ? x ? b ) 2 ? ? 2 1 1 (3)设 ,函数 的值域为
1 a ? ,b ? 2 2 求证: .
? y ? f ( x) ? ny ? g n ( x ) f ( x) ? log2 x ? gn ( x) ? n log2 x . 解:(1)由条件知 ? ,又
(2) 方程

g1 ( x ? 2) ? g2 ( x ? a) 即 x ? 2 ? x ? a ,

? 求集合 A 就是求方程 x ? 2 ? x ? a 有实根时 a 的范围.
1 9 9 a ? x ? 2 ? x ? ?( x ? 2 ? ) 2 ? ? 2 4 4, 而 ?a ?

? 9? 9 A ? ? ??, ? 4? , ? 4 时原方程总有实根,

(3)

1 1 1 H n ( x) ? ( ) n log2 x ? n ? F ( x) ? ? log 2 x, (0 ? a ? x ? b) 2 x x ,

F ' ( x) ? ?


1 1 ? ? 0, ? F ( x) 2 ? a, b? 上递减, x x ln 2 在

?1 ? 3 ? log 2 a ? F ( a ) ? 3 ?a ? ? ? ?? 1 ? 1 ? 1 ? log b F (b) ? ? 2 ? ?b 2 ? 2 ,即 ? ① ,
y?


1 1 ?t ? t ? log 2 x x 与 y ? log2 x 的图象只有唯一交点知:方程 x 只有唯一解,

1 ? ?a ? 2 ? ? b ? 2 是方程组① 经检验 ? 的唯一解,故得证.
七、理科附加题

1 f ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 ( x ? R). 3 3.设函数
(1)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)求 y ? f ( x) 在 [?1, 2] 上的最小值;

(3)当 x ? (1, ??) 时,用数学归纳法证明: ?n ? N*,

e x ?1 ?

xn . n!

? 解:(1) f ( x) ? 2xe

x ?1

? x2ex?1 ? x2 ? 2x ? x( x ? 2)(ex?1 ?1) ,

x ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1. ? 令 f ( x) ? 0 ,可得 1
? 当 x 变化时, f ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?2)


?2
0 极小值

(?2, 0)
+

0 0 极大值

(0,1)


1 0 极小值

(1, ??)
+

? 函数 y ? f ( x) 的增区间为 (?2, 0) 和 (1, ??) ,减区间为 (??, ?2) 和 (0,1) .
(2)当 x ? [?1, 2] 时,

f (?1) ?

1 2 ? ? 0, e2 3

5 1 f (2) ? 4(e ? ) ? 0, f ( x) ? f (1) ? ? ? f (?1), f ( x) 3 3 极小值 极大值 ? f (0) ? 0 . 1 2 ? . 2 f ( x ) [ ? 1, 2] e 3 所以 在 上的最小值为

(3) 设

g n ( x) ? e x ?1 ?

xn x ?1 n ! , 当 n ? 1 时 , 只 需 证 明 g1 ( x) ? e ? x ? 0 , 当 x ? (1,?? )时 ,
,所以

g1? ( x ) ? ex ?1 ? 1? 0

g1 ( x) ? ex?1 ? x 在 (1, ??) 上是增函数,

? g1 ( x) ? g1 (1) ? e0 ?1 ? 0 ,即 e x?1 ? x ;
当 x ? (1, ??) 时,假设 n ? k 时不等式成立,即 当 n ? k ? 1 时,

g k ( x) ? e x ?1 ?

xk ?0 k! ,

(k ? 1) x x gk ?1? ( x) ? e x ?1 ? ? e x ?1 ? ? 0 g ( x) 在 (1, ??) 上也是增函数. (k ? 1)! k! 因为 ,所以 k ?1
k k

g k ?1 ( x) ? g k ?1 (1) ? e0 ?
所以

1 1 ? 1? ?0 (k ? 1)! (k ? 1)! ,

即当 n ? k ? 1 时,不等式成立.

由归纳原理,知当 x ? (1, ??) 时, ?n ? N*, 2011 届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题

e

x ?1

xn ? . n!

14.已知函数 f(x)=ax2-2 4+2b-b2?x, g(x)=- 1-(x-a)2, 若存在 x0, 使得 f(x0)是 f(x)的最大值, g(x0)是 g(x)的最小值,则这样的整数对(a,b)为 答案:(-1,-1) (-1,3) 20.(本题满分 16 分)已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b),点 A(m, f(m)),B(n, f(n)). (1)设 b= a,求函数 f(x)的单调区间; 3 (2)若函数 f(x)的导函数 f’(x)满足:当|x|≤l 时,有| f’(x)|≤ 恒成立,求函数 f(x)的表达式; 2 →→ (3)若 0<a<b,函数 f(x)在 x=m 和 x=n 处取得极值,且 a+b≤2 3.问:是否存在常数 a、b,使得OA· OB=0? 若存 在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.
3 2 2 20.(1) f ( x) ? x ? 2ax ? a x 2 2 ? 令 f ( x) ? 3x ? 4ax ? a ? 0 , 得:

x1 ?

a 3 , x2 ? a .…2 分

1 当 a ? 0 时,

x1 ? x2 (表可删)

a (??, ) (a, ??) 3 , ?所求单调增区间是 ,

a 单调减区间是( 3 , a ) a ( , ??) a , 单调减区间是( a , 3 )

2 当 a ? 0 时,所求单调增区间是 (??, a ) , 3
2 3 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3x ≥ 0

所求单调增区间是 (??, ??) .……………………………5 分

(2)

f ? x ? ? x3 ? ? a ? b? x2 ? abx
f ?? x? ? 3 2

? f ? ? x ? ? 3x2 ? 2 ? a ? b? x ? ab,



x ???1,1?

时,恒有

??

3 3 3 3 3 3 ? f ? ?1? ? , ? ? f ? ? ?1? ? , ? ? f ? ? 0 ? ? , 2 2 2 2 2 2 ……………………………8 分

3 ? 3 ?? 2 ? 3 ? 2 ? a ? b ? ? ab ? 2 , ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 2 ? a ? b ? ? ab ? , 2 3 ? ? 2 ? ab ? ? , 3 ? 3 2 ? ?? 2 ? ab ? 2 , ? a ? b ? 0, 即? 得?
3 3 ? f ? x ? ? x3 ? x ?( x) | 2 x ? [ ? 1,1] | f 2 .……………………10 分 此时,满足当 时 ≤ 恒成立.
→→ (3)存在 a , b ,使得OA· OB=0. →→ 若OA· OB=0,即 m ? n ? f (m) ? f (n) ? 0

? mn ? mn(m ? a)(m ? b)(n ? a)(n ? b) ? 0
由于 0 ? a ? b ,知 mn ? 0

? (m ? a) (m ? b) (n? a) (n ?

b? ) ?○ 11

?m ? n ? ? 由题设, m, n 是 f ( x) ? 0 的两根

2( a?b ) ab mn ? 3 3 ,

○ 2 …………………12 分

2 ○ 2 代入○ 1 得: ab(a ? b) ? 9

?(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ?

9 ? 4ab ab ≥ 2 36 ? 12 ,…………14 分

当且仅当

ab ?

3 2 时取“=” ? a ? b ≥ 2 3 ab ? 3 2 ,0 ? a ? b

a ?b≤2 3

?a ? b ? 2 3



?a ?

2 3? 6 2 3? 6 b? 2 2 , .…………………………………………………………16 分

江苏省淮州中学 2010—2011 学年度第一学期中考试高三数学试卷 1 f( )?4 f ( x ) ? a log x ? b log x ? 2 2 3 7.已知函数 ,若 2009 ,则 f (2009) 的值为 答案:0





A, B 13. 在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(?a, ?b) 在函数 y ? f ( x) 的图象上, 那么称 为 A, B B, A 函 数 f ( x) 的 一 组 关 于 原 点 的 中 心 对 称 点 ( 与 看作一组).函数
? ? ?s i n x , x ? 0 g ( x) ? ? 2 , ? ?log 4 ( x ? 1), x ? 0

?

?

?

?

?

?

关于原点的中心对称点的组数为





答案:2 二、解答题 18. (本小题满分 15 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方每年向乙方索赔 以弥补经济损失并获得一定净收入.乙方在不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年 产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产 量;

t (元) (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 ,在乙方按照获得最大利润
2

的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多 少? 解:(1)乙方的实际年利润为: w ? 2000 t ? st

t ? 0.
2

? 1000? 1000 2 10002 t ?? ? w ? 2000 t ? st ? ? s( t ? ) ? s s ,当 ? s ? 时, w 取得最大值. ? 1000? t ?? ? ? s ? (吨). 所以乙方取得最大年利润的年产量
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .
2

2

? 1000? 10002 2 ? 10003 t ?? ? v? ? ? s ? 代入上式,得: s s4 将 .


2

v? ? ?

10002 8 ?10003 10002 (8000? s 3 ) ? ? s2 s5 s5

令 v ? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v ? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 ,所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入. 20. (本小题满分 16 分)

已知函数

f ( x) ? log a

1 ? mx x ? 1 (a ? 0, a ? 1, m ? 1) 是奇函数.

(1)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值; ( 2 )令函数

g ? x ? ? ?ax2 ? 8 ? x ? 1? a f ? x? ? 5

, a ? 8 时,存在最大实数 t ,使得 x ? (1,t ]

?5 ? g ? x ? ? 5

恒成立,请写出 t 与 a 的关系式.

解: (1)由已知条件得 f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立.



log a

mx ? 1 1 ? mx ? log a ?0 ?x ?1 x ?1 .

mx ? 1 1 ? mx ? ?1 即 ?x ?1 x ?1

m2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 对定义域中的 x 均成立. ∴
∴ m ? ?1 .

m2 ? 1 即 m ? 1 (舍去)或 m ? ?1 . ∴

x ?1 f ( x)? l o ag x ?1 t?


x( ? ?或 1 x ?


1)

x ?1 x ?1? 2 2 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1 ,

∴ 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是减函数. 同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数. 函数 f ( x ) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) , ∴ ① 当 n ? a ? 2 ? ?1 时有 0 ? a ? 1 . ∴f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为增函数, 要使值域为 (1, ??) ,



1? n ? ?1 ?log a n ?1 ? ? ?a ? 2 ? ?1

(无解) ;

② 当 1 ? n ? a ? 2 时有 a ? 3 . ∴f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为减函数,

?n ? 1 ? a ?1 ? log a ?1 ? f ( x ) (1, ?? ) a ? 3 ? 要使 的值域为 , 则 ,

a ? 2? 3,n ?1. ∴

(2)

g ? x ? ? ?ax2 ? 8 ? x ?1? a

f ? x?

4 16 ? 5 ? ?ax2 ? 8x ? 3 ? ?a( x ? )2 ? 3 ? a a ,
4 a,

则函数 y ? g ( x) 的对称轴

x?

a ? 8∴

x?

4 ? 1? ? ? 0, ? a ? 2? .

x ? ?1, t ? ∴ 函数 y ? g ( x) 在 上单调减.
则 1 ? x ? t ,有 g (t ) ? g ( x) ? g (1) .

g (1) ? 11 ? a, 又

g (1) ? 11 ? a ? 3 ? 5 . a ? 8 ,∴

t 是最大实数使得 x ? ?1, t ? 恒有 ?5 ? g ( x) ? 5 成立,
?at 2 ? 8t ? 3 ? ?5 即 at 2 ? 8t ? 8 ? 0 . ∴
江苏连云港市 2011 届高三上学期第一次调研考试(数学)数学Ⅰ 试题
3 2 12.已知函数 f ( x) ? mx ? nx 的图象在点 (?1, 2) 处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行, 若 f ( x) 在

区间 ?

t , t ? 1?

上单调递减,则实数 t 的取值范围是

▲ .

答案: [ ?2, ?1] 13.已知实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 9 , ab ? bc ? ca ? 24 ,则 b 的取值范围是 ▲ .

, 5] 答案: [1
14. 已 知 函 数

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ?

? x ? 2011 ? x ? 1 ? x ? 2 ?

? x ? 2011 ( x ? R ) ,且

f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是

▲ .

答案:6. 二、解答题 17.(本小题满分 14 分) 据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反 比,比例常数为 k (k ? 0) .现已知相距 18 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别 为 a , b ,它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
AC ? x ( km ) .

(1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.

kb ka 2 (18 ? x) 2 解: (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 x ,点 C 受 B 污染源污染程度为 ,其中 k 为比
例系数,且 k ? 0 . ……………………4 分

y?
从而点 C 处受污染程度

ka kb ? 2 x (18 ? x) 2

.……6 分

(2)因为 a ? 1 ,所以,

y?

k kb ? 2 x (18 ? x) 2
x?

,…8 分

y ' ? k[

?2 2b ? ] 3 x (18 ? x)3

,令 y ? 0 ,得
'

18 1 ? 3 b ,…………12 分

又此时 x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. 20.(本小题满分 16 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| .

……14 分

(1)若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值 (直接写出结果, 不需给出演算步骤) .
2 解: (1)方程 | f ( x) |? g ( x) ,即 | x ? 1|? a | x ? 1| ,变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ?a) ? 0 ,

显然, x ? 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x ? 1|? a , 有且仅有一个等于 1 的解或无解 , 结合图形得 a ? 0 . ……………………4 分

2 (2)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,

① 当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ;

② 当 x ? 1 时, (*)可变形为

a?

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ? ( x) ? ?? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). | x ? 1| ,令

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合① ② ,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 . …………………………………8 分

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? 2 ?? x ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). 2 (3)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x ? 1| ?a | x ? 1| = ? …10 分

a ? 1, 即a ? 2 当2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,
且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a a 0 ≤ ≤1,即0 ≤ a ≤ 2 [ ? ,1] 2 当 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , 2 上递减,
a a2 a h( ? ) ? ? a ?1 [?1, ? ] [1, 2] 2 4 2 , 在 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a a ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 [? ,1] [ ? 2, ? 1] h ( x ) 2 当 时,结合图形可知 在 , 2 上递减,
a a2 a h( ? ) ? ? a ?1 [?1, ? ] [1, 2] 2 4 2 , 在 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

3 a a a ? ≤ ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 [?2, ] [1, ? ] h ( x ) 2 , 2 上递减, 当 2 2 时,结合图形可知 在 a a [ ,1] [? ,2] 在 2 , 2 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3≥ 0 ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

a 3 ? ? , 即a ? ?3 2 当2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,
故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.…………………16 分 江苏省南通中学 2010—2011 学年度高三第一学期中考试数学

7.已知函数 f ( x) ? a log 2 x ? b log3 x ? 2 ,若 答案:0

f(

1 )?4 2009 ,则 f (2009) 的值为





? A, B? 为 13. 在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(?a, ?b) 在函数 y ? f ( x) 的图象上, 那么称 ? A, B? 与 ? B, A? 看 作 一 组 ) . 函 数 函 数 f ( x) 的 一 组 关 于 原 点 的 中 心 对 称 点 (
? ? ?s i n x , x ? 0 g ( x) ? ? 2 , ? ?log 4 ( x ? 1), x ? 0 关于原点的中心对称点的组数为
答案: 2 18. (本小题满分 15 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方每年向乙方索赔 以弥补经济损失并获得一定净收入.乙方在不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年 产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量;



.

t (元) (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 ,在乙方按照获得最大利润
2

的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多 少? 解:(1)乙方的实际年利润为: w ? 2000 t ? st

t ? 0.
2

? 1000? 1000 2 10002 t ?? ? w ? 2000 t ? st ? ? s( t ? ) ? s s ,当 ? s ? 时, w 取得最大值. ? 1000? t ?? ? ? s ? (吨). 所以乙方取得最大年利润的年产量
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .
2

2

??????7 分

? 1000? 10002 2 ? 10003 t ?? ? v? ? ? s ? 代入上式,得: s s4 将 .


2

10002 8 ?10003 10002 (8000? s 3 ) v? ? ? 2 ? ? s s5 s5 v ? ? 0 ,得 s ? 20 . 令

当 s ? 20 时, v ? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 ,所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入. ??????15 分 20. (本小题满分 16 分)

已知函数

f ( x) ? log a

1 ? mx x ? 1 (a ? 0, a ? 1, m ? 1) 是奇函数.

(1)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值; ( 2 )令函数

g ? x ? ? ?ax2 ? 8 ? x ? 1? a f ? x? ? 5

, a ? 8 时,存在最大实数 t ,使得 x ? (1,t ]

?5 ? g ? x ? ? 5

恒成立,请写出 t 与 a 的关系式.

解: (1)由已知条件得 f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立.



log a

mx ? 1 1 ? mx ? log a ?0 ?x ?1 x ?1 .

mx ? 1 1 ? mx ? ?1 即 ?x ?1 x ?1
2

∴ m x ? 1 ? x ? 1 对定义域中的 x 均成立.
2 2 2

∴ m ? 1 即 m ? 1 (舍去)或 m ? ?1 .

∴ m ? ?1 .

x ?1 f ( x)? l o ag x ?1 t?


x( ? ?或 1 x ?


1)

x ?1 x ?1? 2 2 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1 ,

∴当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是减函数. 同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数. 函数 f ( x ) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) , ∴①当 n ? a ? 2 ? ?1 时有 0 ? a ? 1 . ∴ f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为增函数, 要使值域为 (1, ??) ,

1? n ? ?1 ?log a n ?1 ? ?a ? 2 ? ?1 则? (无解) ;
②当 1 ? n ? a ? 2 时有 a ? 3 . ∴ f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为减函数,

?n ? 1 ? a ?1 ? log a ?1 ? a ?3 , 要使 f ( x ) 的值域为 (1, ??) , 则 ?
∴ a ? 2? 3,n ?1. ?????????????????10 分

(2)

g ? x ? ? ?ax2 ? 8 ? x ?1? a

f ? x?

4 16 ? 5 ? ?ax2 ? 8x ? 3 ? ?a( x ? )2 ? 3 ? a a ,
4 a,

则函数 y ? g ( x) 的对称轴

x?

a ? 8∴

x?

4 ? 1? ? ? 0, ? a ? 2? .

x ? ?1, t ? ∴函数 y ? g ( x) 在 上单调减.
则 1 ? x ? t ,有 g (t ) ? g ( x) ? g (1) .

g (1) ? 11 ? a, 又

a ? 8 ,∴ g (1) ? 11 ? a ? 3 ? 5 .

t 是最大实数使得 x ? ?1, t ? 恒有 ?5 ? g ( x) ? 5 成立,
∴ ?at ? 8t ? 3 ? ?5 即 at ? 8t ? 8 ? 0 .
2 2

?????????????????16 分 2011 届江苏高考数学权威预测题
/ / 9 、 已 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 y ? f ( x) 的 导 函 数 为 f ( x) , 满 足 f ( x) ? f ( x) 且

y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? ex 的解集为
答案: (0, ??)



.

11、设定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足对 ?x, t ? R ,且 t ? 0 ,都有 t ( f ( x ? t ) ? f ( x)) ? 0 ,则

?(x, y) | y ? f (x)? ?(x, y) | y ? a? 的元素个数为
答案:0或1 二、解答题





20、 (16 分)对于正整数 a , b ,存在唯一一对整数 q和r ,使得 a ? bq ? r ,0 ? r ? q .特别地, 当 r ? 0 时,称 b 能整除 a ,记作 b | a ,已知 A ? {1, 2,3,

, 23}.

q , r 的值; (1)存在 q ? A ,使得 2011 ? 91q ? r (0 ? r ? 91) ,试求

x ,x ? A ,若 ( 2 ) 求 证 : 不 存 在 这 样 的 函 数 f : A ? {1, 2, 3} ,使得对任意的整数 1 2 | x1 ? x2 |?{1, 2,3} ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;
(3)若 B ? A, card ( B) ? 12(card ( B) 指集合 B 中元素的个数) ,且存在 a, b ? B, b ? a, b | a ,则 称 B 为“和谐集”.求最大的 m ? A ,使含 m 的集合 A 的有 12 个元素的任意子集为“和谐集” , 并说明理由. (1)解:因为 2011 ? 91 ? 22 ? 9 ,所以 q ? 22, r ? 9 . ?????3 分

x, y , 若 ( 2 ) 证 明 : 假 设 存 在 这 样 的 函 数 f : A ? {1, 2 , 3} ,使得对任意的整数

| x1 ? x2 |?{1, 2,3} ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
设 f (1) ? a, a ? {1, 2,3}, f (2) ? b, b ?{1, 2,3} ,由已知 a ? b . 由于 | 3 ? 1|? 2,| 3 ? 2 |? 1 ,所以 f (3) ? f (1), f (3) ? f (2) . ?????6 分

不妨令 f (3) ? c, c ? {1, 2,3} ,这里 c ? a, 且 c ? b , 同理, f (4) ? b, 且f (4) ? c ,

因为 {1, 2,3} 只有三个元素,所以 f (4) ? a . 即 f (1) ? f (4) ,但 | 4 ? 1|? 3 ,与已知矛盾.

x ,x ? A, 因此,假设不成立,即不存在这样的函数 f : A ? {1, 2,3} ,使得对任意的整数 1 2


| x1 ? x2 |?{1, 2,3} ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
,16 N }? ,

?????9 分

( 3 ) 解 : 当 m ? 8 时 , 记 M ? { 7 ? i | i ? 1, 2 ,

{? 2i( 7 i ? ) |

1, , 3, 4} ,2 记

P ? ?M N , a r dP( ) ? 1 2 则c

, 显然对任意 1 ? i ? j ? 16 , 不存在 n ? 3 , 使得 7 ? j ? n(7 ? i)

成立.故 P 是非 “和谐集” ,此时, P ? {8,9,10,11,12,13,14,15,17,19, 21, 23}. 同理,当 m ? 9,10,11,12 时,存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 因此 m ? 7 . 下面证明:含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 设 ?????12 分

B ? {a1 , a2 ,

, a11 ,7} . B1 ? {2, 4,8,16}, B2 ? {3,6,12}, B3 ? {5,10, 20} ,

若 1,14,21 都不属于集合 B ,构造集合

B4 ? {9,18}, B5 ? {11, 22}, B/ ? {13,15,17,19, 23} .
以上
/ B1 , B2 , B3 , B4 , B5 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 B/ ? B 的情况, 也即 B 中 5 个元

素全都是 B 的元素, B 中剩下 6 个元素必须从

B1 , B2 , B3 , B4 , B5 这 5 个集合中选取 6 个元素,

那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述,含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为“和谐集” ,即 m 的最大值为 7. ??16 分 江苏省 2011 届高三上学期苏北大联考(数学) 数学Ⅰ试题
2 4、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3 ,则 f (?2) ?





答案:-1 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题共 14 分)

f ( x) ? sin
已知函数

x x ? 2 cos 2 2 4

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c , 若 (2a ? c) cos B ? b cosC ,求 f ( A) 的取值范围。

x x ?x ?? f ? x ? ? sin ? cos ? 1 ? 2 sin? ? ? ? 1 2 2 ?2 4? 解: ……………………4 分
(Ⅰ) T ? 4? ……………………6 分

(Ⅱ)由 ?2a ? c ?cos B ? b cosC ,利用三角形中的正弦定理知: 2 cos B ? 1

0 ? B ? ? ,∴ ∵

B?

?
3 ……………………9 分

?A ?? f ? A? ? 2 sin? ? ? ? 1 ? 2 4? ,
0? A?


2? ? A ? 7? ? ? ? 3 , 4 2 4 12

2 ?A ?? ? sin? ? ? ? 1 ? 2 4? ∴2 ,……………………12 分

2 ? f ? A? ? ∴

2 ? 1 ……………………14 分
3

20、 (本小题共 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax (a∈ R), g ( x) ? ln x . (Ⅰ )当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间[-2, 2]上的最小值; (Ⅱ )若在区间[1, 2]上 f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方,求 a 的取值范围; (Ⅲ )设 h( x) ?| f ( x) | , x∈[-1, 1],求 h( x) 的最大值 F ( a ) 的解析式. 解: (Ⅰ)

f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ? x ? ?1 …………………………………………2 分
列表得

f ( x)min ? ?2 …………………………………………5 分

(Ⅱ)

在区间 [1, 2] 上 f ( x ) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方

? x ?3 a x ?l n 在 x [1, 2] 上恒成立得
3

3a ? x 2 ?

ln x x 在 [1, 2] 上恒成立…………7 分

设 h( x ) ?

x2 ?

ln x 1 ? ln x 2 x3 ? ln x ? 1 h?( x) ? 2 x ? ? x 则 x2 x2

2x3 ? 1 ? 0 , lxn ?
?a ?

? ? 1 ? 0? h x( ? ) h(0x) m i n ? h( 1 ) ………………………9 分

1 3 …………………………………………10 分
3

, 故只要求在 [0,1]上的最大值 (3)因 g ( x) ?| fx) |?| x ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数 f (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x) ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且
'

F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.
② 当 a ? 0 时, f ( x) ? 3x ? 3a ? 3( x ? a )(x ? a ), (ⅰ )当 a ? 1,即a ? 1
' 2

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0,1]上单调递增 , 此时F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1
(ⅱ )当 0 ?

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减 , 在 [ a ,1] 单调递增;

1 f (1) ? 1 ? 3a ? 0,即 ? a ? 1 3 1°当 时,

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增 , 在[ a ,1]上单调递减 , F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a ;
f (1) ? 1 ? 3a ? 0,即0 ? a ? 1 3

2°当

1 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即0 ? a ? 时, F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a 4 (ⅰ )当 1 1 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a 4 3 (ⅱ )当

综上

1 ? ?1 ? 3a, ( a ? 4 ) ? 1 ? F ( x) ? ?2a a , ( ? a ? 1) 4 ? ?3a ? 1, ( a ? 1) ? ? ………………16 分

江苏省 2011 年高考数学模拟题 五、导数应用题 6、水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间(单位:月),以年初为起点,根据历年数据, 某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为

? 1 (-t2+15t-51)et+50 (0<t≤9) ? v(t)= ? 240 。 ? ?4(t-9)(3t-41)+50 (0<t≤12)
(1)若该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 i-1<t≤i 表示第 i 月份(i=1,2,?12),问一年 内那几个月份是枯水期? (2)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e3=20 计算)。 解:(1)当 0<t≤9 时,v(t)= 1 (-t2+15t-51)et+50<50,即 t2-15t+51>0, 240

15+ 21 15- 21 解得 t> 或 t< , 2 2 15- 21 从而 0<t< ≈5.2。 2 当 9<t≤12 时,v(t)=4(t-9)(3t-41)+50<50,即(t-9)(3t-41) <0, 解得 9<t< 41 ,所以 9<t≤12。 3

综上,0<t<5.2 或 9<t≤12,枯水期为 1,2,3,4,5,10,11,12 月。 (2)由(1)知,水库的最大蓄水量只能在 6~9 月份。 v′ (t)= 1 1 (-t2+13t-36)et =et(t-1)(t-9), 240 240

令 v′ (t)=0,解得 t=9 或 t=4(舍去), 又当 t∈ (6,9)时,v′ (t)>0;当 t∈ (9,10)时,v′ (t)<0。 所以,当 t=9 时,v(t)的最大值 v(9)= 1 ×3×e9+50=150(亿立方米), 240

故一年内该水库的最大蓄水量是 150 亿立方米。 7、 一变压器的铁芯截面为正十字形, 为保证所需的磁通量, 要求十字形应具有 4 5 m2 的面积。 问应如何设计十字形的宽 x 及长 y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁 芯上的铜线最节省。 解:设 AB=h,则长 y=2h+x。由题意,x2+4xh=4 5 , 4 5 -x2 ∴h= ,又 l=2πR,欲求 l 的最小值,只须求出 R 的最小值, 4x 4R2= x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2), 设 φ(x)= x2+2hx+2h2

4 5 -x2 80-8 5 x2+x4 = x2+ +2h2+ 4x 8x2 = 5 + 5 10 x2+ (0<x<2R)。 8 x2 5 20 x=0 ? x4=16,x=2, 4 x3

令 φ′ (x)=

4 5 -4 5 -1 这时 h= = ,y=2h+x= 5 +1。 8 2 根据问题的实际意义,此最小周长 l,最小半径 R 是存在的, 故 x=2cm,y =( 5 +1)cm 即为所求。 七、函数综合题 9、已知函数 f(x)=x+ a a ,g(x)= x- ,a<2 2 -3, x x

(1)求证:函数 f(x)在(0,1]上单调递增; (2)函数 g(x)在(0,1]上单调递减,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x∈(0,1],函数 h(x)=x|x-b|+a 的图象在 x 轴下方,求 b 的取值范围。 解:设 0<x1<x2 ≤1, (1)∵a<0,∴f(x1)- f(x2)=( x1-x2)(1(2)∵g(x1)- g(x2)=( x1-x2)(1a )<0,∴f(x)在(0,1)上递增。 x1x2

a a )>0,∴1+ <0,a<-x1x1, x1x2 x1x2 a a a ,∴x+ <b<x- ,即 f(x)<b<g(x), x x x

而-x1x1 最小值为-1,∴ a<-1。 (3)∵h(x)<0,即|x-b|<-

∴f(x)max<b<g(x)<g(x)min,x∈(0,1)。 当-1<2 2 -3 时,由(1)知 f(x)max 为 f(1)=1+a, 而 g(x)=xa ≥2 -a ,∴1+a<b<2 -a 。 x

当 a<-1 时,由(2)结论的可逆性,可得 g(x)最小值为 g(1)=1-a, 由(1)知 f(x)最大值仍为 f(1)=1+a,∴1+a<b<1-a。 10、对任意 x∈ R,给定区间[k的绝对值。 (1)写出 f(x)的解析式; 1 (2)设函数 g(x)= loga x ,(e- — 2 <a<1) 试证明:当 x>1 时,f(x)>g(x);当 0<x<1 时,f(x)<g(x); 1 (3)求方程 f(x)- loga x =0 的实根,(e- — 2 <a<1)。 解:(1)当 x∈[k1 1 ,k+ ](k∈Z)时,由定义知:k 为与 x 最近的一个整数,故 2 2 1 1 ,k+ ](k∈Z)。 2 2 1 1 ,k+ ](k∈Z),设函数 f(x)表示实数 x 与 x 的给定区间内整数之差 2 2

f(x)=|x-k|,x∈[k-

(2)①当 x>1 时,|x-k| ≥0> ②当

1 logax,所以 f(x)>g(x); 2

1 1 1 <x<1 时,设 H(x)= g(x)- f(x)= logax-(1-x),( <x<1)。 2 2 2 1 1 1 · logae+1= +1< 2 x 2xlna 1 1 2xln e- — 2 +1=1 +1<0, x

则 H′ (x)=

所以当

1 <x<1 时,H(x)为减函数,H(x)>H(1)=0,故 f(x)<g(x); 2 1 1 时,设 G(x)= g(x)- f(x)= logax-x, 2 2 1 1 )=H( )>0,故 f(x)<g(x)。 2 2

③当 0<x≤

明显 G(x)为减函数,G(x)≥G( 另证:g(x)=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 logax> loga = loga4- — 2 > logae- — 2 > logaa= = f( )>f(x)。 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 logax=0 的实根,所以,若 e- — 2 <a<1,方程 f(x)-loga x =0 2

(3)由(2),容易验证 x=1 为方程 |x-k|有且仅有一个实根,实根为 1。 11、已知 f(x)=ax-lnx,x∈ [0, e],g(x)= (1)若 a=1,求 f(x)的极小值; (2)在(1)条件下证明 f(x)>g(x)+ 1 ; 2

lnx ,a∈ R, x

(3)是否存在实数 a 使 f(x)的最小值为 3。 解:(1)∵f(x)=ax-lnx,f ′ (x)=11 x-1 = , x x

∴当 0<x<1 时,f ′ (x)<0,此时 f(x)单调递减; 当 1<x<e 时,f ′ (x)>0,此时 f(x)单调递增。 ∴ f(x)的极小值为 f(1)=1。 (2)∵f(x)的极小值为 1,即 f(x)在(0,e)上的最小值为 1, ∴f(x)>0,f(x)min=1。 令 h(x)=g(x)+ 1 lnx 1 1-lnx = + ,h′ (x)= , 2 x 2 x 1 1 1 1 + < + 1=| f(x)|min。 e 2 2 2 1 。 2 1 ax-1 = , x x 4 (舍去),所以,此时 f(x)无最小 e

当 0<x<e 时,h′ (x)>0,h(x)在(0,e)上单调递增, ∴h(x)max= h(e)=

∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+

(3)假设存在实数 a,使 f(x)=ax-lnx ,x∈ [0, e]有最小值 3,f′ (x)=a-

①当 a≤0 时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min= f(e)=ae-1=3,a= 值。

②当 0< f(x)min= f( ③当

1 1 1 <e 时,f(x)在(0, )上单调递减,在( , e]上单调递增, a a a 1 )=1+lna=3,a=e2,满足条件。 a

1 4 ≥e 时,f(x)在(0,e)上单调递减,f(x)min= f(e)=ae-1=3,a= (舍去),所以,此时 f(x)无最小 a e

值。 综上,存在实数 a=e2,使得当 x∈ [0, e]时 f(x)有最小值为 3。 2011 年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学 高三调研测试 数学(必试部分)

?2 x , x ? 0, f ( x) ? ? 2 ?log 2 x, x ? 0 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? af ( x) ? 0 恰有三个不同的实数解, 11.设函数 则实数 a 的取值范围为___ _____.
12. 函 数
g x y ? f ? x? ? ?

在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得
f ?? x? y? ? g ? ? x ? ln f ? x ? ? g ? x ? y f ? x?
1 xx

ln y ? g ? x ? ln f ? x ?

, 两 边 求 导 数

, 于 是

g x y? ? f ? x ? ? ?

? f ?? x? ? ? g ? ? x ? ln f ? x ? ? g ? x ? ? f ? x? ? ? ? ?

.运用此方法可以探求得知

y?

? x ? 0? 的一个单调增区间为____

_____. 二、解答题 17. (本大题满分 14 分) 2010 年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行, 对每天在各时间段进入园区和离开园区 的人数(以百人为计数单位)作了一个模拟预测.为了方便起见,以 10 分钟为一个计算单位, 上午 9 点 10 分作为第一个计数人数的时间,即 n ? 1 ;9 点 20 分作为第二个计数人数的时间, 即 n ? 2 ;依此类推 ??,把一天内从上午 9 点到晚上 24 点分成了 90 个计数单位.第 n 个时刻
? 36 ? n ? 24 ? ?36 ? 3 12 f ?n? ? ? ??3n ? 216 ? ? 0 f ? n? ? ? 进入园区的人数 和时间 n( n ? N ) 满足以下关系:
n ? N?
n n ? N? g ? n? 第 n 个 时 刻 离 开 园 区 的 人 数 和 时 间

?1 ? n ? 24 ? ? 25 ? n ? 36 ? ? 37 ? n ? 72 ? ? 73 ? n ? 90 ? ,

?

?

满 足 以 下 关 系 :

? 0 ? g ? n ? ? ?5n ? 120 ? 50 ?

?1 ? n ? 24 ? ? 25 ? n ? 72 ? , n ? N? ? 73 ? n ? 90 ? .

12 (1) 试计算在当天下午 3 点整 (即 15 点整) 时, 世博园区内共有游客多少百人? (提示: 3取1.1,

结果仅保留整数) (2)问:当天什么时刻世博园区内游客总人数最多?

20. (本大题满分 16 分)

f ? x ? ? a|x| ?
已知函数

2 ax

? a ? 0, a ? 1?

f ? x? ? m

(1)若 a ? 1 ,且关于 x 的方程 (2)设函数

有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; ,
g ? x?

g ? x ? ? f ? ?x ? , x ? ??2, ?? ?

满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大

(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围. 江苏省安宜高级中学 10-11 年度高三 B 部数学复习资料期末综合练习(二) 2 f ( x) ? x ?m 2 ?1 3.若函数 为奇函数,则实数 m ? ▲ . 答案: ?1

1 f ( x) ? log a (ax 2 ? x ? )( a ? 0且a ? 1)在[1,3] 2 13.已知函数 上恒正,则实数 a 的取值范围
为 ▲

1 8 3 ( , ) ? ( ,?? ) 2 答案: 2 9
? 2 ? x ? a ( x ? 0) ? f ( x ) ? ? f ( x ? 1) ( x ? 0) ,若方程 f ( x) ? x 有且只有两个不相等的实数根,则实 14.已知函数
数 a 的取值范围是 ▲ 答案: a ? 2 二、解答题 19.(本小题满分 16 分) 如图 1,OA ,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥 和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA ,OB 平行的栈桥 MG,MK,且 以 MG,MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK.建立如图 2 所示的直角坐标系,测得 CD 的方程是 x ? 2 y ? 20(0 ? x ? 20) , 曲线 EF 的方程是 xy ? 200( x ? 0) , 设点 M 的坐标为 ( s, t ) . (题 中所涉及长度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度) (1)求三角形观光平台 MGK 面积的最小值; (2)若要使 ?MGK 的面积不小于 320 平方米,求 t 的范围. .

19. (1)由题意,得

K ( s,

200 200 ), G ( , t) s t , ( s ? 0, t ? 0) ,

又因为 M (s, t ) 在线段 CD: x ? 2 y ? 20(0 ≤ x ≤ 20) 上, 所以 s ? 2t ? 20(0 ? s ? 20) ,

S?MGK ?

1 1 200 200 1 40000 ? MG ? MK ? ( ? s )( ? t ) ? ( st ? ? 400) 2 2 t s 2 st ?????4 分

由 20 ? s ? 2t ? 2 2st ,得 0 ? st ≤50 ,当且仅当 s ? 10 , t ? 5 时等号成立. ??????????????6 分

1 40000 f (u ) ? S?MGK ? (u ? ? 400) 2 u 令 st ? u ,则 , u ? (0,50] . f ' (u ) ?


1 40000 (1 ? )?0 2 u2 ,故 f (u ) 在 (0,50] 上单调递减,

(注意:若 f (u ) 在 (0,50] 上单调递减未证明扣 1 分) 所以

f (u)min ? f (50) ? 225 ,此时 s ? 10 , t ? 5 .

所以三角形 MGK 面积的最小值为 225 平方米. ??????????????10 分 (2)由题意得 f (u ) ≥ 320 ,

1 40000 (u ? ? 400) ? 320 u 当2 ,解得 u ? 40 或 u ? 1000 (舍去) ,
由(1)知 st ≤ 40 , ??????????????14 分

即 (20 ? 2t )t ≤ 40 ,解之得 5 ? 5 ≤t ≤5 ? 5 . 所以 t 的范围是 [5 ? 5,5 ? 5] .?????????????????????16 分 20.(本小题满分 16 分)
x 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 ( a ? R ,且 a 为常数).

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,若方程 f ( x) ? 0 只有一解,求 a 的值; (3)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ f (? x) ,求 a 的取值范围.

? 20. (1) f ( x) ? e ? a ,????????????????????????1 分
x

? 当 a ≥ 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??, ??) 上是单调增函数.???????3 分
当 a ? 0 时,

? 由 f ( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) , f ( x ) 在 (ln(?a), ??) 上是单调增函数; ? 由 f ( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) , f ( x ) 在 (??, ln(?a)) 上是单调减函数.
综上, a ≥ 0 时, f ( x ) 的单调增区间是 (??, ??) .

a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (ln(?a), ??) ,单调减区间是 (??, ln(?a)) .?6 分

f ( x)min ? f (ln(?a)) , (2)由(1)知,当 a ? 0 , x ? ln(?a) 时, f ( x ) 最小,即
由方程 f ( x) ? 0 只有一解,得 f (ln(?a)) ? 0 ,又考虑到 f (0) ? 0 , 所以 ln(?a) ? 0 ,解得 a ? ?1 .???????????????????10 分 (3)当 x ≥ 0 时, f ( x) ≥ f (? x) 恒成立, 即得 e ? ax ≥ e
x ?x

? ax 恒成立,即得 e x ? e? x ? 2ax ≥ 0 恒成立,

令 h( x) ? e ? e
x x

?x

? 2ax ( x ≥ 0 ) ,即当 x ≥ 0 时, h( x) ≥ 0 恒成立. ? 2a ,且 h?( x) ≥ 2 e x ? e? x ? 2a ? 2 ? 2a ,当 x ? 0 时等号成立.
?

? 又 h ( x) ? e ? e

?x

?????????????????????????????????12 分 ①当 a ? ?1 时, h ( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) ? 0 恒成立. ②当 a ? ?1 时,若 x ? 0 , h ( x) ? 0 , 若 x ? 0 , h ( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) ? 0 恒成立.???????14 分

?

?

③当 a ? ?1 时,方程 h ( x) ? 0 的正根为 此时,若 所以,

?

x1 ? ln(? a ? a 2 ? 1)



x ? (0,x1 ) ,则 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在该区间为减函数.

x ? (0,x1 ) 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,与 x ≥ 0 时, h( x) ≥ 0 恒成立矛盾.

综上,满足条件的 a 的取值范围是 [?1, ??) .??????????????16 分 江苏常州三中高三数学期末模拟试题 4.若 f ( x ) 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) ? 1 , f (2) ? 2 ,则 f (3) ? f (4) ? 答案:-1 8 .用 .

min?a ,b?

表示 a , b 两数中的最小值 . 若函数

f ( x) ? min? x , x? t?

的图像关于直线

x??

1 2 对称,则 t 的值为

.1

? lg x , 0<x ? 10, ? f ? x? ? ? 1 ?? x ? 6, x>10 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ? 2 9.已知函数 若 a, b, c 互不相等,且 ,则 abc
的取值范围是 .

?10,12?
f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 .

19. (本小题满分 16 分)已知函数 (I)讨论函数 f ( x) 的单调性;

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | , (II) 设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , 求 a 的取值范围.
解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为(0,+∞).

f '( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? x x .

当 a ? 0 时, f '( x) >0,故 f ( x ) 在(0,+∞)单调增加; 当 a ? ?1 时, f '( x) <0,故 f ( x ) 在(0,+∞)单调减少;

当-1< a <0 时,令 f '( x) =0,解得

x? ?

a ?1 2a .

x ? (0, ?
则当

a ?1 a ?1 ) x ?( ? , ??) 2a 时, f '( x) >0; 2a 时, f '( x) <0. a ?1 a ?1 ) ( ? , ??) 2a 单调增加,在 2a 单调减少.

故 f ( x) 在

(0, ?

(Ⅱ)不妨假设

x1 ? x2 ,而 a <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2
等价于

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1
令 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,则



g '( x) ?

a ?1 ? 2ax ? 4 x

①等价于 g ( x) 在(0,+∞)单调减少,即

a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 x .

?4 x ? 1 (2 x ? 1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ? 1) 2 a? 2 ? ? ?2 2x ?1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 从而
故 a 的取值范围为(-∞,-2]. 江苏省常州市 7 校 2011 届高三上学期期中联考(数学理) 7、若函数 f ( x) ? 4ln x ,点 P( x, y) 在曲线 y ? f '( x) 上运动,作 PM ? x 轴,垂足为 M , 则△ POM ( O 为坐标原点)的周长的最小值为___▲___ . 4 ? 2 2

3 ? 3 2 f '(1) ? f '( ? 1) f ( x ) ? x ? x f '(1) ? 3 xf '( ? 1) 8、已知 ,则 的值为___▲___. 4

x , x ,?, xn ,有 10 、如果函数 f ( x) 在区间 D 上是“凸函数” ,则对于区间 D 内任意的 1 2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) x ? x2 ? ? ? xn ? f( 1 ) n n 成立 . 已知函数 y ? sin x 在区间 [0,? ]

3 3 上是“凸函数” ,则在△ ABC 中, sin A ? sin B ? sin C 的最大值是___▲___. 2
ax f ( x) ? (a ? 0 1? ax 12、设函数 ,且 a ? 1) , [ m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,
1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f ( ? x) ? ] 2 2 的值域是___▲___ . {?1, 0} 则函数
13 、如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动 . 设顶点

P( x, y) 的纵坐标与横坐标的函数关系式是 y ? f ( x) , 记 f ( x ) 的最小正周期为 T ;y ? f ( x)

在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积记为 S ,则 S ? T ? ___▲ ___.

2? ?

3 3 4

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。

18、 (本题满分 16 分)

f ( x) ?
函数

1 2 9 x ? ( a ? b) x 2 ? 1 ? 2 2 2 , g ( x) ? ax ? b ( a、b、x ? R ), 1 2 9 x ? 3 x 2 ? 1 ? ? 0} 2 2 ,

A ? {x |
集合

(1)求集合 A ; (2)如果 b ? 0 ,对任意 x ? A 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; (3)如果 b ? 0 ,当“ f ( x) ? 0 对任意 x ? A 恒成立”与“ g ( x) ? 0 在 x ? A 内必有解” 同时成立时,求 a 的最大值.
2 2 18、解: (1)令 x ? 1 ? t ? 1 ,则 x ? t ? 1 ??????????1 分

2

1 2 9 (t ? 1) ? 3t ? ? 0 2 f ( x) ? 0 即 2 2 即 t ? 6t ? 8 ? 0 , (t ? 2)(t ? 4) ? 0
2 ? 2 ? t ? 4 ,?3 分,所以 2 ? x ?1 ? 4 ,所以 x ?[? 15, ? 3] [ 3, 15] ,

即 A ? [? 15, ? 3] [ 3, 15] ????????????5 分 (2) f ( x) ? 0 恒成立也就是

f ( x) ?

1 2 9 x ? a x2 ? 1 ? ? 0 2 2 恒成立,

1 2 9 1 9 x ? ? a x2 ? 1 a x2 ? 1 ? x2 ? 2 2 2 2, ,即

1 2 9 x ? 2 2 ? 1 x ?9 ?a ? 2 x2 ? 1 ? 1 , x 2 ? 1 2 x 2 ? 1 ,?????7 分

令t ?

x2 ? 1 ,则 t ? [2, 4] ,则

y?

t2 ? 8 1 8 ? (t ? ) 2t 2 t ,? a ? y 恒成立,? a ? ymin
1 ymin ? ? 2 8 ? 2 2 2 ,? a ? 2 2 .

由导数可知,当 t ? 2 2 ?[2, 4] 时,

11 分

1 2 9 x ? 1 x2 ? 9 2 2 ?a ? b ? ? x2 ? 1 2 x2 ? 1 (3)对任意 x ? A , f ( x) ? 0 恒成立,
由(2)可知 a ? b ? 2 2 --------①,??? ???12 分

?b ? a?? 2 ? ? x ?max , 由 g ( x) ? ax ? b ? 0 有解, ax ? b ? 0 有解,即
2
2

b ? b ? a?? 2 ? ? ? x ?max 3 ,? 3a ? b ? 0 -------------② ??15 分 b ? 0 ,?
a? 2 2

①+②可得

2 3 2 b? 2 . 所以 a 的最大值为 2 ,此时
19、 (本题满分 16 分)

?????????16 分

f ( x) ? ln x ?
函数

a( x ? 1) ( x ? 0, a ? R) x .

(1)试求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,求证:函数 f ( x ) 的图像存在唯一零点的充要条件是 a ? 1 ;

1 1 1 ? ? (3)求证:不等式 ln x x ? 1 2 对于 x ? (1, 2) 恒成立. f / ( x) ? 1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) x x2 x .????????????????? 2 分
/

19 解: (1)

当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,在 (0, ??) 上单调递增;??????????????3 分 当 a ? 0 时, x ? (0, a) 时, f ( x) ? 0 ,在上单调递减;
/

x ? (a, ??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (a, ??) 上单调递增.? ????5 分

综上所述,当 a ? 0 时,的单调递增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) . 6分

(2)充分性: a ? 1 时,由(1)知,在 x ? 1 处有极小值也是最小值, 即

f min ( x) ? f (1) ? 0 。而在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,

在 (0, ??) 上由唯一的一个零点 x ? 1 . ?????????9 分 必要性: f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一解,且 a ? 0 , 由(1)知,在 x ? a 处有极小值也是最小值 f ( a ) , f (a) ? 0 ,即 ln a ? a ? 1 ? 0 .

令 g (a) ? ln a ? a ? 1 ,
/

g / (a) ?

1 1? a ?1 ? a a .
/

当 0 ? a ? 1 时, g (a) ? 0 ,在 (0,1) 上单调递增;当 a ? 1 时, g (a) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递减。

gmax (a) ? g (1) ? 0 , g (a) ? 0 只有唯一解 a ? 1 .

f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一解时必有 a ? 1 . ??????12 分
综上:在 a ? 0 时, f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一解的充要条件是 a ? 1 .

1 1 1 ? ? ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ? 0 1 ? x ? 2 ,∴ ln x x ? 1 2 (3)证明:∵ .
令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ,∴

F / ( x) ? ln x ?

x ?1 1 ? 2 ? ln x ? ? 1 x x ,??14 分

1 ln x ? ? 1 ? 0 f ( x ) ? f (1) ? 0 f ( x ) ? f (1) ? 0 x 由(1)知,当 a ? 1 时, min ,∴ ,∴ .

F ( x) ? F (1) ? 0 , F ( x) ? 0 ,∴ ∴ F(x) F ( x) 在 (1, 2) 上单调递增,∴
/

1 1 1 ? ? (1 ? x ? 2) ( x ? 1) ln x ? 2( x ?1) ? 0 .∴ ln x x ? 1 2 ∴ . ??? 16 分
20、 (本题满分 16 分)

1 1 [k ? , k ? ]( k ? z ) 2 2 对任意 x ? R ,给定区间 ,设函数 f ( x) 表示实数 x 与 x 的给定区间内
整数之差的绝对值

1 1 1 1 x ? [? , ] x ? [k ? , k ? ](k ? z ) 2 2 时,求出 f ( x) 的解析式;当 2 2 (1)当 时,
写出用绝对值符号表示的 f ( x) 的解析式;

4 4 f ( ), f ( ? ) 3 的值,判断函数 f ( x)( x ? R) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)求 3
? 1 2

(3)当 e

? a ? 1 时,求方程 f ( x) ? loga x ? 0 的实根. (要求说明理由

e

?

1 2

?

1 2)

1 1 x ? [? , ] 2 2 时, 20 解: (1)当
由定义知: x 与 0 距离最近, f ( x) ?| x | ,

1 1 x ? [ ? , ]. 2 2

1 1 x ? [k ? , k ? ]( k ? Z ) 2 2 当 时,
由定义知: k为与x 最近的一个整数,故

1 1 f ( x) ?| x ? k |, x ? [k ? , k ? ](k ? Z ) 2 2 。??????????3 分

? 4? 1 f ? ?? , (2) ? 3 ? 3

? 4? 1 f ?? ? ? ? 3 ? 3 ??????????4 分

判断 f ( x ) 是偶函数??????????5 分 对任何 x ?R,函数 f ( x) 都存在,且存在 k ? Z,满足
k? 1 1 1 1 1 1 ? x ? k ? , f ( x) ?| x ? k | .由k ? ? x ? k ? 可以得出 ? k ? ? ? x ? ?k ? (k ? 2 2 2 2 2 2 Z)

1 1 ? x ? [?k ? ,?k ? ]( ?k ? 2 2 即 Z) . ????7 分
由(Ⅰ)的结论,

f (?x) ? ?x ? (?k ) ?| k ? x |?| x ? k |? f ( x),

???9 分

即 f ( x) 是偶函数.

(3)解:

f ( x) ? log a

1 x ? 0,即 | x ? k | ? log a x ? 0. 2

x ? 1时, | x ? k |? 0 ?
①当

1 1 log a x,?| x ? k | ? log a x ? 0 2 2 没有大于 1 的实根; 10 分

1 | x ? k | ? log a x ? 0 2 ②容易验证 x ? 1 为方程 的实根;????????11 分

1 1 1 ? x ? 1时, 方程 | x ? k | ? log a x ? 0变为1 ? x ? log a x ? 0. 2 2 ③当 2 1 1 H ( x) ? log a x ? (1 ? x) ( ? x ? 1). 2 2 设

H ?( x) ?


1 1 1 ? loga e ? 1 ? ?1 ? 2 x 2 x ln a

1 2 x ln e
1 ? 2

?1 ? ?

1 ? 1 ? 0, x

1 ? x ? 1时, H ( x) 所以当 2 为减函数, H ( x) ? H (1) ? 0, 1 ? x ?1 所以方程没有 2 的实根;????????14 分

1 1 1 0 ? x ? 时, 方程 | x ? k | ? log a x ? 0变为 x ? log a x ? 0 2 2 2 ④当
G ( x) ?


1 1 log a x ? x(0 ? x ? ), 明显 G ( x) 2 2 为减函数,

1 1 G ( x) ? G ( ) ? H ( ) ? 0 2 2 ,

0? x?
所以方程没有
? 1 2

1 2 的实根.????????15 分

a 综上可知,若 有且仅有一个实根,实根为 1. 16 分 江苏省常州市 7 校 2011 届高三上学期期中联考(数学文)

e

? a ? 1, 方程f ( x) ? log

x ?0

8、若函数 f ( x) ? 4ln x ,点 P( x, y) 在曲线 y ? f '( x) 上运动,作 PM ? x 轴,垂足为 M , 则△POM ( O 为坐标原点)的周长的最小值为___▲ ___. 4 ? 2 2

11、已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数

f ( x) ?

1 3 1 x ? | a | x 2 ? a ? bx 3 2 在 R 上有极值,

( ,? ] 则 a 与 b 的夹角范围为___▲___. 3
13、如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动.设顶点 P( x, y) 的纵坐标与横坐标的函数 关系式是 y ? f ( x) , 则 f ( x ) 的最小正周期为 T ;y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴

?

所围区域的面积为 S ,则 S ? T =___▲ ___.

2? ?

3 3 4
2 2 2 *

2 2 14、已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ?b ? 4b ? 3 ? x , g ( x) ? x (2a ? x )(a ? Z , b ? Z ) ,若存



x0 ,使 f ( x0 ) 为 f ( x) 的最小值, g ( x0 ) 为 g ( x) 的最大值,则此时数对 (a, b) 为

▲ . (1,2) 二、解答题 18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0, x ? R) 为奇函数,
3 2

且 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 2. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式;

(2)记

g ( x) ?

f ( x) ? (k ? 1) ln x x ,求函数 y ? g ( x) 的单调区间;

y ? x ? m 的下方,求 m (3)在(2)的条件下,当 k ? 2 时,若函数 y ? g ( x) 的图像的直线
的取值范围。 18. (本小题满分 16 分)
2 2 解: (Ⅰ)令 x ? 1 ? t ? 1 ,则 x ? t ? 1

2

1 2 9 (t ? 1) ? 3t ? ? 0 2 f ( x) ? 0 即 2 2 即 t ? 6t ? 8 ? 0 , (t ? 2)(t ? 4) ? 0
2 ? 2 ? t ? 4 ,所以 2 ? x ?1 ? 4 ,所以 x ?[? 15, ? 3] [ 3, 15] ,

即 A ? [? 15, ? 3] [ 3, 15] ??????????????????????5 分 (Ⅱ) f ( x) ? 0 恒成立也就是

f ( x) ?

1 2 9 x ? a x2 ? 1 ? ? 0 2 2 恒成立,

1 2 9 1 9 x ? ? a x2 ? 1 a x2 ? 1 ? x2 ? 2 2 2 2, ,即

1 2 9 x ? 2 2 ? 1 x ?9 ?a ? 2 x2 ? 1 ? 1 , x2 ? 1 2 x2 ? 1

1? 8 ? ? ? x2 ? 1 ? ? 2? x 2 ? 1 ? 恒成立, 1? 2 8 ? 1 ? x ?1 ? 2 ? ? ?2 8 ? 2 2 2? x ? 1 ? 2 因为 ,所以 a ? 2 2 . ????????11 分
1 2 9 x ? 2 2 ? 1 x ?9 ?a ? b ? 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 (Ⅲ)对任意 x ? A , f ( x) ? 0 恒成立,
得a ?b ? 2 2 ,

?b ? a?? 2 ? 2 ? x ?max , 由 g ( x) ? ax ? b ? 0 有解, ax ? b ? 0 有解,即
2

b ? b ? a?? 2 ? ? ? x ?max 3 , b ? 3a . b ? 0 ,?
?a ? b ? 2 2 ? ?3a ? b ?b ? 0 ?

??????????????14 分

? a, b 满足条件

所表示的区域, 设 3a ? b ? t , b ? ?3a ? t , 根据可行域求出

a?


2 3 2 ,b ? 2 2 时取得.
?????????????16 分

所以 3a ? b 的最大值为 3 2 . 19.(本题满分 16 分)

f ( x) ?
函数

1 2 9 x ? ( a ? b) x 2 ? 1 ? 2 2 2 , g ( x) ? ax ? b ( a、b、x ? R ),

A=

{x |

1 2 9 x ? 3 x 2 ? 1 ? ? 0} 2 2

(Ⅰ)求集合 A ; (Ⅱ)如果 b ? 0 ,对任意 x ? A 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; (Ⅲ)如果 b ? 0 ,当“ f ( x) ? 0 对任意 x ? A 恒成立”与“ g ( x) ? 0 在 x ? A 内必有解”同

时成立时,求 3a ? b 的最大值. 19. (本小题满分 16 分) 解: (1)由 f ( x) ? ax ? bx ? cx ( a ≠0)为奇函数,
3 2

∴ f (? x) ? ? f ( x) ,代入得, b ? 0 1 分 ∴ f '( x) ? 3ax ? c ,且 f ( x ) 在 x ? 1 取得极大值 2.
2

? f '(1) ? 0, ?3a ? c ? 0, ?? ? f (1) ? 2, ? ?a ? c ? 2. 3 分 ∴
解得 a ? ?1 , c ? 3 ,∴ f ( x) ? ? x ? 3x
3

4分

(2)∵ g ( x) ? ?x ? 3 ? (k ? 1)ln x ,
2

g '( x) ? ?2 x ? (k ? 1)


1 ?2 x 2 ? (k ? 1) ? x x 5分

因为函数定义域为(0,+∞) ,所以 ①当 k ? 1 ? 0 , k ? ?1 时, g '( x) ? ?2 x ? 0 , 函数在(0,+∞)上单调递减; 6 分 ②当 k ? ?1 时, k ? 1 ? 0 ,∵ x ? 0 ,

?2 x 2 ? (k ? 1) g '( x) ? ? 0. x ∴
∴函数在(0,+∞)上单调递减; 7分

?2 x 2 ? (k ? 1) ?0 x ③ k ? ?1 时, k ? 1 ? 0 ,令 g '( x) ? 0 ,得 ,∵ x ? 0 ,
∴ ?2 x ? (k ? 1) ? 0 ,得
2

?

k ?1 k ?1 ?x? 2 2 ,

结合 x ? 0 ,得

0? x?

k ?1 2 ;

k ?1 ?2 x 2 ? (k ? 1) x? ?0 2 2 , x 令 g '( x) ? 0 ,得 ,同上得 2x ? (k ? 1) , k ?1 2 ) ∴ k ? ?1 时,单调递增区间为( 0 , ,

k ?1 2 ,+∞) 9 分 单调递增区间为(
综上,当 k ≤-1 时,函数的单调递减区间为(0,+∞) ,无单调递增区间;

k ?1 2 ) 当 k ? ?1 时,函数的单调递增区间为(0, , k ?1 2 ,+∞) 10 分 单调递减区间为(
(3)当 k ? 2 时, g ( x) ? ? x ? 3 ? 3ln x ,
2

令 h( x) ? g ( x) ? ( x ? m) ? ? x ? x ? 3ln x ? 3 ? m , 11 分
2

?2 x 2 ? x ? 3 3 h '( x) ? ?2 x ? 1 ? ?0 x ,令 h '( x) =0, x ,
得 x ? 1,

x??

3 2 (舍去).
13 分

由函数 y ? h( x) 定义域为(0,+∞) ,

则当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时 h '( x) ? 0 , ∴当 x ? 1 时,函数 h( x) 取得最小值 1- m 。 15 分

故 m 的取值范围是(1,+∞) 。答 [1, ?? ) 也正确 16 分 20. (本题满分 16 分)

f ( x) ? ln x ?
函数

a( x ? 1) ( x ? 0, a ? R) x .

(1)试求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,求证:函数 f ( x ) 的图像存在唯一零点的充要条件是 a ? 1 ;

1 1 1 ? ? (3)求证:不等式 ln x x ? 1 2 对于 x ? (1, 2) 恒成立. f / ( x) ?
/

20、解: (1)

1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) x x2 x .??????????????? 2 分

当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,在 (0, ??) 上单调递增;?????????????3 分

当 a ? 0 时, x ? (0, a) 时, f ( x) ? 0 ,在上单调递减;
/

x ? (a, ??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (a, ??) 上单调递增.??????????????5 分
综上所述,当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) .??? 6 分 (2)充分性:a=1 时,由(1)知,在 x=1 处有极小值也是最小值, 即

f min ( x) ? f (1) ? 0 .而(0,1)在上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,

在 (0, ??) 上由唯一的一个零点 x=1.???????????????????9 分 必要性: f ( x ) =0 在 (0, ??) 上有唯一解,且 a>0, 由(1)知,在 x=a 处有极小值也是最小值 f(a), f(a)=0,即 ln a ? a ? 1 ? 0 .

令 g (a) ? ln a ? a ? 1 ,
/

g / (a) ?

1 1? a ?1 ? a a .
/

当 0 ? a ? 1 时, g (a) ? 0 ,在(0,1)上单调递增;当 a>1 时, g (a) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递减.

gmax (a) ? g (1) ? 0 , g (a) =0 只有唯一解 a=1.

f ( x) =0 在 (0, ??) 上有唯一解时必有 a=1.??????????????12 分
综上:在 a>0 时, =0 在 (0, ??) 上有唯一解的充要条件是 a=1.

1 1 1 ? ? ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ? 0 (3)证明:∵1<x<2,∴ ln x x ? 1 2 .
令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ,∴

F / ( x) ? ln x ?

x ?1 1 ? 2 ? ln x ? ? 1 x x ,?14 分 ln x ? 1 ?1 ? 0 x .

f ( x) ? f (1) ? 0 ,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 ,∴ 由(1)知,当 a=1 时, min
/

∴ F ( x) ? 0 ,∴F(x)在(1,2)上单调递增,∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,

1 1 1 ? ? (1 ? x ? 2) ∴ ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ? 0 .∴ ln x x ? 1 2 .?????? 16 分
江苏省常州市 2011 届高三上学期调研试题(数学) 3. y ? sin x ? t cos x 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,则 t ? .1

) ? 1 ,则 f (4) ? 11. 已知 f ( x ? 1) 为奇函数, f ( x ? 1) 为偶函数, f (2008
f ( x) ? 2 sin ?x, x ? [?

.-1

? ?

12. 设函数

, ] 4 3 ,其中 ? 是非零常数.(1)若 f ( x) 是增函数,则? 的 0 ?? ? 3 2,

取值范围是____________; (2)若 f ( x) 的最大值为 2,则? 的最大值等于____________.

? ? ?2
二、解答题

1 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 3x ? a 3 15.(14) 已知函数 .
(1)求 f ( x) 的单调减区间;

7 ?3,4? f ( x ) ? (2)若 在区间 上的最小值为 3 ,求 a 的值.
15、解: (1)

f ?( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3, 令 f ?( x) ? 0 ,则 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0.

解得 x ? ?1 或 x ? 3. ∴ 函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) . (2)列表如下: -3 x
f ?( x)

( ?3, ?1)


-1 0

(?1,3)
+

3 0

(3, 4)


4

f ( x)
∴f ( x) 在 ( ?3, ?1) 和 (3, 4) 上分别是减函数,在 (?1,3) 上是增函数.



5 20 f (?1) ? a ? , f (4) ? a ? , ? f (?1) ? f (4). 3 3

? f (?1) 是 f ( x) 在 [?3, 4] 上的最小值.

5 7 ?a ? ? . 3 3 解得 a ? 4.
?

16. ( 14 ) 已 知 向 量
? ? ? ?

a ? (sin( ?x ? ? ), 2), b ? (1, cos( ?x ? ? ))( ? ? 0,0 ? ? ?

?

?

) 2 ,函数

f ( x) ? ( a ? b )(a ? b ), y ? f ( x) 的图象的相邻两对称轴之间的距离为 2,且过点.
(1)求 f ( x) 的表达式;

7 M (1, ) 2 .

). (2)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (2008
16 、 解 : ( 1 )

? sin 2 (?x ? ? ) ? 4 ? 1 ? cos2 (?x ? ? ) f ( x) ? ( a ? b )(a ? b ) ? a ? b ?| a |2 ? | b |2 ? ? cos(2?x ? 2? ) ? 3
? ? ? ? ?2 ?2 ? ?

由题意知,周期

T?

2? ? 7 ? ? 2 ? 2,? ? ? ? ? 3 ? cos( ? 1 ? 2? ), 2? 4 . 又图象过点 M , 2 2

sin 2? ?


1 ? ? ? ? ? ,? 0 ? ? ? , ? 2? ? , ? ? . ? f ( x) ? 3 ? cos( x ? ) 2 2 6 12 2 6

(2) y ? f ( x)的周期T ? 4 ,

f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? (3 又

3 1 3 1 ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? (3 - ) ? 12, 2 2 2 2

? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (2008 ) ? 502 [ f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3)] ? f (2008 ) ? 502? 12 ? f (0) ? 6027? 3 2

19. (16) 已知 f ( x) ? x | x ? a | ?2 . (1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? [0,1] 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

? 2 a 2 a2 x ? ax ? 2 ? ( x ? ) ? 2 ? ,x?a ? ? 2 4 f ( x) ? x | x ? a | ?2 ? ? 2 ?? x 2 ? ax ? 2 ? ?( x ? a ) 2 ? 2 ? a , x ? a. ? 2 4 ? 19、解: (1)
当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为

a a (?? , ) [ , a] ( a , ?? ) 2 和 ,单调递减区间为 2

(2)(i)当 x ? 0 时,显然 f ( x) ? 0 成立;

(ii)当 x ? (0,1] 时,由 f ( x) ? 0 ,可得

x?

2 2 ?a?x? x x,

g ( x) ? x ?


2 2 ( x ? (0,1]), h( x) ? x ? ( x ? (0,1]) [ g ( x)]max ? a ? [h( x)]min . x x ,则有

由 g ( x) 单调递增,可知

[ g ( x)]miax ? g (1) ? ?1.

h( x) ? x ?


2 2 ?( ? x ) 2 ? 2( x ? (0,1]) x x 是单调减函数,

故 [h( x)]min ? h(1) ? 3 ,故所求 a 的取值范围是 (?1,3) . 江苏省常州市 2011 届高三复习迎考试卷数学试题Ⅰ 5.函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x)( x ? R) 的最小正周期是 ▲ 二、解答题 20. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 .π

g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x2 ? 2x ? 1

,且

g ?1? ? ?1

.令

f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) 2 8 .

? ?

(1)求 g(x)的表达式; (2)若 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x ,证明: 对 ?x1,x2 ?[1,m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1. 【解】 (1)设

g ? x ? ? ax2 ? bx ? c

,于是

?a ? 1, ? 2 ? 2 2 ? g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2, c ? ? 1. 所以 ?



g ?1? ? ?1

,则

f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 ? 1 x2 ? m ln x(m ? R,x ? 0). 2 8 2 (2) 当 m>0 时,由对数函数性质,f(x)的值域为 R;

? ?

b??1 g ? x ? ? 1 x2 ? 1 x ? 1 2 .所以 2 2 .

……………………4 分

当 m=0 时,

f ( x) ?

x2 ?0 2 对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立;
m ? 0 ? x ? ?m x ,列表:
(0, ?m )
?m

……………………6 分

当 m<0 时,由

f ?( x) ? x ?

x
f ?( x) f ( x)

( ?m, ? ?)
+ 增

- 减

0 极小

这时, ? m ln ?m. ? f ( x)?min ? f ( ?m ) ? ? m 2

? m ?? ? m ln ?m ? 0, f ( x ) ? 0 ? ? ?e<m ? 0. ? ?min ? 2 ? ?m ? 0

……………………8 分

所以若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (?e,0] .
(??, ?e] 故 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,实数 m 的取值范围

? 0,? ? ? .……………… 10 分

(3)因为对 ?x ? [1,m] ,

H ?( x) ?

( x ? 1)( x ? m) ? 0, x 所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减.

1 1 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? H (1) ? H (m) ? m2 ? m ln m ? . 2 2 于是 1 1 1 3 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 ? m2 ? m ln m ? ? 1 ? m ? ln m ? ? 0. 2 2 2 2m ………………… 12 分 1 3 h(m) ? m ? ln m ? (1 ? m ? e) 2 2 m 记 ,

h' (m) ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 3 1 ? 1 ? 1 ? 0, 2 m 2m 2 m 3 3 则
1 3 h(m) ? m ? ln m ? 2 2m 在 ?1,e] 是单调增函数, 所以函数
h(m) ? h(e) ? e 3 ? e ? 3?? e ? 1? ?1? ? ?0 2 2e 2e ,故命题成立.

?

?

2

………………… 14 分

所以

………………… 16 分

江苏省常州市北郊中学 2011 届高三上学期统一练习(数学) 2.已知函数 f ?x ? ? x ? log2 x ? 3 ( x > 0 ) ,直线 l 与函数 f ?x ? 相切于点 A?1, m ? .则直线 l 的 方程为 . (写成直线方程一般式) x ? (ln 2) y ? 3 ln 2 ? 1 ? 0

11.设 f ( x) 是连续的偶函数, 且当 x ? 0 时是单调增函数, 则满足 和为 -8 二、解答题

f (2 x) ? f (

x ?1 ) x ? 4 的所有 x 之

f ( x) ?
20.已知函数

5 5 ? 5 , m 为正整数
x

(Ⅰ)求 f (1) ? f (0) 和 f ( x) ? f (1 ? x) 的值;

{a } (Ⅱ)若数列 n 的通项公式为

n an ? f ( ) {a } S m ( n ? 1,2,?, m ) ,求数列 n 的前 m 项和 m ;

(Ⅲ)设数列 (Ⅱ)中的 值

{bn } 满足:

b1 ?

1 1 1 1 Tn ? ? ??? 2 b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 ,若 2 , bn?1 ? bn ? bn ,设

S m 满足对任意不小于 3 的正整数 n , 4S m ? 777 Tn ? 5 恒成立,试求 m 的最大

20.解: (Ⅰ)

f (1) ? f (0) ?

5 5? 5

?

5 1 ? 5 =1;

5
f ( x) ? f (1 ? x) = 5 x ? 5

?

5

5

51? x ? 5 = 5 x ? 5

?

5 ? 5x 5 ? 5 ? 5 x =1;????3 分

k k f ( ) ? f (1 ? ) ? 1 (1 ? k ? m ? 1) m m (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,即

k m?k f( )? f( ) ? 1 , ? a k ? a m ? k ? 1, m m
由 得

Sm ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a m?1 ? a m , Sm ? a m?1 ? a m?2 ? a m?3 ? ? ? a1 ? a m , 2S m ? (m ? 1) ?1 ? 2am ,

?????① ????②

由①+②, 得



S m ? (m ? 1) ?
b1 ?

1 1 5? 5 ? f (1) ? (m ? 1) ? ? 2 2 4 ,?8 分

(Ⅲ) ∵

1 , 2 2 b n ?1 ? b n ? b n ? b n (b n ? 1) ,∴对任意的 n ? N*, bn ? 0 .

1


b n ?1

?

1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? b n (b n ? 1) b n b n ? 1 即 b n ? 1 b n b n ?1 .

Tn ? (


1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? ? 2? b1 b2 b2 b3 bn bn?1 b1 bn?1 bn?1 .
2

∵ b n ?1 ? b n ? b n ? 0, ? b n ?1 ? b n , ∴数列 {b n } 是单调递增数列.

T ? T3 . ∴ Tn 关于 n 递增. 当 n ? 3 , 且 n ? N ? 时, n
b1 ? 1 1 1 3 3 3 21 21 21 777 , b2 ? ( ? 1) ? , b3 ? ( ? 1) ? , b4 ? ( ? 1) ? 2 2 2 4 4 4 16 16 16 256



Tn ? T3 ? 2 ?


1 256 ? 2? . T3 ? 5, ∴ m ? 650 .5 .而 m 为正整数, b4 777 ∴ 4S m ? 777

∴ m 的最大值为 650. 江苏省常州市武进区横山桥高级中学 2011 届高三上学期期中考试(数学理) 7、若函数 f ( x) ? 4ln x ,点 P( x, y) 在曲线 y ? f '( x) 上运动,作 PM ? x 轴,垂足为 M , 则△ POM ( O 为坐标原点)的周长的最小值为___▲___ .
3 2 8、已知 f ( x) ? x ? x f '(1) ? 3xf '(?1) ,则 f '(1) ? f '(?1) 的值为___▲___.

11、已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数

f ( x) ?

1 3 1 x ? | a | x 2 ? a ? bx 3 2 在 R 上有极值,

则 a 与 b 的夹角范围为___▲___.

ax f ( x) ? (a ? 0 1? ax 12 、设函数 ,且 a ? 1) , [ m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,则函数
1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f ( ? x) ? ] 2 2 的值域是___▲___ .
13、如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动.设顶点 P( x, y) 的纵坐标 与横坐标的函数关系式是 y ? f ( x) , 记 f ( x ) 的最小正周期为 T ;y ? f ( x) 在 其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积记为 S ,则 S ? T ? ___ ▲

___. 二、解答题 18、 (本题满分 16 分)

f ( x) ?
函数

1 2 9 x ? ( a ? b) x 2 ? 1 ? 2 2 2 , g ( x) ? ax ? b ( a、b、x ? R ), 1 2 9 x ? 3 x 2 ? 1 ? ? 0} 2 2 ,

A ? {x |
集合

(1)求集合 A ; (2)如果 b ? 0 ,对任意 x ? A 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; (3)如果 b ? 0 ,当“ f ( x) ? 0 对任意 x ? A 恒成立”与“ g ( x) ? 0 在 x ? A 内必有解”

同时成立时,求 a 的最大值.
2 2 18、解: (1)令 x ? 1 ? t ? 1 ,则 x ? t ? 1 ??????????1 分

2

1 2 9 (t ? 1) ? 3t ? ? 0 2 f ( x) ? 0 即 2 2 即 t ? 6t ? 8 ? 0 , (t ? 2)(t ? 4) ? 0
2 ? 2 ? t ? 4 ,?3 分,所以 2 ? x ?1 ? 4 ,所以 x ?[? 15, ? 3] [ 3, 15] ,

即 A ? [? 15, ? 3] [ 3, 15] ????????????5 分 (2) f ( x) ? 0 恒成立也就是

f ( x) ?

1 2 9 x ? a x2 ? 1 ? ? 0 2 2 恒成立,

1 2 9 1 9 x ? ? a x2 ? 1 a x2 ? 1 ? x2 ? 2 2 2 2, ,即

①+②可得

a?

2 2

2 3 2 b? 2 . 所以 a 的最大值为 2 ,此时
19、 (本题满分 16 分)

?????????16 分

f ( x) ? ln x ?
函数

a( x ? 1) ( x ? 0, a ? R) x .

(1)试求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,求证:函数 f ( x ) 的图像存在唯一零点的充要条件是 a ? 1 ;

1 1 1 ? ? (3)求证:不等式 ln x x ? 1 2 对于 x ? (1, 2) 恒成立. f / ( x) ? 1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) x x2 x .????????????????? 2 分
/

19 解: (1)

当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,在 (0, ??) 上单调递增;??????????????3 分 当 a ? 0 时, x ? (0, a) 时, f ( x) ? 0 ,在上单调递减;
/

x ? (a, ??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (a, ??) 上单调递增.?????????????5 分
综上所述,当 a ? 0 时,的单调递增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) .?? 6 分 (2)充分性: a ? 1 时,由(1)知,在 x ? 1 处有极小值也是最小值, 即

f min ( x) ? f (1) ? 0 。而在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,

在 (0, ??) 上由唯一的一个零点 x ? 1 .????????????????????9 分 必要性: f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一解,且 a ? 0 , 由(1)知,在 x ? a 处有极小值也是最小值 f ( a ) , f (a) ? 0 ,即 ln a ? a ? 1 ? 0 .

1 1 1 ? ? (1 ? x ? 2) ( x ? 1) ln x ? 2( x ?1) ? 0 .∴ ln x x ? 1 2 ∴ .???????? 16 分
20、 (本题满分 16 分)

1 1 [k ? , k ? ]( k ? z ) 2 2 对任意 x ? R ,给定区间 ,设函数 f ( x) 表示实数 x 与 x 的给定区间内
整数之差的绝对值

1 1 1 1 x ? [? , ] x ? [k ? , k ? ](k ? z ) 2 2 时,求出 f ( x) 的解析式;当 2 2 (1)当 时,
写出用绝对值符号表示的 f ( x) 的解析式;

4 4 f ( ), f ( ? ) 3 的值,判断函数 f ( x)( x ? R) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)求 3
1 ? 2

(3)当 e

? a ? 1 时,求方程 f ( x) ? loga x ? 0 的实根. (要求说明理由

e

?

1 2

?

1 2)

1 1 x ? [? , ] 2 2 时, 20 解: (1)当 1 1 x ? [ ? , ]. 2 2 由定义知: x 与 0 距离最近, f ( x) ?| x | ,

1 1 x ? [k ? , k ? ]( k ? Z ) 2 2 当 时,

由定义知: k为与x 最近的一个整数,故

1 1 f ( x) ?| x ? k |, x ? [k ? , k ? ](k ? Z ) 2 2 。??????????3 分

? 4? 1 f ? ?? , (2) ? 3 ? 3

? 4? 1 f ?? ? ? ? 3 ? 3 ??????????4 分

判断 f ( x ) 是偶函数??????????5 分 对任何 x ?R,函数 f ( x) 都存在,且存在 k ? Z,满足
k? 1 1 1 1 1 1 ? x ? k ? , f ( x) ?| x ? k | .由k ? ? x ? k ? 可以得出 ? k ? ? ? x ? ?k ? (k ? 2 2 2 2 2 2 Z)

1 1 ? x ? [?k ? ,?k ? ]( ?k ? 2 2 即 Z) .??????????7 分
由(Ⅰ)的结论,

f (?x) ? ?x ? (?k ) ?| k ? x |?| x ? k |? f ( x),

??????????9 分

即 f ( x) 是偶函数.

1 ? x ? 1时, H ( x ) 2 所以当 为减函数, H ( x) ? H (1) ? 0, 1 ? x ?1 所以方程没有 2 的实根;????????14 分

1 1 1 0 ? x ? 时, 方程 | x ? k | ? log a x ? 0变为 x ? log a x ? 0 2 2 2 ④当
G ( x) ?


1 1 log a x ? x(0 ? x ? ), 明显 G ( x) 2 2 为减函数,

1 1 G ( x) ? G ( ) ? H ( ) ? 0 2 2 ,

0? x?
所以方程没有
? 1 2

1 2 的实根.????????15 分

e 综上可知,若

? a ? 1, 方程f ( x) ? log a x ? 0 有且仅有一个实根,实根为 1.?16 分

江苏省常州市武进区横山桥高级中学 2011 届高三上学期期中考试(数学文) 8、若函数 f ( x) ? 4ln x ,点 P( x, y) 在曲线 y ? f '( x) 上运动,作 PM ? x 轴,垂足为 M , 则△ POM ( O 为坐标原点)的周长的最小值为___▲___. 11、已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数

f ( x) ?

1 3 1 x ? | a | x 2 ? a ? bx 3 2 在 R 上有极值,

则 a 与 b 的夹角范围为___▲___.

13、如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动.设顶点 P( x, y) 的纵坐标与横坐标的函数 关系式是 y ? f ( x) , 则 f ( x ) 的最小正周期为 T ;y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴

所围区域的面积为 S ,则 S ? T =___▲___. 江苏省成化高中 2011 届高三(上)期末模拟试卷〈三〉 (必做题部分) 10.已知函数 f ( x) 定义在正整数集上,且对于任意的正整数 x ,都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1)

? f ( x) ,且 f (1) ? 2, f (3) ? 6 ,则 f (2009) ?

.4018

cos x x 14. 已知函数① f ( x) ? 3 ln x ;② f ( x) ? 3e ;③ f ( x) ? 3e ;④ f ( x) ? 3 cos x .其中对于

f ( x) 定义域内的任意一个自变量 x1 都存在唯一个自变量 x2 , 使 f ( x1 ) f ( x2 ) =3 成立的函数
是序号是___ ③ 18.(本题满分 16 分)某公司欲建连成片的网球场数座,用 128 万元购买土地 10000 平方米,该球场 每座的建筑面积为 1000 平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关,

n?m 当该球场建 n 个时,每平方米的平均建筑费用用 f(n)表示,且 f(n)=f(m )(1+ 20 )(其中 n>m,n∈N),
又知建五座球场时,每平方米的平均建筑费用为 400 元,为了使该球场每平方米的综合费用最 省(综合费用是建筑费用与购地费用之和),公司应建几个球场?

128?104 1280 18.解:设建成 x 个球场,则每平方米的购地费用为 1000x = x
x?5 x?5 由题意知 f(5)=400, f(x)=f(5)(1+ 20 )=400(1+ 20 ) 64 1280 从而每平方米的综合费用为 y=f(x)+ x =20(x+ x )+300≥20.2 64 +300=620(元) ,当且仅
当 x=8 时等号成立 故当建成 8 座球场时,每平方米的综合费用最省. 19.(本题满分 16 分).已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x (ax ? 3) ,其中 a 为常数.
2

(1)若 x=1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围;

? (3)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x), x ? [0,2] ,在 x=0 处取得最大值,求正数 a 的取值范围.

? 19. 解: (I) f ( x) ? ax ? 3x , f ( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2).
3 2 2

? x ? 1是f ( x) 的一个极值点,? f ?(1) ? 0,? a ? 2 ;
(II)①当 a=0 时, f ( x) ? ?3x 在区间(-1,0)上是增函数,? a ? 0 符合题意;
2

2 2 a ? 0时, f ?( x) ? 3ax ( x ? ), 令f ?( x) ? 0得 : x1 ? 0, x 2 ? a a; ②当

? 当 a>0 时,对任意 x ? (?1,0), f ( x) ? 0,? a ? 0 符合题意;
2 2 x ? ( ,0)时f ?( x) ? 0,? ? ?1,? ?2 ? a ? 0 a a 当 a<0 时,当 符合题意;
综上所述, a ? ?2.

(III) a ? 0, g ( x) ? ax ? (3a ? 3) x ? 6x, x ? [0,2].
3 2

g ?( x) ? 3ax2 ? 2(3a ? 3) x ? 6 ? 3[ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2], ? 令 g ( x) ? 0,即ax ? 2(a ? 1) x ? 2 ? 0(*),显然有? ? 4a ? 4 ? 0.
2 2

设方程(*)的两个根为 x1 , x2 ,由(*)式得

x1 x 2 ? ?

2 ?0 a ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 .

当 0 ? x2 ? 2 时, g ( x2 ) 为极小值,所以 g ( x) 在[0,2]上的最大值只能为 g (0) 或 g (2) ; 当 x2 ? 2 时,由于 g ( x) 在[0,2]上是单调递减函数,所以最大值为 g (0) ,所以在[0,2] 上的最大值只能为 g (0) 或 g (2) , 又已知 g ( x) 在 x=0 处取得最大值,所以 g (0) ? g (2),

0 ? 20 a ? 24, 解得 a ?


6 6 , 又因为 a ? 0, 所以 a ? (0, ]. 5 5

x ? ? a1 , b1 ? a, b 20 . ( 本题满分 16 分 ) 已知函数 f ( x) ? kx ? m ,当 时 , f ( x) 的值域为 ? 2 2 ? ,当
x ? [a2 , b2 ] 时, f ( x) 的值域为 [a3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ??an?1 , bn?1 ? 时, f ( x) 的值域为

? an ,

bn ?

a , b ,其中 k、m 为常数,且 a1 ? 0, b1 ? 1 .(1)若 k=1,求数列 ? n ? ? n ? 的通项公式;

b (2)若 k ? 0 且 k ? 1 ,问是否存在常数 m,使数列 ? n ? 是公比不为 1 的等比数列?请说明理由;(3)

k?0

, 设 数 列
?T ?2

?an ?, ?bn ?
? S1 ? ?.
2

的 前
S ?

n
2 0

项 和 分 别 为
0 8

Sn , Tn

, 求

?T1 ?

T2 ?

?0

0

? 8S

20.解(1)因为 f ( x) ? x ? m ,当 x ?[an?1 , bn?1 ] 时, f ( x) 为单调增函数, 所以其值域为 [an?1 ? m, bn ?1 ? m] ,
* 于是 an ? an?1 ? m, bn ? bn?1 ? m(n ? N , n ? 2) .

又 a1=0, b1=1, 所以 an ? (n ? 1)m , bn ? 1 ? (n ? 1)m . (2)因为 f ( x) ? kx ? m(k ? 0) ,当 x ?[an?1 , bn?1 ] 时, f ( x) 为单调增函数,
* 所以 f ( x) 的值域为 [kan?1 ? m, kbn?1 ? m] ,所以 bn ? kbn?1 ? m(n ? N , n ? 2) .

bn ?k? m b bn ?1 必须为与 n 无关的常数. n ? 1 要使数列{bn}为等比数列,
又 b1 ? 1, k ? 0, k ? 1 ,

b 故当且仅当 m ? 0 时,数列 ? n ? 是公比不为 1 的等比数列.
(本题考生若先确定 m=0,再证此时数列

?bn ? 是公比不为 1 的等比数列,给全分)

(3)因为 k ? 0 ,当 x ?[an?1 , bn?1 ] 时, f ( x) 为单调减函数, 所以 f ( x) 的值域为 [kbn?1 ? m, kan?1 ? m] ,
* 于是 an ? kbn?1 ? m, bn ? kan?1 ? m(n ? N , n ? 2) . 2 所以 bn ? an ? ?k (bn?1 ? an?1 ) ? (?k ) (bn?2 ? an?2 ) ?

? (?k )n?1 (b1 ? a1 ) ? (?k )n?1 .

?i, i i ? Ti ? Si ? ? (b j ? a j ) ? ? (?k ) j ?1 ? ?1 ? (? k )i , j ?1 j ?1 ? ? 1? k

k ? ?1, k ? 0, k ? ?1.

?T1 ? T2 ?

? T2008 ? ? ? S1 ? S2 ?

? S2008 ?
k ? ?1, k ? 0, k ? ?1.

?2017036, ? ? ? 2008 ? 2009k ? k 2009 , ? ? (Ti ? Si ) ? ?? (b j ? a j ) ? (1 ? k ) 2 i ?1 i ?1 j ?1 ?
2008 2008 i

江阴成化高中 11 届高三一调模拟试卷四 13.给定

an ? log( n?1) (n ? 2)

(n∈ N*) ,定义乘积 a1 ? a2 ? ▲ .

? ak 为整数的 k(k∈ N*)叫做“理想数” ,

则区间[1,2008]内的所有理想数的和为 答案:2026.
log a N ? log b N log b a

a1a2

ak ?

讲评建议:换底公式:
2 3 4 分别可取 2 ? 2, 2 ? 2, 2 ? 2,



lg(k ? 2) lg 2

为整数, k ? 2 ? 2 ,m∈ N*.k
m

m , 最大值 2 ? 2 ≤2008, m 最大可取 10, 故和为 22+23+?+210-18=2026.

18、 (本小题满分 15 分)
2 ? 已知函数 f ( x ) 的导数 f ( x) ? 3x ? 3ax, f (0) ? b. a , b 为实数, 1 ? a ? 2 .

(Ⅰ)若 f ( x ) 在区间 [?1, 1] 上的最小值、最大值分别为 ?2 、1,求 a 、 b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P(2, 1) 且与曲线 f ( x ) 相切的直线 l 的方程;

? (Ⅲ)设函数 F ( x) ? ( f ( x) ? 6 x ? 1) ? e ,试判断函数 F ( x) 的极值点个数.
2x

3 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b 2 答案:解(Ⅰ)由已知得,

x ? 0 , x2 ? a .∵ x ? [?1, 1] ,1 ? a ? 2 , ? 由 f ( x) ? 0 ,得 1
? ∴ 当 x ?[?1, 0) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 递增; ? 当 x ? (0, 1] 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 递减.
∴ f ( x ) 在区间 [?1, 1] 上的最大值为 f (0) ? b ,∴ b ? 1 .???????????2 分

3 3 3 3 f (1) ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? a f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a 2 2 , 2 2 ,∴ f (?1) ? f (1) . 又 3 4 ? a ? ?2 a? 3. ,即 2 ,得 a?


4 3 , b ? 1 为所求.

????????????4 分

3 2 2 ? (Ⅱ)解:由(1)得 f ( x) ? x ? 2x ? 1 , f ( x) ? 3x ? 4x ,点 P(2, 1) 在曲线 f ( x ) 上.

k ? f ?( x) |x?2 ? 4 , ⑴ 当切点为 P(2, 1) 时,切线 l 的斜率
∴ l 的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0 . ????????????5 分

Q( x0 , y0 ) ( x0 ? 2 ), 切 线 l 的 斜 率 ⑵ 当 切 点 P 不 是 切 点 时 , 设 切 点 为
2 k ? f ?( x) |x?x0 ? 3x0 ? 4x0


2

y ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )( x ? x0 ) . ∴ l 的方程为 1 ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 又点 P(2, 1) 在 l 上,∴
2

∴ ∴ ∴

3 2 2 1 ? ( x0 ? 2x0 ? 1) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 2 2 x0 (2 ? x0 ) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 2 2 x0 ? 3x0 ? 4x0 ,即 2x0 ( x0 ? 2) ? 0 ,∴ x0 ? 0 . ∴ 切线 l 的方程为 y ? 1 .?8 分

故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 .

????????????9 分

( 或者:由(1)知点 A(0,1)为极大值点,所以曲线 f ( x ) 的点 A 处的切线为 y ? 1 ,恰好经 过点 P(2, 1) ,符合题意. ) (Ⅲ)解: ∴
2 2x F ( x) ? (3x 2 ? 3ax ? 6 x ? 1) ? e 2 x ? ? ?3x ? 3(a ? 2) x ? 1? ??e .

2 2x F ?( x) ? ? 6 x ? 3(a ? 2) ? ? e 2 x ? 2 ? ?3x ? 3(a ? 2) x ? 1? ??e

? [6 x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a] ? e2 x .
2

????????????11 分

二次函数 y ? 6 x ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a 的判别式为
2 ? ? 36(a ? 3) 2 ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a 2 ? 12a ? 11) ? 12 ? ?3(a ? 2) ? 1? ?



1 3 3 (a ? 2)2 ? , 2 ? ? a ? 2? . 3 3 3 令 ? ? 0 ,得: a ? 2? 3 3 , 或a ? 2 ? . 3 3

令 ? ? 0 ,得 ∵e
2x

????????????13 分

? 0 ,1 ? a ? 2 ,

2-
∴当

3 ?a?2 ? 3 时, F ( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为单调递增,极值点个数为 0;?14 分 3 3 时,此时方程 F ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义,可知
????????????16 分

1? a ? 2?


函数 F ( x) 有两个极值点.

江阴成化高中 2011 届高三第一次调研模拟试卷一 7.已知函数

y ? loga (3 ? ax) 在 [0, 2) 上 是 关 于 x 的 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围



3 (1, ] . 2

16.某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年 的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用

y (万元) ;

(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设 备?

16.解: (1)

y?

100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x

y ? x?


100 ? 1. 5 x ( x ? 0) ;-----------------------------------7 分
*

(不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N 也行) (2)由均值不等式得:

y ? x?

100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 x x (万元)--------------11 分
x? 100 x ,即 x ? 10 时取到等号.----------------------13 分

当且仅当

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备. ----------14 分

20.已知函数 别为 M、N.

f ( x) ? x ?

t (t ? 0), 过点 P(1,0)作曲线 y ? f ( x) x 的两条切线 PM、PN,切点分

(1)当 t ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)设|MN|= g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式

( 3 )在( 2 )的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间

[ 2, n ?

64 ] n 内,总存在 m + 1 个数

a1 , a2 ,?, am , am?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的最
大值.

2 t ? 2时, f ( x) ? x ? , x 20. 解: (I)当

f ?( x) ? 1 ?

2 x2 ? 2 ? ?0 x2 x2

1分

解得x ? 2, 或x ? ? 2 .则函数 f ( x) 有单调递增区间为 (??,? 2 ), ( 2,??) 4 分
(II)设 M、N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t t t ,? 切线PM的方程为: y ? ( x1 ? ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ). 2 x1 x x1 t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ). x1 x1

又 ? 切线PM过点P (1,0),? 有0 ? ( x1 ? 即x12 ? 2tx1 ? t ? 0. (1)
2

同理,由切线 PN 也过点(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0. (2)

6分

由(1) 、 (2) ,可得 x1 , x2是方程x ? 2tx ? t ? 0 的两根,
2

? x1 ? x 2 ? ?2t ?? ? x1 ? x 2 ? ?t.

(*)
8分

| MN |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?

t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2

t 2 ) ] x1 x2

把(*)式代入,得 | MN |?

20t 2 ? 20t , 20t 2 ? 20t (t ? 0)
10 分

g (t ) ? 因此,函数 g (t )的表达式为
g (t )在区间[2, n ?

(III)易知

64 ] n 上为增函数,

? g (2) ? g (ai )(i ? 1, 2, g (a1 ) ? g (a2 ) ?

, m ? 1). ? g (am ).

则m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ?

? g (am ) ? g (am?1 )对一切正整数n成立,
64 )对一切的正整数 n恒成立 n

? 不等式 m ? g (2) ? g (n ?

13 分

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?
即m ? ?n ? ?m ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )]对一切的正整数 n恒成立 6 n n 1 2 136 [16 ? 16] ? . 6 3

64 1 64 64 ? 16,? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? n 6 n n 136 . 3

由于 m 为正整数,? m ? 6 . 又当

15 分

m ? 6时, 存在a1 ? a2 ? ? ? am ? 2, am?1 ? 16, 对所有的n满足条件 .

因此,m 的最大值为 6. 江苏省成化高中 2011 届高三(上)期末模拟试卷〈二〉 2.函数 y ? 2 ? x ? log3 (1 ? x) 的定义域为 .

? ?1, 2?

4. 设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 , a 为常数.若存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围



1 (??, ?1) ? ( , ??) 2 .

18.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销 售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如 果产品的销售价提高的百分率为 x

? 0 ? x ? 1? ,那么月平均销售量减少的百分率为 x2 .记改进
y (元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式;

工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是

(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 18、 (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 均 利 润

20 ?1 ? x ?

,月平均销售量为

a ?1 ? x 2 ?

件,则月平

y ? a ?1 ? x 2 ? ? ? ? 20 ?1 ? x ? ? 15? ?

( 元 ), ∴

y 与 x 的 函 数 关 系 式 为

y ? 5a ?1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 ?

? 0 ? x ? 1?


(2)由

y ? ? 5a ? 4 ? 2 x ? 12 x 2 ? ? 0

x1 ?

1 2 x?? 2, 3 (舍)

0? x?


1 1 ? x ?1 y ? 5a ?1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 ? ? ? y ? 0 2 时 y ? 0; 2 时 ,∴ 函数

? 0 ? x ? 1? 在 x ? 2 取得最大值.故改进工艺后,产品的销售价为
游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
bx ? 1

1

? 1? 20 ?1 ? ? ? 2 ? ? 30 元时,旅

2 g ( x) ? 2 a x ? 2b , 19.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1和函数 (1)若 f ( x) 为偶函数,试判断

g ( x) 的奇偶性; (5 分) (2 )若方程 g ( x) ? x 有两个不等的实根 x1, x2 x1 ? x2 ,则①证明函

?

?

x , x ?x ? x4 ?, 数 f ( x) 在(-1,1)上是单调函数; (6 分)②若方程 f ( x) ? 0 的有两实根为 3 4 3
求使

x3 ? x1 ? x2 ? x4 成立的 a 的取值范围.(5 分)

bx ? 0 ,∴ b?0 19.解: (1)∵f ( x) 为偶函数,∴f (? x) ? f ( x) ,∴

g ( x) ? ?


1 a 2 x ,∴ 函数 g ( x) 为奇函数; g ( x) ? bx ? 1 ?x 2 2 a 2 x ? 2b 得方程 a x ? bx ? 1 ? 0(*)有不等实根

(2)①由

b ? 1 ? b ? ?1或 ? b ? 1 ? b ? 4a ? 0 及 a ? 0 得 2 a 2a ∴ △ 即 2a
2 2

又 f ( x) 的对称轴

x??

b ? ?? 1,1? 2a

故 f ( x) 在(-1,1)上是单调函数

a x1 ? bx1 ? 1 ? 0 ② x1 , x2 是方程(*)的根,∴
2

2

bx1 ? ?a x1 ? 1,同理 bx2 ? ?a x2 ? 1 ∴
2 2

2

2

∴f ( x1 ) ?

ax12 ? bx1 ? 1 ? ax12 ? a2 x12 ? (a ? a2 ) x12
2

2 同理 f ( x2 ) ? (a ? a ) x2

要使

x3 ? x1 ? x2 ? x4 ,只需

?a ? 0 ? ? f ( x1 ) ? 0 ? f (x ) ? 0 2 ?



?a ? 0 ? 2 ?a ? a ? 0

a ?1 ,∴

?a ? 0 ? ? f ( x1 ) ? 0 ?a ? 0 ? f ( x ) ? 0 ?a ? a 2 ? 0 2 或? 即? ,解集为 ?
故 a 的取值范围 a ? 1 江苏省诚贤中学 2011 届高三数学试题 7.已知函数 f ( x) 是偶函数,且它在 ?0,??? 上是减函数,若 f (lg x) ? f (1) ,则 x 的取值 围是 ▲ .

? ? ?sin( ? x), x ? 0 2 ? ? ? lg( ? x ? 4 ), x ? 0 f ( x ? 2 ) f 10.若函数 =? ,则 ( 3 +2) ? f ( ? 102 ) ?



.1

19. (本小题满分 16 分) 某工厂为了提高经济效益,决定花 5600 千元引进新技术,同时适当进行裁员.已知这家公司 现有职工 m 人,每人每年可创利 100 千元.据测算,若裁员人数不超过现有人数的 20%,则每 裁员 1 人,留岗员工每人每年就能多创利 1 千元;若裁员人数超过现有人数的 20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就能多创利 2 千元.为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于 现有员工人数的 75%.为保障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工每人每年 20 千元的生活 费. (1)若 m=400 时,要使公司利润至少增加 10%,那么公司裁员人数应在什么范围内? (2)若 m ? 20k , 且 15< k <50,为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?

19、解: 设该公司应裁员 x 人, x ? N ,所获得利润为 y . (1)m=400 时,若 0 ? x ? 80 公司所获利润 y= (400 ? x)(100 ? x) ? 20 x ? 5600 要使公司利润至少增加 10%那么

?

(400 ? x)(100 ? x) ? 20 x ? 5600 ≥400×100×(1+10%) x2 ? 280 x ? 9600 ? 0


0 ? x ? 8 0 所以 40 ? x ? 80 .

若 80 ? x ? 100 公司所获利润 y= (400 ? x)(100 ? 2 x) ? 20 x ? 5600 要使公司利润至少增加 10%那么

(400 ? x)(100 ? 2 x) ? 20 x ? 5600 ≥400×100×(1+10%) x2 ? 340 x ? 4800 ? 0 它在 80 ? x ? 100 时成立
所以 40 ? x ? 100 时公司利润至少增加 10%. (2)设公司裁员 x 人,所获得利润为

y 千元.则

? (100 ? x)(20k ? x) ? 20 x ? 5600, y?? ?(100 ? 2 x)(20k ? x) ? 20 x ? 5600,

0 ? x ? 4k , 4k ? x ? 5k ,

? ? x 2 ? (20k ? 120) x ? 2000k ? 5600, 0 ? x ? 4k , ?? 2 ??2 x ? (40k ? 120) x ? 2000k ? 5600, 4k ? x ? 5k , ? ?( x ? (10k ? 60))2 ? 2000k ? 5600 ? (10k ? 60)2 , 0 ? x ? 4k , ?? 2 2 ??2( x ? (10k ? 30)) ? 2000k ? 5600 ? 2(10k ? 30) , 4k ? x ? 5k ,


f1 ( x) ? ?( x ? (10k ? 60))2 ? 2000k ? 5600 ? (10k ? 60)2 , 0 ? x ? 4k ,
f1 ( x) 取最大值为:

因为 10k ? 60 ? 150 ? 60 ? 90 ? 4k. 所以当 x ? 4k 时,函数

f1 ( x)max ? 64k 2 ? 80k ? 5600.


f2 ( x) ? ?2( x ? (10k ? 30))2 ? 2000k ? 5600 ? 2(10k ? 30)2 , 4k ? x ? 5k ,
f 2 ( x) 取最大值为:

因为 10k ? 30 ? 150 ? 30 ? 120 ? 5k . 所以当 x ? 5k 时,函数

f1 ( x)max ? 150k 2 ? 50k ? 5600. f2 ( x) ? f1 ( x) ? 86k 2 ? 30k ? 0 .

所以当 x ? 5k 时公司可获得最大利润. 20. (本小题满分 16 分)

??e,0? ? ? 0, e? 上的奇函数,当 x ? ? 0, e? 时, f ( x) ? ax ? ln x (其中 e 已知函数 f ( x ) 是定义在
是自然界对数的底, a ? R ) (1)求 f ( x ) 的解析式;

g ( x) ?
(2)设

ln x x

, x ? ? ?e,0?

,求证:当 a ? ?1 时,

f ( x) ? g ( x) ?

1 2;

(3)是否存在实数 a,使得当

x ?? ?e,0?

时, f ( x ) 的最小值是 3 ?如果存在,求出实数 a 的

值;如果不存在,请说明理由。 20、 (1)设 x ? [?e, 0) ,则 ? x ? (0, e] ,所以 f (? x) ? ?ax ? ln(? x) 又因为 f ( x ) 是定义在 [?e,0)

(0, e] 上的奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ax ? ln(? x)

?ax ? ln(? x), x ?[?e,0) f ( x) ? ? ?ax ? ln x, x ? (0, e] 故函数 f ( x ) 的解析式为
) a ? ?1 时 , ( 2 ) 证 明 : 当 x ? [?e , 0 且
h( x ) ? l n? (x ) 1 ? ?x 2

…………………4 分

l n? (x ) f ( x)? ? x ? l n ( ?x )g , x (? ) ?x , 设

f ?( x) ? ?1 ?
因为

1 x ?1 ?? x x ,所以当 ?e ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减;当

?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增,所以 f ( x)min ? f (?1) ? 1 ? 0

h?( x) ?
又因为

ln(? x ) ? 1 ? x2 ,所以当 ?e ? x ? 0 时, h ( x ) ? 0 ,此时 h( x) 单调递减,所以

1 1 1 1 h( x) max ? h(?e) ? ? ? ? ? 1 ? f ( x) min e 2 2 2
所以当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) ? h( x), 即

f ( x) ? g ( x) ?

1 2

……………………8 分

( 3 )解:假设存在实数 a ,使得当 x ? [?e , 0) 时, f ( x) ? ax ? ln(? x )有最小值是 3 ,则

f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

( ⅰ ) 当 a ? 0 , x ? [?e, 0) 时 ,

f ?( x ) ? ?

1 ? 0 x . f ( x ) 在 区 间 [?e, 0) 上 单 调 递 增 ,

f ( x)min ? f (?e) ? ?1,不满足最小值是3
? ( ⅱ ) 当 a ? 0 , x ? [?e, 0) 时 , f ( x )? 0, f ( x ) 在 区 间 [?e , 0 ) 上单调递增,

f ( x)min ? f (?e) ? ?ae ?1 ? 0 ,也不满足最小值是3
1 1 ? ?a?0 f ?(x) ?a ? ? 0 x (ⅲ) 当 e ,由于 x ? [?e, 0) ,则 ,故函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是

[?e, 0) 上的增函数.

f ( x)min ? f (?e) ? ?ae ?1 ? 3 ,解得 所以
a??
(ⅳ)当

a??

4 1 ?? e e (舍去)

1 e 时,则

?e ? x ?


1 1 f ?( x) ? a ? ? 0 a 时, x ,此时函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是减函数;

1 1 ?x?0 f ?( x) ? a ? ? 0 x 当a 时, ,此时函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是增函数. 1 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln(? ) ? 3 2 a a 所以 ,解得 a ? ?e
2 综上可知,存在实数 a ? ?e ,使得当 x ? [?e, 0) 时, f ( x ) 有最小值3

…………16 分
1

东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(06) 2、幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (3, 3) ,则 f ( x ) 的解析式是 3、 lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) =
2
2 .x

.2

3 f ( x) ? (a ? ) x 2 p : 函数 2 是 R 上的减函数,命题 q : 函数 f ( x) ? x ? 4x ? 3 在 ? 0, a ? 9、设命题
的值域为

??1,3? .若“ p 且 q ”为假命题, p q “ 或 ”为真命题,求 a 的取值范围.
0?a? 3 3 5 ?1 ?a? 2 2 得2

9、解:由

f ( x) ? ( x ? 2)2 ?1 ,在 [0, a] 上的值域为 [?1,3] 得 2 ? a ? 4
p 且 q 为假, p 或 q 为真 得 p 、 q 中一真一假.

3 ?a?2 p q 若 真 假得, 2 5 ?a?4 若 p 假 q 真得, 2 . 3 5 ?a?2 ?a?4 综上, 2 或2 .
东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(07) 2、若等差数列

?an ? 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ?
2

13

? 25 ? 4, ? ? m,3? ? f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 4 4 ? ,则实数 m 的取值范围 ? 5、函数 的定义域为 ,值域为
3 [0, ] 2

是 6、已知

f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ?

? f (28 ) 的值等于__________2008

东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(08)

3.若

?ex x≤0 f(x)= ? ?lnx x > 0

1 1 f(f( )) 2 =____________ 2 ,则

5.如果奇函数 y=f(x) (x ? 0),当 x ? (0,+ ? )时,f(x)=x?1,则使 f(x?1)<0 的 x 的取值范围是_________ ( ∞,0)∪ (1,2) 6. 已知 f ( x) ? x | x ? a | ?2 x ? 3 , 若 f ( x ) 在 R 上为增函数, 则 a 的取值范围是___ ____ [?2, 2] 8.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈ [0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数 f(x)=kx+k+1(k∈ R

1 (? , 0) 且 k≠1)有 4 个零点,则 k 的取值范围是_____________ 3
东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(09) 4 2m?n log 2 ? m , log 3 ? n a a 2. 若 ,则 a = .3
a 3. 函数 y ? x
2

?2 a ?3

是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则整数 a 的取值为

1

4. 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 1对于 x ? R 恒成立,且 f ( x ) ? 0 ,

则 f (119) 的值是 ______

;1

f ( x) ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ) ? 2 3 cos 2 ( x ? ) ? 3 2 2 2 9. 已知 .
(Ⅰ )化简 f(x)的解析式; (Ⅱ )若 0≤θ≤π,求 θ,使函数 f(x)为偶函数; (Ⅲ )在(Ⅱ )成立的条件下,求满足 f ( x) ? 1, x ? [?? , ? ] 的 x 的集合. 9. (1)f(x)=
2 cos( 2 x ? ? ?

?

?

?

?
6

)

(或f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ?

?
3

))

;

(2)当

??

?
6 时,f(x)为偶函数

5 ? {x | x ? ? ? 或x ? ? } 6 6 (3) 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(10)

2.若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是

3

(-2,2)

? 2 x , ( x ? 4) f ( x) ? ? ? f ( x ? 1), ( x ? 4) ,那么 f (5) = 3.已知函数
6.已知函数 f(x)=mx+6 在闭区间 ?? 2,3? 上存在零点,则实数 m 的取值范围是 8. 设 函 数 是 . (-∞,-2]∪ [3,+∞)

8

f ( x)? x x? b x ? ,c ( ? x )R
.②

给出下列 4 个命题,所有正确命题的个数

① 当 b ? 0, c ? 0 时, f ( x) ? 0 只有一个实数根; ② 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是偶函数; ③ 函数 y ? f ( x) 的图像关于点 (0, c) 对称; ④ 当 b ? 0, c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有两个实数根。 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(01)
x 6.已知函数 f ( x) ? ax ? be 图象上在点 P(?1,2) 处的切线与直线 y ? ?3x 平行,则函数 f ( x)
x ?1 . y ? ?2.5x ? 0.5e

的解析式为_____

东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(03) 1、函数 y ? x ? 2 x 的定义域为 ?0,1,2,3? ,那么其值域为_____
2

.

?0, ?1,3?

(a ? R ) . 9、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax
(Ⅰ ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ ) 当 a >0 时,求函数 f ( x) 在 [1, 2] 上最小值.

解:(Ⅰ )

f ?( x) ?

1 1 ?a f ?( x) ? ? a x x ( x ? 0 ),① 当 a ≤ 0 时, >0,

故函数 f ( x ) 增函数,即函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??) .

② 当 a ? 0 时,令

f ?( x) ?

1 1 ?a ?0 x? x a, ,可得



0? x?

1 1 ? ax 1 ? ax 1 f ?( x) ? ?0 x? f ?( x) ? ?0 a 时, x x a 时, ;当 ,

1 1 (0, ] [ , ??) 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 a ,单调减区间是 a . 1 ?1 (Ⅱ )① 当a ,即 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间[1,2]上是减函数,
∴f ( x ) 的最小值是 f (2) ? ln 2 ? 2a .

1 1 ?2 a? 2 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数, ② 当a ,即
∴f ( x ) 的最小值是 f (1) ? ?a .

③ 当

1?

1 1 1 1 ?2 ? a ?1 [1, ] [ , 2] f ( x ) a ,即 2 时,函数 在 a 上是增函数,在 a 是减函数.

1 ? a ? ln 2 f (2) ? f (1) ? ln 2 ? a 又 ,∴ 当2 时,最小值是 f (1) ? ? a ;
当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 f (2) ? ln 2 ? 2a . 综上可知,当 0 ? a ? ln 2 时, 函数 f ( x) 的最小值是 f ( x)min ? a ;当 a ? ln 2 时,函数 f ( x) 的最 小值是 f ( x) min ? ln 2 . 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(04) 6 、已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数, f ?x ? 2? ? f ?x ? ? 1 对于 x ? R 恒成立,且

f ?x? ? 0, 则 f ?119? ?

.1 . x ? y ?1 ? 0

8、曲线 y ? x ln x 在点(1,0)处的切线方程为

3、已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为
3 2

1 . e

6 、若函数 f ( x) ? x ? 3a x ? 1 的图象与直线 y=3 只有一个公共点,则实数 a 的取值范 围 . (?1,1)

9、已知定义在正实数集上的函数

f ( x) ?

1 2 x ? 2ax 2 2 , g ( x) ? 3a ln x ? b ,其中 a ? 0 .设

两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (2)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) .

( x ,y ) 9 解: (Ⅰ )设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 0 0 处的切线相同.
∵ f ?( x) ? x ? 2a ,

g ?( x) ?

3a 2 x ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) .



?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? ?2 ? 2 3a 2 ? x0 ? 2a ? 3a , x0 ? 2a ? ? x0 x0 ?


得:

x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) .

b?
即有

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a 2 2 .

5 h(t ) ? t 2 ? 3t 2 ln t (t ? 0) ? 2 令 ,则 h (t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是
3 ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h (t ) ? 0 ; 3 ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 时, h (t ) ? 0 .
1 ? ? ? 1 ? 3 3 ? ∞? ? 0, e ? ?e , ? 为增函数,在 ? ? 为减函数, 故 h(t ) 在 ?

1

1

2 ? 1 ? 3 3 3 h?e ? ? e 2 h ( t ) (0 , ? ∞ ) 于是 在 的最大值为 ? ? .

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
(Ⅱ )设

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) 2 ,

? 则 F ( x)

? x ? 2a ?

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) x x .

? ∞) 为增函数, 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a,
? ∞) 上的最小值是 于是函数 F ( x) 在 (0,

F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 .

故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) . 江苏省东海高级中学 2011 届高三上学期期中考试试题(数学)

3、若

? ? {?1, 0, , 2}
1 .3

1 3

,则使函数 y ? x 的定义域为 R,且在(-∞,0)上单调递增的 ? 值

?





() 0 ? 0 , f() 1 ? 1 ( 1 ? x ) ? f ( 1 ? x ) 6、已知二次函数 f ( x ) 满足 f ,且 f ,若 f ( x) 在区间

?m, n? 上的值域是 ?m, n? ,则 m =

▲ ,n=

▲ . m=0,n=1

?(3 ? a) x ? 3, x ? 7 f ( x) ? ? x ? 6 x ? 7 ,数列 ?an ? 满足 an ? f (n), n ? N* ,且数列 ?an ? 是 ?a , 10、已知函数 递增数列,则实数 a 的取值范围是 ▲ . (2,3) ;
? 12 、 已知函数 f ( x) 的导数 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? a), 若 f ( x ) 在 x ? a 处取到极大值, 则 a 的取值
范围是 ▲ .

? ?1,0?

13、函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 2010) 的图象关于点(2010,0)对 称.若实数

x, y 满足不等式 f ( x2 ? 6 x) ? f ( y 2 ? 8 y ? 24) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围

是 ▲ . (16,36) 二、解答题 20、(16 分 )已知函数 f ( x) ? 2
| x ?m|

和函数 g ( x) ? x | x ? m | ?2m ? 8 .

(1)若 m ? 2 ,求函数 g ( x) 的单调区间;

|m| (2)若方程 f ( x) ? 2 在 x ?[?4, ??) 恒有唯一解,求实数 m 的取值范围;

(3)若对任意 x1 ? (??, 4] ,均存在 x2 ? [4, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范 围.
2 ? ? x ? 2 x ? 4 ( x ? 2) g ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2 x ? 4( x ? 2) , 20、 (1) m ? 2 时,

函数 g ( x) 的单调增区间为 (??,1), (2, ??) ,单调减区间为 (1, 2) .…………4 分
| x ? m| x ? m ? m x ?[?4, ??) (2)由 f ( x) ? 2 在 x ?[?4, ??) 恒有唯一解,得 在

恒有唯一解.当 x ? m ? ?m 时,得 x ? 0 ?[?4, ??) ; 当 x ? m ? m 时,得 x ? 2 m ,则 2 m ? 0 或 2m ? ?4 ,即 m ? ?2或m ? 0 . 综上, m 的取值范围是 m ? ?2或m ? 0 . …………10 分

(3)

? 2 x ? m ( x ? m) ? f ( x) ? ? m? x ? ? 2 ( x ? m)

,则 f ( x ) 的值域应是 g ( x) 的值域的子集.

m? 4 当 4 ? m ? 8 时, f ( x ) 在 (??, 4] 上单调减,故 f ( x) ? f (4) ? 2 ,

g ( x) 在 [4, m] 上单调减, [m, ??) 上单调增,故 g ( x) ? g (m) ? 2m ? 8 ,
所以 2
m?4

? 2m ? 8 ,解得 4 ? m ? 5或m ? 6 .

② 当 m ? 8 时, f ( x ) 在 (??, 4] 上单调减,故 f ( x) ? f (4) ? 2

m? 4

? m? ?4, 2 ? g ( x ) ? 单调增, , 在?

?m ? ? 2 , m? , ) ? ? 上 单 调 减 , [m ?? 上 单 调 增 , g (4) ? 4m ? 16 ? g (m) ? 2m ? 8 故
g ( x) ? g (m) ? 2m ? 8 ,所以 2m ? 4 ? 2m ? 8 ,解得 4 ? m ? 5或m ? 6 .

0 ? m ? 4 时, f ( x) 在 (??, m] 上单调减, [m, 4] 上单调增,故 f ( x) ? f (m) ? 1 . ③
7 g ( x) 在 [4, ??) 上单调增,故 g ( x) ? g (4) ? 8 ? 2m ,所以 8 ? 2m ? 1 ,即 2 ? m ? 4 .
④ m ? 0 时, f ( x) 在 ( ??, m] 上单调减, [ m, 4] 上单调增,故 f ( x) ? f (m) ? 1 .

g ( x) 在 [4, ??) 上单调增,故 g ( x) ? g (4) ? 8 ? 2m ,所以 8 ? 2m ? 1 ,即

m?

7 2. (舍去)

7 [ ,5] ? [6, ??) 综上, m 的取值范围是 2 .

…………16 分

江苏省东海高级中学 2011 届高三上学期周周练十(数学) 2.已知函数 y ? lg(4 ? x) 的定义域为 A ,集合 B ? {x | x ? a} ,若 P: “ x ? A ”是 Q: “ x? B” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围
3 2



.a ? 4 ▲ .2 .0

5. 奇函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx在x ? 1处有极值,则 3a ? b ? c 的值为 8. 函数 f ( x) ? x ? a x 在[1,4]上单调递增,则实数 a 的最大值为 ▲

2 13. 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3 , g ( x) ? ax ? 2a .若 ? x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时成

立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . (7,+∞) 17. (本题满分 14 分) 某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这 两种产品的有关数据如下表: (单位:万美元) 项 目 类 别 A 产品 B 产品 年固定成本 20 每件产品 成本 m 每件产品 销售价 10 每年最多可 生产的件数 200

40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料价格决定, 预计 m ? [6,8] .另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 万美元的特别关税.假设生产出来
2

的产品都能在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 函数关系并指明其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划. 17.解: (Ⅰ)设年销售量为 x 件,按利润的计算公式,有生产 A、B 两产品的年利润 别为:

y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间的

y1 , y2 分

y1 ? 10 ? x ? ? 20 ? mx ? ? ?10 ? m? x ? 20 y2 ? 18? x ? ? 40 ? 8x ? ? 0.05x2 ? ?0.05x2 ?10x ? 40
? y2 ? ?0.05 ? x ? 100 ? ? 460, 0 ? x ? 120, x ? N .
2

0 ? x ? 200

且 x ? N ………3 分

…… 6 分

(Ⅱ)? 6 ? m ? 8 ,?10 ? m ? 0 ,? y1 ? (10 ? m) x ? 20 为增函数,
又0 ? x ? 200, x ? N ? x ? 200 时, 生产 A 产品有最大利润为

?10 ? m? ? 200 ? 20 ? 1980 ? 200m

(万美元)……………………………………8 分



y2 ? ?0.05 ? x ? 100 ? ? 460, 0 ? x ? 120, x ? N . ? x ? 100
2

时,生产 B 产品 10 分

有最大利润为 460(万美元)

( y1 ) max ? ( y 2 ) max
作差比较: 分

6 ? m ? 7.6 ?? 0,    ? ? (1980? 200m) ? 460 ? 1520? 200m?? 0,   m ? 7.6 ?? 0,    7.6 ? m ? 8 ?

…12

所以:当 6 ? m ? 7.6 时,投资生产 A 产品 200 件可获得最大年利润; 当 m ? 7.6 时,生产 A 产品与生产 B 产品均可获得最大年利润; 当 7.6 ? m ? 8 时,投资生产 B 产品 100 件可获得最大年利润. 19. (本题满分 16 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? mx(m ? R), g ( x) ? ln x.

………14 分

(1)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x), 当 m ? 1 时,求函数 h( x) 的单调区间; (2)若对任意有意义的 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围; (3)求证:当 m ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 有两个不等的实根
2 19. 解:(1)当 m ? 1 时, h( x) ? x ? x ? ln x( x ? 0),

h' ( x) ? 2x ? 1 ?

1 2x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2x ? 1) ? ? ( x ? 0), x x x ……3 分

当 0 ? x ? 1时, h' ( x) ? 0, ? h ( x ) 的单调减区间为 (0,1); …………4 分 当 x ? 1 时, h' ( x) ? 0, ? h ( x ) 的单调减区间为 (1,??). …………5 分
?m ? x 2 ? ln x ln x ? x? x x …………6 分

(2) f ( x) ? g ( x) 等价于 x ? mx ? ln x ,其中 x ? 0,
2



t ( x) ? x ?

x 2 ? ln x ? 1 ln x , , t ' ( x) ? x2 x 得 …………7 分

当 0 ? x ? 1时, t ' ( x) ? 0, 当 x ? 1 时, t ' ( x) ? 0,
? m ? t ( x) min ? t (1) ? 1,? m ? 1

…………10 分

2 (3)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? mx ? ln x, ,其中 x ? 0.

? h' ( x ) ? 2 x ? m ?

1 2 x 2 ? mx ? 1 ? ? 0, 2 x x2 等价于 2 x ? mx ? 1 ? 0, 此方程有且只有一个正根为

x0 ?

m ? m2 ? 8 , 4 …………11 分

且当 x ? (0, x0 ) 时, h' ( x) ? 0, ? h ( x ) 在 (0, x0 ) 上单调递减; 当 x ? ( x0 ,??) 时, h' ( x) ? 0, ? h ( x ) 在 ( x0 ,??) 上单调递增;
2 ? 函数只有一个极值 h( x)min ? h( x0 ) ? x0 ? mx0 ? ln x0 . …………12 分

当 m ? 1 时,

x0 ?

m ? m2 ? 8 , 4 关于 m 在 (1,?? ) 递增,? x0 ? (1,??), ln x0 ? 0. …………13 分

? m ? 1,?(m2 ? 8) ? 9m2 ? 8(1 ? m2 ) ? 0, m2 ? 8 ? 3m
? x0 ? m ? m ? m2 ? 8 ?m? 4 m 2 ? 8 ? 3m ? 0, 4 …………14 分

h( x) min ? h( x0 ) ? x0 2 ? mx0 ? ln x0 ? x0 ( x0 ? m) ? ln x0 ? 0, ………15 分

当 m ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 有两个不等的实根。………16 分 江苏省东海高级中学 2011 届高三上学期自主探究试题 11(数学)
x 7. 在同一平面直角坐标系中, 已知函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? e 的图象关于直线 y ? x 对称,

则函数 y ? f ( x) 对应的曲线在点( e, f (e) )处的切线方程为

y?
★ .

1 x e

11. 已知函数

f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx 3 ( a, b ? R ) ,若 y ? f ( x) 在区间 ?? 1,2? 上是单调减函数, 3 ★ . 2

则 a ? b 的最小值为

时f ( x) ? 0 , 12.定义在 (0,??)的函数f ( x)满足f ( x) ? f ( y) ? f ( xy) ,且 x ? 1
若不等式

f ( x 2 ? y 2 ) ? f ( xy ) ? f (a )
★ . 0, 2

对任意 x, y ? (0,??) 恒成立,

则实数 a 的取值范围为

?

?

13.图为函数 f ( x) ? x (0 ? x ? 1) 的图象,其在点 M (t ,f (t )) 处的切线为 l,

l 与 y 轴和直线

y ?1

分别交于点 P、Q,点 N(0,1) ,

y

若△ PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个, 则 b 的取值范围为

?1 8 ? ? , ? ★ . ? 4 27 ?
P O

N M

Q

14.我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x ) 满足对该区间上的任意两 个数

x

x1 、 x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2) 2 2 总有不等式 成立,则称函数 f ( x ) 为该区间上的向上凸函数(简
称上凸).

?a ? 类比上述定义,对于数列 n ,如果对任意正整数 n ,总有不等式:
则称数列

an ? an ? 2 ? an ?1 2 成立,

?an ? 为向上凸数列(简称上凸数列).

现有数列

?an ? 满足如下两个条件:

(1)数列

?an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ;
*

(2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N ) ,都有 则数列

an ? bn ? 20
.

,其中

bn ? n2 ? 6n ?10 .

?an ? 中的第五项 a5 的取值范围为
f ( x) ? x x ? a ? 2x




?13, 25?

20. (16 分)已知函数

(1)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求所有的实数 a ,使得对任意 x ?[1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图象的 下方; (3)若存在 a ?[?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 有三个不相等的实数根,求实数 t 的 取值范围.
2 ? ? x ? (2 ? a) x, x ≥ a, f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ? 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a, 20.解: (1)

2?a ? a≥? , ? ? 2 ? ?a ≤ 2 ? a , f ( x ) 2 ? 由 在 R 上是增函数,则 ? 即 ?2 ≤ a ≤ 2 ,则 a 范围为 ?2 ≤ a ≤ 2 ;…4 分
(2)由题意得对任意的实数 x ?[1, 2] , f ( x) ? g ( x) 恒成立,



x x ? a ?1

,当 x ?[1, 2] 恒成立,即

x?a ?

1 1 1 ? ? x?a? x, x x,

x?

1 1 1 1 ?a? x? x? ?a a? x? x x ,故只要 x 在 x ?[1, 2] 上恒成立即可, x 且

在 x ?[1, 2] 时,只要

x?

1 1 x? a x 的最大值小于 且 x 的最小值大于 a 即可,………6 分

1? 3 ? 1 ?? 1 ? x ? ? ?1? 2 ? 0 x ? 1 ?x? ? ? ? x ? max 2 ; x? x x 为增函数, ? 而当 x ?[1, 2] 时, ? , 1? ? 1 ?? 1 ? x ? ?1? 2 ? 0 x ? 1 ?x? ? ?2 ? ? x ?min x? x x 为增函数, ? 当 x ?[1, 2] 时, ? , ,

3 ?a?2 所以 2 ;
(3)当 ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 在 R 上是增函数,

…………………10 分

则关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 不可能有三个不等的实数根;
2 ? ? x ? (2 ? a) x, x ≥ a, f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a 得 则当 a ? (2 , 4] 时,由

……… 11 分

2 x ≥ a 时, f ( x) ? x ? (2 ? a) x 对称轴

x?

a?2 ?a 2 ,

则 f ( x) 在 x ? [a, ? ?) 为增函数,此时 f ( x) 的值域为 [ f (a), ? ?) ? [2a, ? ?) ,

2 x ? a 时, f ( x) ? ? x ? (2 ? a) x 对称轴

x?

a?2 ?a 2 ,

? (a ? 2)2 ? a ? 2? ? ?? , x ? ? ??, ? ? 4 ? 2 ? ? ? 为增函数,此时 f ( x) 的值域为 ? 则 f ( x) 在 , ? (a ? 2)2 ? ?a ? 2 ? 2 a , x?? , a? ? ? 4 ? f ( x) 在 ? 2 ? 为减函数,此时 f ( x) 的值域为 ? ; ? (a ? 2)2 ? 2ta ? ? 2a, ? 4 ? ? 由存在 a ? (2 , 4] ,方程 f ( x) ? t f (a) ? 2ta 有三个不相等的实根,则 , ? (a ? 2)2 ? (a ? 2)2 1 ? 4 ? t ? ?1, g (a) ? ? ? a ? ? 4? ? 8a ? 8a 8? a ?, 即存在 a ? (2 , 4] ,使得 ? 即可,令

只要使

t ? ? g (a) ?max

? 即可,而 g (a) 在 a ? (2 , 4] 上是增函数,

g (a) ?max ? g (4) ?

9 8,

? 9? ?1, ? t 故实数 的取值范围为 ? 8 ? ; ? 9? ?1, ? 同理可求当 a ?[?4, ? 2) 时, t 的取值范围为 ? 8 ? ; ? 9? ?1, ? 综上所述,实数 t 的取值范围为 ? 8 ? .

………………… 15 分

……………16 分

江苏省东海县高级中学 2011 届高三理科数学练习十三 17.已知某企业原由工人 500 人,每人每年可为企业创利润 6 万元,为应对国际金融危机给企 业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗,为维 护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有工人的 10%,并且每年给每位待岗工人发放生活 补贴 0.5 万元。据评估,当待岗工人的人数 x 不超过原有工人数的 5%时,留岗工人每人每年可

1?
为企业多创利润

9 10 x 万元,当待岗员工人数 x 超过原有员工的 5%,时,留岗员工每人每年

可为企业多创利润 1 万元.(1)试用 x 表示企业年利润 y 的函数关系式; (2)为使企业年利润 y 最大,求应安排多少工人待岗?

17.解:(1)

9 ? ) ? 0.5 x  1 ? x ? 25 ?(500 ? x)(7 ? y?? 10 x ? 26 ? x ? 50 ?(500 ? x) ? 7 ? 0.5 x     

,

x? N?

(2)当 x ? 8 时,年利润 y 最大,即为使企业年利润 y 最大,则应安排 8 名工人待岗!

江苏省东海县高级中学 2011 届高三上学期练习十四(数学理)
2 4.设 ?x ? R ,函数 y ? lg(mx ? 4mx ? m ? 3) 有意义, 实数 m 取值范围

. [0, 1)

14. 函数 f ( x ) 满足

ax ?
5 .4

1 (a ? 0, a ? 1) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,则 f ( x1 ? x2 ) 的最大值 1 ? f ( x) ,若



? ?ax ? ln( ? x) , x ? ? ?e,0 ? 函数f ( x) ? ? ? ?ax ? ln x , x ? ? 0, e? ,其中 a 为常数. 19.已知

(1)试判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 (0, e] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 ?1 ,求实数 a 的值.
n 1 ln(n ? 1) ? ? (n ? N ? ) i ?1 n (3)在(2)的条件下, 求证:

19. 解: (1)当

x ?? ?e,0?

时,则

? x ? ? 0, e?

∴f (?x) ? a(?x) ? ln(?x) ? ?ax ? ln(?x) ? ?f (x) ---------------2 分

当x ? ? 0, e?

时,则

? x ? ??e,0?

∴ f (?x) ? a(?x) ? ln x ? ?ax ? ln x ? ?(ax ? ln x) ? ?f (x) -----------4 分 ∴ 函数 f(x)为奇函数---------------5 分 (2)假设存在满足条件的实数 a

,f ?( x) ? a ?

1 x ---------------6 分

当a ? ?
① ∴f ( x ) 在

1 1 ? f ?( x) ? a ? ? 0 x ? 0, e ? ?, e 时,由于 x

x ? ? 0, e?

上是增函数

? f ( x)min ? f (e) ? ae ? 1 ? ?1
当a ? ?


,a ? ?

2 1 ?? e e (舍去)---------------8 分

1 1 f ( x) ? 0, 得x ? ? e 时,令 a

? 1 ? 1 在 ?? , e? (0,- ) ? a ? 上递减, a 上递增 则 f ( x)
1 1 ? f ( x) max ? f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?1 a a ,解得 a ? ?1
综合① ② 可知 a ? ?1---------------11 分

x ? ? 0, e? ln x ? x ? 1 (3)由(2)知, f ( x) ? ln x ? x ? ?1 , ∴ (当且仅当 x ? 1 时取“=”)-------13 分
1 ? 1?


1 1 1 ? e ln(1 ? ) ? n n n ∴

-------14 分

1 1 1 3 4 n ?1 ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ??? ? ln(1 ? ) ? ln 2 ? ln ? ln ? ??? ? ln 1 2 n 2 3 n ∴

3 4 n ?1 1 1 1 ln(2 ? ? ????? ) ? ln(n ? 1) ? ? ? ??? ? 2 3 n 1 2 n =
n 1 ln(n ? 1) ? ? (n ? N ? ) i ?1 n ∴ -------16 分

江苏省东海县高级中学 2011 届高三上学期练习十五(数学理)

?1? 若a ? ? ? ?2? 4.
c?b?a

?0.3

, b ? log 4 3 ,c ? log 1 5, 则a, b, c的大小关系为() 2 , 则 a, b, c 的大小关系为__________________.(用<表示)

1 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?) 2 5. 若 上是减函数,则实数 b 的取值范
围是______________. b ? ?1 6. 右图是函数 f ( x) ? x ? ax ? b 的部分图象,则函数 g ( x) ? ln x ? f ( x) 的
2 /

零点所 在的区间是________________. ③

1 1 ( , ) ①4 2



1 ( ,1) (1, 2 ) 2 ③

(2,3) ④

x ? ?2 ? t , f ( x) ? ? 2 ? ?log t ( x ? 1) 10. 设

x?2 x?2
且 f (2) ? 1, 则 f ( f ( 5)) 的值为________.8
2 2

11. 曲线 y ? e

1 x 2

在点 (4, e ) 处的切线方程为____________________. e x ? 2 y ? 2e ? 0
2

13. 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1对于 x ? R 恒成立,且 f ( x) ? 0 , 则 f (119) ? ________ ; 1

f ( x) ?
14.四位同学在研究函数

x ( x ? R) 1? x

时,分别给出下面四个结论:

y ① 函数 f ( x) 的图象关于 轴对称;
③ 若 x1 ? x2 , 则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

②函数 f ( x) 的值域为 (-1,1);

f ( x) ? f [ f n ( x)] ,则 ④ 若规定 f1 ( x) ? f ( x) , n?1
你认为上述四个结论中正确的有
2

f n ( x) ?
② ③ ④

x 1? n x

对任意 n ? N 恒成立.
*

16. 已知下列两个命题: P : 函数 f ( x) ? x ? 2mx ? 4(m ? R) 在 [2,??) 单调递增; Q : 关于 x 的

不等式 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 (m ? R) 的解集为 R ;
2

P ? Q 为假命题, 若 P ? Q 为真命题, 求 m 的取值范围.
16 解:函数 f ( x) ? x ? 2mx ? 4(m ? R) 的对称轴为
2

F E D M P C

x?m



P






2



?

m?2
A

Q为真命题 ? ? [? 4 m ( ? 2 ) ]?

4 ? 4 ? 1 ?

0 m ? 1 ?

? 3.

N

B

(第 17 题图)

P ? Q为真, P ? Q为假,? P与Q一真一假.
若 P真Q假 ,则 m ? 2 ,且 m ? 1或m ? 3 ,? m ? 1 若 P假Q真 ,则 m ? 2 ,且 1 ? m ? 3 ,? 2 ? m ? 3 综上所述,m 的取值范围

?m m ? 1或2 ? m ? 3?

17.如图, ABCD 是正方形空地,边长为 30 米,电源在点 P 处,点 P 到边 AD, AB 距离分别为
MN : NE ? 16 : 9 . 9 m, 3 m. 某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF , 线

段 MN 必须过点 P ,端点 M , N 分别在边 AD, AB 上,设 AN ? x 米,液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S 平方米. (1)求 S 关于的函数关系式及该函数的定义域; (2)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小? 17.解: (1)

AM ?

3x x ? 9 (10 ≤ x ≤ 30) .
9 x2 ( x ? 9) 2 .

MN 2 ? AN 2 ? AM 2 ? x 2 ?

MN : NE ? 16 : 9 , ∵

NE ?


9 MN 16 .

9 9 9 x2 S ? MN ? NE ? MN 2 ? [ x 2 ? ] 16 16 ( x ? 9) 2 . ∴ S? ?

……5 分定义域为 [10,30] .

(3)

9 18 x( x ? 9) 2 ? 9 x 2 (2 x ? 18) 9 x[( x ? 9)3 ? 81] [2 x ? ] ? 16 ( x ? 9) 4 8 ( x ? 9)3 = ,

3 令 S ? ? 0 ,得 x ? 0 (舍) , x ? 9?3 3 .
3 当 10 ≤ x ? 9 ? 3 3 时, S ? ? 0, S 关于 x 为减函数; 3 3 当 9 ? 3 3 ? x ≤ 30 时, S ? ? 0, S 关于 x 为增函数;∴ 当 x ? 9 ? 3 3 时, S 取得最小值.

3 答:当 AN 长为 9 ? 3 3 m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小.

19.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

(1)当

b?

1 2 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性;

(2)若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x ) 的极值点;

1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 2 n 都成立. (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式 n
19. 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x ? 2x ? b 2 2 f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x
2

( x ? 0)

…… 1 分

?当

b?

1 2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增.

…… 2 分

2 (2)设 G( x) ? 2x ? 2x ? b ,若函数 f ( x ) 的有极值点,则 G(x) =0 有解

? ? 4 - 8b ? 0;

?b ?

1 2
………4 分

b?


1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b x1 ? ? , x2 ? ? 2 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, 2 2 2 2

? i) b ? 0 时,

x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去 而x2 ? ? ? 1 ? (0,??) 2 2 2 2 , ,

? 此时 f ( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0, x2 )
?

x2
0

( x2, ? ?)

?

f ( x)



极小值



由此表可知: ? b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点

, x?

1 1 ? 2b ? 2 2 ,

…… 6 分

ii)

0?b?


1 2 时,0< x1 ? x 2 <1 此时, f ?( x ) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

?0,x1 ?
?


x1
0
极大值

( x1,x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ? ?)

?


f ( x) 有极大值

x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? x2 ? ? 2 2 和极小值点 2 2 ;
b? 1 2 时 f ( x) 有极值点;

……8 分

综上所述:当且仅当

当 b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点

, x?

1 1 ? 2b ? 2 2 ;

0?b?
当 分

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b x? ? x? ? f ( x ) 2 时, 2 2 和一个极小值点 2 2 …… 9 有一个极大值点
2

(3)由(2)可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? ln x ,

此时 f ( x ) 有惟一极小值点

x?

1 1 ? 2b 1 ? 3 ? ? 2 2 2

x ? (0,

1? 3 1? 3 )时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0, )为减函数 2 2

1 4 1? 3 ? ? , n 3 2 1 1 1 ? 恒有 f(1) ? f (1 ? ),即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) n n n 1 ?当 n ? 3 时恒有ln(n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n ? 当 n ? 3 时, 0 ?1 ? 1?

令函数 h( x) ? ( x ? 1) ? ln x (x ? 0)

则 h' ( x ) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x
n! r !? n ? r ? !

? x ? 1 时,h '( x) ? 0 ,又h( x)在x ? 1处连续 ? x ? [1, ??)时h( x)为增函数 1 1 1 ? h(1 ? ) ? h(1) 即 ? ln(1 ? ) ? 0 n n n 1 1 ? ln(n ? 1) ? ln n ? ln(1 ? ) ? n n 1 1 综上述可知 n ? 3 时恒有 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 2 n n n ? 3 时 1 ? 1? 1 n

20.已知函数 (1)求

f ? x? ?

mx ? m, n ? R ? x ?n 在 x ? 1 处取得极值 2 ,
2

f ? x?

的解析式;

(2)设 A 是曲线

y ? f ? x?

上除原点 O 外的任意一点,过 OA 的中点且垂直于 x 轴的直线交曲

线于点 B,试问:是否存在这样的点 A,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由; (3)设函数
2 g ? x? ? x ?2 ax? a

,若对于任意

x1 ? R 的 , 总 存 在 x2 ?? ?1, 1 ? ,使得

g ? x2 ? ? f ? x1 ?
20、 (I)

,求实数 a 的取值范围。

f ? x? ? ? f ?? x? ?

mx , x ?n m ? x 2 ? n ? ? mx ? 2 x
2

? x2 ? n ?

2

?

mn ? mx 2

? x2 ? n ?

2

.………2 分



f ? x?

在 x ? 1 处取得极值 2.

? ? f ? ?1? ? 0 ?? ? f ?1? ? 2 ? ? f ? x? ?

? m(n ? 1) ?0 ? ? (1 ? n) 2 即? ? m ? 2, ?1 ? n ?

?m ? 4 ?m ? 0 解得 ? 或? (舍去) ?n ? 1 ?n ? ?1

4x x ?1
2

………………4 分

f ?? x? ?
(Ⅱ )由(I)得

?x

4 ? 4 x2
2

? 1?

2

? 4x ? 4 A ? x0 , 2 0 ? kOA ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1 ………………6 分 假设存在满足条件的点 A,且 ? ,则

?x ? 4 ? 4? 0 ? 2 ?x ? ? 2 ? ? 16 ? 4 ? x0 ? f ?? 0 ? ? 2 2 2 ? 2 ? ?? x ? 2 ? x ? 4 ? ? 0 0 ?? ? ? 1? 2 ?? ? ? ? ? 依题意得kOA

2

16 ? 4 ? x0 ? 4 ?x ? 4 2 ? f ? ? 0 ? ,即 2 ? ,? 5 x0 ? 4 x0 2 2 x0 ? 1 ? x ? 4 ? ?2? 0
2

4 2 2 x0 ? 0,? x0 ? , x0 ? ? 5 5 5
江苏省东海县高级中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高三理科数学试题 3. 奇函数

………………8 分

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx在x ? 1处有极值,则 3a ? b ? c 的值为



.0

2 ? ? x ? 4 x ,x ? 0 f ( x) ? ? 4 x ? x 2 ,x ? 0 ? f (8 ? a2 ) ? f (2a) ,则实数 a 的取值范围是____▲ ? 11. 已知函数 ,若

2) __. (?4,

1 1 f ( x) ?| x ? a | ? ( x ? 0) f ( x) ? x 2 恒成立,则实数 a 的取值范围是 13. 已 知 函 数 ,若
_____▲ ______.6 20.(本小题满分 16 分) 已知函数

f ( x) ? ln(e x ? a)(a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数

g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间[-1,1]上的减函数.
(1)求 a 的值; (2)若

g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1在 x ? [?1,1] 上恒成立,求实数 t 的取值范围; ln x ? ( x2 ? 2ex ? m) f ( x) 的根的个数.

(3)设 m ? R ,讨论关于 x 的方程

f ( x) ? ln(e x +a)是奇函数, 则 ln(e? x ? a) ? ? ln(e x ? a)恒成立, ? (e? x ? a)(e x ? a) ? 1, 整理得1 ? ae ? x ? ae x ? a 2 ? 1,
20.解: (1)

? a(e? x ? e x ? a) ? 0 ? a ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 4分.
/

[-1,1] 上是减函数 , g ( x) ? ? ?cos x ? 0 在 [-1,1] 上恒成立, (2)因为 g ( x) ? ? x ? sin x在
又 ? ? ? cos x,cos x ? [cos1,1],? ? ? ?1. ………………………6 分



g ( x)在[-1,1]上是减函数, ? g ( x)max ? g (?1) ? ?? ? sin1,
2

2 所以只需 ?? ? sin1 ? t ? ?t ? 1 , (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0(其中? ? -1) 恒成立.

令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1(? ? ?1) ,
2

?t ? 1 ? 0 ? ?(t ? 1) ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 ? t ? ?1 则? --10 分.
2 (3)由(1)知 f ( x) ? x ,所以方程化为: ln x ? ( x ? 2ex ? m) x

l nx ? x2 ? 2 e x ? x

m ,令 1 f( ? ) x

ln x x

,2 f (? x ) 2? x ? 2 ex

?1 lxn / ,1 m ? f( )2x x

?当x ? (0, e)时,f1/ ( x) ? 0,即f1 ( x)在(0, e]上是增函数,当x ?[e, ??), f1/ ( x) ? 0
f1 ( x)在[e, ??) 是减函数,所以当 x ? e 时,
f1 ( x) max ? f1 (e) ? 1 e,

即 而

f2 ( x) ? ( x ? e)2 ? m ? e2 ,即 f2 ( x)min ? f2 (e) ? m ? e2 ,结合图象知

1 1 当m ? e2 ? 时,即m ? e2 ? 时,方程无解; e e 1 1 当m ? e2 ? 时,即m ? e2 ? 时,方程有一解; e e 1 1 当m ? e2 ? 时,即m ? e 2 ? 时,方程有个解. e e …………16 分.
江苏省东海县高级中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高三数学试题(文科)

, x?0 ?cos?x 4 3 f ( x) ? ? f( ) f ( x ? 1 ) ? 1 , x ? 0 ? 5.已知 ,则 3 的值为____▲______. 2
? ? 7.已知 f ( x) ? x ? 3xf (2), 则f (2) =
2



. -2

f ( x) ?
14. 已知函数

x ( x ? R) 1? | x | 时,则下列结论不正确的是



(4)

(1) . ?x ? R ,等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立 (2) . ?m ? (0,1) ,使得方程 | f ( x) |? m 有两个不等实数根 (3) .

?x1 , x2 ? R ,若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 )
,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 在 R 上有三个零点

?, 1 (? ?) (4) . ?k

18. (本题满分 16 分) 某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有 200m2 的坝面渗水.经测算知渗水现象正 在以每天 4m2 的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水 面积 2m2,每人每天所消耗的维修材料费 75 元,劳务费 50 元,给每人发放 50 元的服装补贴,每渗水 1m2 的损失为 250 元.现在共派去 x 名工人,抢修完成共用 n 天. (Ⅰ)写出 n 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失=渗水损失+政府支出). 18 .解: (Ⅰ)由题意得 2nx ? 200 ? 4n 所以

n?

100 , x ? 3, x ? N ? x?2 .????? 4 分
??? 8 分

(Ⅱ)设总损失为 y, y ? 125nx ? 50 x ? 250 ? 2nx ? 625nx ? 50 x

当且仅当

时,即

时,等号成立. ????????? 14 分 ????????? 16 分

所以应派 52 名工人去抢修,总损失最小. 19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ,

g ( x) ?

a ( a ? 0) x ,设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .

(Ⅰ )求函数 F ( x) 的单调区间;

(Ⅱ ) 若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 立,求实数 a 的最小值;

P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率

k?

1 2 恒成

? 2a ? y ? g ? 2 ? ? m ?1 2 ? x ?1 ? (Ⅲ ) 是否存在实数 m,使得函数 的图像与函数 y ? f (1 ? x ) 的图像恰有
四个不同的交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

19.解: (I)

F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

a 1 a x?a ? x ? 0? F ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 0? x x x x ,

F ? x ? ? a, ??? a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ??? ,∴ ∵ 在 上单调递增。


F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ?

,∴

F ? x?



? 0, a ? 上单调递减。



F ? x?

的单调递减区间为

? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ???

?????4 分

(II)

F '? x? ?

x?a ? 0 ? x ? 3? x2 ,

k ? F ' ? x0 ? ?

x0 ? a 1 ? 1 2 ? ? ? 0 ? x0 ? 3? a ? ? ? x0 ? x0 ? 2 x0 2 ? 2 ?max 恒成立 ?

1 2 1 ? x0 ? x0 x ? 1 时, 2 当 0 取得最大值 2 ?????????8 分 a?


1 1 amin ? 2 ,∴ 2

?????????10 分

1 1 ? 2a ? y ? g ? 2 ? ? m ? 1 ? x2 ? m ? y ? f ?1 ? x 2 ? ? ln ? x 2 ? 1? x ? 1 2 2 ? ? (III)若 的图象与 的图象恰
1 2 1 x ? m ? ? ln ? x 2 ? 1? 2 有 四 个 不 同 得 交 点 , 即 2 有 四 个 不 同 的 根 , 亦 即 m ? ln ? x 2 ? 1? ? 1 2 1 x ? 2 2 有四个不同的根。 1 2 1 x ? 2 2,



G ? x ? ? ln ? x 2 ? 1? ?



G '? x? ?

2x 2 x ? x3 ? x ? x ? x ? 1?? x ? 1? ? x ? ? x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1

?????????12 分

当 x 变化时, x

G '? x?



G ? x?

的变化情况如下表:

(??, ?1)
+ 的符号

(?1, 0)


(0,1)


?1, ???


G '? x? G ? x?

的单调性

由表格知:

G ( x)极小值 ? G (0) ?

1 2 , G ? x ?极大值 ? G ?1? ? G ? ?1? ? ln 2 ? 0 ???14 分

画出草图和验证

G ? 2 ? ? G ? ?2 ? ? ln 5 ? 2 ?

?1 ? 1 1 m ? ? , ln 2 ? ? ?2 ? 时, y ? G ? x? 与 2 2 可知,当

y ? m 恰有四个不同的交点。

1 1 ? 2a ? ?1 ? m ? ? , ln 2 ? y ? g ? 2 ? ? m ?1 ? x2 ? m ? 2 2 的图象与 ? x ?1 ? ?2 ? 时, ∴ 当
y ? f ?1 ? x 2 ? ? ln ? x 2 ? 1?
的图象恰有四个不同的交点。???????????16 分

江苏省高淳高级中学 2011 届高三上学期第二次质量检测(数学理) 11.若函数 f(x)=x2lga-2x+2 在区间(1,2)内有且只有一个零点,那么实数 a 的取值范围是_____▲______.(1, 10) 14.已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且方程 f(x)=x 无实数根,下列命题: ①方程 f[f(x)]=x 也一定没有实数根; ②若 a>0,则不等式 f[f(x)]>x 对一切实数 x 都成立; ③若 a<0,则一定存在实数 x0,使 f[f(x0)]>x0; ④若 a+b+c=0,则不等式 f [f (x)]<x 对一切实数 x 都成立. 其中正确命题的序号是________▲______①②④(把你认为正确的命题的所有序号都填上) . 17. (本小题满分 14 分) 某公司为了加大产品的宣传力度,准备立一块广告牌,在其背面制作一个形如 △ ABC 的支架,要求∠ ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为节省 材料,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 的最短长度,且当 AC 最短时,BC 的长度 为多少米? 1 17.14.设 BC=x 米(x>1) ,AC=y 米,则 AB=y- .??2 分 2 在△ ABC 中,由余弦定理, 1 得(y- )2=y2+x2-2xycos60?.??4 分 2 1 x2 - 4 所以 y= (x>1) . x-1 1 x2 - 4 3 法一:y= =(x-1)+ +2≥2+ 3. x-1 4(x-1) 当且仅当 x-1= 3 3 ,即 x=1+ 时,y 有最小值 2+ 3.??12 分 4(x-1) 2 C B

A

??7 分

1 1 2x(x-1)-(x2 - ) x2 -2x+ 4 4 法二: y′ = = . (x-1)2 (x-1)2 由 y′ =0 得 x=1+ 所以当 x=1+ 3 3 3 .因为当 1<x<1+ 时,y′ <0;当 x>1+ 时,y′ >0, 2 2 2 ??12 分 3 )米.??14 分 2

3 时,y 有最小值 2+ 3. 2

答:AC 的最短长度为 2+ 3米,此时 BC 的长度为(1+ 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=?x-a?-lnx. (Ⅰ )若 a=1,求 f(x)的单调区间及 f(x)的最小值;

(Ⅱ )若 a>0,求 f(x)的单调区间; ln22 ln32 ln(n2) (n-1)(2n+1) (Ⅲ )试比较 + +?+ 与 (n∈N*且 n≥2)的大小, 22 32 n2 2(n+1) 并证明你的结论. 20. (1)

a ? 1, f ( x) ? x ?1 ? ln x
1 x ?1 ? ? 0. x x
……………2 分

当x ? 1时, f ( x) ? x ? 1 ? ln x, f ?( x) ? 1 ?

? f ( x)在区间?1, ??? 上是递增的.
当0 ? x ? 1, f ( x) ? 1 ? x ? ln x, f ?( x) ? ?1 ? 1 ?0 x

? f ( x)在区间(0,1)上是递减的.

fx () nm ? f) 1 (0 . i 故 a=1 时, f ( x ) 的增区间为 [1, ??) ,减区间为(0,1) ,
a ? 1,当x ? a时,f ( x) ? x ? a ? ln x, f ?( x) ? 1 ? 1 x ?1 ? ? 0. x x

?

………4 分

(2)若

则 f ( x ) 在区间 [ a, ??] 上是递增的;

0 ? x ? a时, f ( x) ? a ? x ? ln x, f ?( x) ? ?1 ?


1 ?0 x

? f ( x) 在区间 (0, a ) 上是递减的.

………6 分

若 0 ? a ? 1,当x ? a时, f ( x) ? x ? a ? ln x,

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x ? 1, f ?( x) ? 0, a ? x ? 1, f ?( x) ? 0 x x

则 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上是递增的, f ( x ) 在区间 [a,1) 上是递减的;

0 ? x ? a时, f ( x) ? a ? x ? ln x, f ?( x) ? ?1 ?


1 ? 0, x

f ( x) 在区间(0,a)上是递减的,
而 f ( x ) 在 x ? a 处连续; 则 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上是递增的,在区间(0,1)上是递减的

时, f ( x) 的递增区间是 [a, ??) ,递减区间是(0,a) 综上:当 a ? 1 ;
当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的递增区间是 [1, ??) ,递减区间是(0,1)…………11 分

(3)由(1)可知,当 a ? 1 , x ? 1 时,

ln x 1 ? 1? x 有 x ? 1 ? ln x ? 0 ,即 x

?

ln 22 ln 32 ? 2 ? 22 3
1 1 ? ? 22 32 ?

?

1 1 ln n2 ? 1? 2 ?1? 2 ? 2 2 3 n

?1?

1 n2

? n ?1? (

1 ) n 2 ……13 分

1 1 1 1 ? n ?1? ( ? ? ? ? 2 3 3 4

?

1 1 ? ) n n ?1
…………………16 分

1 1 (n ? 1)(2n ? 1) ? n ?1? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)

江苏省海安、如皋 2011 届高三上学期期中考试试卷(数学理)
2 ?2, ? ?) 9. 若函数 f ( x) ? mx ? x ? 5 在 ? 上是增函数,则 m 的取值范围是 ??,1 ? e? ? 11. 若关于 x 的方程 kx-lnx=0 有解,则 k 的取值范围是 ▲ .

?



?0,1 ? ? 4? ? . ?

2 2 ??,2? 13. 设 f ( x) 是定义在 ? 上的减函数,且 f (a ? sin x ? 1)≤f (a ? cos x) 对一切 x ? R 都

成立,则 a 的取值范围是 14. 设函数



? 1 ? 10 ? ? ? 2, 2 ? ? . ?

f ? x ? ? ? x x2 ? bx2 ? c
f ? x?

,则下列命题中正确命题的序号是



. ①③⑤

①当 b ? 0 时, ②函数 ③方程
f ? x? f ? x?

在 R 上有最大值;
0,c ?

的图象关于点 ?

对称;

=0 可能有 4 个实根;
f ? x?

④当 b ? 0 时,

在 R 上无最大值;
f ? x?

⑤一定存在实数 a,使 17. (本题满分 14 分)

在 [a,? ?) 上单调递减.

x ?x 1) 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 2,且当 x ? (0, 时, f ( x) ? 2 ? 2 .

(1)求 f ( x) 在[-1,0)上的解析式;

(2)判断 f ( x) 在(-2,-1)上的单调性,并给予证明. 【解】 (1)因为奇函数 f ( x) 的定义域为 R,周期为 2, 所以 f (?1) ? f (?1 ? 2) ? f (1) ,且 f (?1) ? ? f (1) ,于是 f (?1) ? 0. ????????2 分
0) 时, ? x ? (0, 1) , 当 x ? (?1,

f ( x) ? ? f (? x) ? ? ? 2? x ? 2x ? ? ?2x ? 2? x .

??????????5 分

( x ? ?1), ? 0, f ( x) ? ? x ?x ??2 ? 2 ,(?1 ? x ? 0). ????????7 分 所以 f ( x) 在[-1,0)上的解析式为

(2) f ( x) 在(-2,-1)上是单调增函数. 先讨论 f ( x) 在(0,1)上的单调性. [方法 1]设 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 则

??????????9 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2x1 ? 2? x1 ? 2x2 ? 2? x2 ? ? 2x1 ? 2x2 ? 1 ?

?

1 2x1 ? x2

?
2
x1 ? x2

x1 x2 2x1 ? x2 ? 1 ,于是 因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 2 ? 2 ,

2 x1 ? 2 x2 ? 0, 1?

1

?0



从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,1)上是单调增函数. ????????? 12 分 因为 f ( x) 的周期为 2,所以 f ( x) 在(-2,-1)上亦为单调增函数. ?????? 14 分
1) 时, f ?( x) ? ? 2x ? 2? x ? ln 2 . [方法 2]当 x ? (0,
x ?x ? x ?x ? ? 因为 ln2>0, 2 ? 2 ? 0 ,所以 f ( x) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,

所以 f ( x) 在(0,1)上是单调增函数.

????????? 12 分

因为 f ( x) 的周期为 2,所以 f ( x) 在(-2,-1)上亦为单调增函数. ?????? 14 分
x?2 ? x?2 【注】 第(2)小题亦可利用周期性求出 f ( x) ? 2 ? 2 (?2 ? x ? ?1) , 再利用定义或导数确定单

调性. 江苏省海安、如皋 2011 届高三上学期期中考试试卷(数学文) 11. 若正数 a,b,c 满足 a2+2ab+4bc+2ca=16,则 a+b+c 的最小值是 ▲ 17. (本题满分 14 分)
(0 ? x ? c), ?cx ? 1, ? f ( x) ? ? ? x 2 f (c 2 ) ? 9 ? 2 c ? 1, (c ≤ x ? 1) ? 8. 已知函数 满足

.4

(1)求常数 c 的值;

f ( x) ? 2 ? 1 8 (2)解不等式 . 【解】 (1)由题意知 0<c<1,于是 0<c2<c. 9 ? f (c 2 ) ? c ? c 2 ? 1 ? c3 ? 1 c3 ? 1 c?1 8 8 2. 所以 ,即 ,故
?1 x ? 1, ? ?2 f ( x) ? ? ?2?4 x ? 1, ? ? (2)由(1)得 1 (0 ? x ? ), 2 1 ( ≤ x ? 1). 2

??????????4 分

??????????6 分

?1 2 , ?2 x ?1 ? 8 ?1 ? 2 ? x ? 1. ?0 ? x ? 1 ? 2 4 2 解不等式组 得

??????????9 分

? ?4 x 2 ?2 ? 1 ? 8 ? 1, ? 1 ≤x ? 5 . ? 1 ≤x ? 1 8 解不等式组 ? 2 得2

????????? 12 分

2 ,1 f ( x) ? 2 ? 1 4 2 8 所以不等式 的解集为

?

?

? 1 ,5 ? ? ?2 8

5 . ? ? ? 42 ,8

?????? 14 分

江苏省海门市 2011 届高三上学期第一次诊断性考试(数学理)

?e x , x ? 0 1 1 g ( x) ? ? g ( g ( )) ln x , x ? 0 2 = ▲ . 2 ? 2.若 ,则
? x ? y 的最大值是 5.若 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则

1 ▲ . 16

x 8.用二分法求函数 f ( x) ? 3 ? x ? 4 的一个零点,其参考数据如下:

f(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003

f(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029

f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060

据此数据,可得方程 3 ? x ? 4 ? 0 的一个近似解(精确到 0.01)为
x

▲ . 1.56

11.若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象经过点 A(0,3)和 B(3,-1) ,则不等 式

f ( x ? 1) ?1 ? 2

的解集是 ▲ .

?x | ?1 ? x ? 2?
2

??2, 2? 上的最大值、最小值分别 17. (本题满分 14 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在区间
是 M、m,集合

A ? ?x | f (x) ? x?

.

(1)若 A ? {1, 2},且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g (a ) 的最小值. 17.(1)由 f (0) ? 2可知c ? 2, ???????????1 分 又

A ? ?1 , 2?,故1 , 2是方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0的两实根.

1-b ? 1+2= ? ? a ?? , ?2= c ? ? a ?????????????????????3 分
解得a ? 1, b ? ?2 ???????????????????4 分

? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1,

x ???2,2?

当x ? 1时,f ( x)min ? f (1) ? 1,即m ? 1???????????5 分 当x ? ?2时,f ( x)max ? f (?2) ? 10,即M ? 10. ???????????6 分
2 (2)由题意知,方程ax ? (b ? 1) x ? c ? 0有两相等实根x=2,

1-b ? 2+2= ? ?b=1-4a ? a ?? ,即 ? ?c=4a ?4 ? c ? a ?

???????????8 分

? f ( x) ? ax2 ? (1 ? 4a) x ? 4a, x ???2,2?

其对称轴方程为x ?
又a ? 1, 故2 ?

4a ? 1 1 ? 2? , 2a 2a

1 ?3 ? ? ,2? 2a ? ? 2 ? ???????????9 分

? M ? f (?2) ? 16a ? 2, ???????????10 分

? 4 a ? 1 ? 8a ? 1 m? f ? , ?? 4a ???????????11 分 ? 2a ?

? g (a) ? M ? m ? 16a ?

1 4a ???????????12 分

又g (a)在区间?1, ??? 上为单调递增的, ?当a ? 1时,g (a)min ?

63 . 4 ???????14 分

王小明同学采用先建立直角坐标系,再求关系式的方法,他写道:如图(2) ,以 A 点为原点, 桥面 AB 所在直线为 x 轴, 过 A 点且垂直与 AB 的直线为

y 轴, 建立直角坐标系, 则 A(0, 0), C(200,

0),P( ),E( ),D(2200,0),Q( ),B(2450,0) .请你先把上面没有写全的坐标补全,然后 在王小明同学已建立的直角坐标系下完整地解决本题.

(2200,6 0), B(2450,0) ???2 分 18.解: A(0,0), C(200,0), P(200,60), E(1200,10), Q
设直线段 PA 满足关系式 y ? kx ,那么由 60 ? k ? 200 ,得 k ? 0.3 ,??????4 分 即有 y ? 0.3x,0 ? x ? 200 ????????????????????????5 分

? 0 ? 2450l ? b ? 60 ? 2200l ? b , 设直线段 QB 满足关系式 y ? lx ? b ,那么由 ?
解得 l ? ?0.24, b ? 588 ???????????????8 分 即有 y ? ?0.24 x ? 588, 2200 ? x ? 2450 ?????????????????9 分 设抛物线段 PEQ 满足关系式 y ? r ( x ?1200) ? 10 ,那么由 60 ? r (200 ?1200) ? 10 ,
2 2

解得 r ? 0.00005 ,?????????????????????????11 分

? y ? 0.0005( x ?1200)2 ? 10, 200 ? x ? 2200 ????????????????12 分
所以符合要求的函数是

0.3 x ? ? y ? ?0.00005( x ? 1200) 2 ? 10 ? ?0.24 x ? 588 ?

,

0 ? x ? 200

, 200 ? x ? 2200 , 2200 ? x ? 2450

?????????????14 分

20. (本题满分 18 分)
2 2 g ( x) ? ? 1 ? ( x ? a)2 (a, b ? R) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 4 ? 2b ? b ? x , .

(1)当 b ? 0 时,若 f ( x)在(??, 2] 上单调递减,求 a 的取值范围; (2)求满足下列条件的所有整数对 ( a, b) :存在 x0 ,使得 f ( x0 )是f ( x) 的最大值, g ( x0 )是g ( x) 的 最小值; (3)对满足(II)中的条件的整数对 ( a, b) ,试构造一个定义在 D ? {x | x ? R 且 x ? 2k , k ? Z} 上的 函数 h( x) :使 h( x ? 2) ? h( x) ,且当 x ? (?2, 0) 时, h( x) ? f ( x) . 20. (1)当 b ? 0 时, 若a ? 0,

f ? x ? ? ax2 ? 4x
,则
f ? x?

,???????????????????1 分 在?
??, 2?

f ? x ? ? ?4 x
f ? x?

上单调递减,符合题意;???3 分

若 a ? 0 ,要使

在?

??, 2?

上单调递减,

? a ? 0, ? ?4 ? ? 2, 必须满足 ? 2a ??????????????????????????5 分

∴ 0 ? a ? 1 .综上所述,a 的取值范围是 ? (2)若 a ? 0 , 故 a ? 0 ,∴

0, 1?

?????????????6 分 无最大值,?????????7 分

f ? x ? ? ?2 4 ? 2b ? b2 x
f ? x?

,则

f ? x?

为二次函数,

? a ? 0, ? 4 ? 2b ? b2 ? 0, a ? 0 1 ? 5 ? b ? 1 ? 5 f x 要使 ? ? 有最大值,必须满足 ? 即 且 ,?8 分
2 x0 ? 4 ? 2b ? b f x a 此时, 时, ? ? 有最大值.???????????????9 分



g ? x?

取最小值时, x0 ? a ,?????????????????????10 分

4 ? 2b ? b2 ? a ? Z 2 a 2 ? 4 ? 2b ? b 2 ? 5 ? ? b ? 1? a 依题意,有 ,则 ,????11 分
0 ? a2 ? 5 ? a ? Z ? ∵ a ? 0 且 1 ? 5 ? b ? 1 ? 5 ,∴ ,得 a ? ?1 ,??????12 分
此时 b ? ?1 或 b ? 3 . ∴满足条件的整数对

? a, b? 是 ? ?1, ? 1? , ? ?1, 3? .???????????13 分

(3)当整数对是 ?

?1, ? 1? , ? ?1, 3?

时,

f ? x ? ? ? x2 ? 2 x

h( x ? 2) ? h( x) ,? h( x) 是以 2 为周期的周期函数,?????????15 分

又当

x ? ? ?2, 0?

时,

h ? x? ? f ? x?

,构造 h( x) 如下:当
2

x ? ? 2k ? 2, 2k ? , k ? Z

,则,

h ? x ? ? h ? x ? 2k ? ? f ? x ? 2k ? ? ? ? x ? 2k ? ? 2 ? x ? 2k ?
2

, ???????18 分



h ? x ? ? ? ? x ? 2k ? ? 2 ? x ? 2k ? , x ? ? 2k ? 2, 2k ? , k ? Z.

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