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4.第四章 习题解答b


第四章
选择题 4—1

热学基础

有一截面均匀的封闭圆筒 , 中间被一光滑的活塞隔成两边 , 如果其中一边装有

0.1 kg 某一温度的氢气,为了使活塞停在圆筒的正中央,则另一边应装入同一温度的氧气的
质量为 (A) ( C )

1 kg ; 16

(B) 0.8 kg ;

(C) 1.6 kg ;

(D) 3.2 kg .

4—2 根据气体动理论,理想气体的温度正比于 ( D ) (A) 气体分子的平均速率; (B)气体分子的平均动能; (C) 气体分子的平均动量的大小; (D)气体分子的平均平动动能. 4—3 在一固定的容器内,理想气体的温度提高为原来的两倍,那么 ( A ) (A) 分子的平均平动动能和压强都提高为原来的两倍; (B) 分子的平均平动动能提高为原来的四倍,压强提高为原来的两倍; (C) 分子的平均平动动能提高为原来的两倍,压强提高为原来的四倍; (D) 分子的平均平动动能和压强都提高为原来的四倍. 4—4 一瓶氦气和一瓶氮气的密度相同,分子的平均平动动能相同,且均处于平衡态,则 它们 ( C ) (A) 温度和压强都相同; (B) 温度和压强都不相同; (C) 温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强; (D) 温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强. 4—5 下面说法中正确的是 ( D ) (A) 在任何过程中,系统对外界做功不可能大于系统从外界吸收的热量; (B) 在任何过程中,系统内能的增量必定等于系统从外界吸收的热量; (C) 在任何过程中,系统内能的增量必定等于外界对系统所做的功; (D) 在任何过程中,系统从外界吸收的热量必定等于系统内能的增量与系统对外界做功 之和. 4—6 如图所示,一定量的理想气体,从状态 A 沿着图中直线变到状态 B ,且

pAVA ? pBVB ,在此过程中:

( B )

(A) 气体对外界做正功,向外界放出热量; (B) 气体对外界做正功,从外界吸收热量; (C) 气体对外界做负功,向外界放出热量; (D) 气体对外界做负功,从外界吸收热量. 4—7 如图所示,一定量的理想气体从状态 A 等压压缩到状态 B ,再由状态 B 等体升压

VA ? 2VB ,则气体从状态 A 到 C 的过程中 到状态 C .设 pC ? 2 pB 、
(A) 气体向外界放出的热量等于气体对外界所做的功;

( B )

35

(B) 气体向外界放出的热量等于外界对气体所做的功; (C) 气体从外界吸收的热量等于气体对外界所做的功; (D) 气体从外界吸收的热量等于外界对气体所做的功.

4—8 摩尔定容热容为 2.5 R ( R 为摩尔气体常量) 的理想气体,由状态 A 等压膨胀到状 态 B ,其对外界做的功与其从外界吸收的热量之比为 ( C ) (A) 2 : 5 ; (B) 1 : 5 ; (C) 2 : 7 ; (D) 1 : 7 . 4—9 质量相同的同一种理想气体,从相同的状态出发,分别经历等压过程和绝热过程, 使其体积增加一倍.气体温度的改变为 ( C ) (A) 绝热过程中降低,等压过程中也降低; (B) 绝热过程中升高,等压过程中也升高; (C) 绝热过程中降低,等压过程中升高; (D) 绝热过程中升高,等压过程中降低. 4—10 一理想气体的初始温度为 T ,体积为 V .由如下三个准静态过程构成一个循环过 程.先从初始状态绝热膨胀到 2V ,再经过等体过程回到温度 T ,最后等温压缩到体积 V .在此 循环过程中,下述说法正确的是 ( A ) (A) 气体向外界放出热量; (B) 气体对外界做正功; (C) 气体的内能增加; (D) 气体的内能减少. 4—11 有人试图设计一台可逆卡诺热机,在一个循环中,可从 400 K 的高温热源吸收热 量 1 800 J ,向 300 K 的低温热源放出热量 800 J ,同时对外界作功1 000 J ,这样的设计是 ( D ) (A) (B) (C) (D) 可以的,符合热力学第一定律; 可以的,符合热力学第二定律; 不行的,卡诺循环所做的功不能大于向低温热源放出的热量; 不行的,这个热机的效率超过理论最大值.

4—12 对运转在 T1 和 T2 之间的卡诺热机,使高温热源的温度 T1 升高 ? T ,可使热机效率 提高 ??1 ;使低温热源的温度 T2 降低同样的值 ?T ,可使循环效率提高 ??2 .两者相比,有 ( B ) (A) ??1 ? ??2 ; (C) ??1 ? ??2 ; (B) ??1 ? ??2 ; (D) 无法确定哪个大.

36

4—13 在 327o C 的高温热源和 27o C 的低温热源间工作的热机,理论上的最大效率为 ( C ) (A) 100% ; (B) 92% ; (C) 50% ; (D) 25% . 4—14 下述说法中正确的是 ( C ) (A) 在有些情况下,热量可以自动地从低温物体传到高温物体; (B) 在任何情况下,热量都不可能从低温物体传到高温物体; (C) 热量不能自动地从低温物体传到高温物体; (D) 热量不能自动地从高温物体传到低温物体. 4—15 热力学第二定律表明 ( D ) (A) 热机可以不断地对外界做功而不从外界吸收热量; (B) 热机可以靠内能的不断减少而对外界做功; (C) 不可能存在这样的热机,在一个循环中,吸收的热量不等于对外界作的功; (D) 热机的效率必定小于100% . 4—16 一个孤立系统,从平衡态 A 经历一个不可逆过程变化到平衡态 B ,孤立系统的熵 增量 ?S ? SB ? S A 有 (A) ?S ? 0 ; 计算题 4—17 容器内装满质量为 0.1 kg 的氧气,其压强为 1.013 ?106 Pa ,温度为 47 C .因为
o

( A ) (B) ?S ? 0 ; (C) ?S ? 0 ; (D) ?S ? 0 .

漏气,经过若干时间后,压强变为原来的一半,温度降到 27 C .求: (1) 容器的容积; (2) 漏去了多少氧气. 解 (1) 根据理想气体的物态方程 pV ?

o

m RT ,可得气体的体积,即容器的容积为 M

V?

m 0.1? 8.31? (373 ? 47) 3 RT ? m ? 8.20 ?10?3 m3 ?3 6 Mp 32 ?10 ?1.013 ?10
m1 RT1 ,可得剩余 M

(2) 漏气使容器内气体的状态改变,根据理想气体的物态方程 p1V ? 气体的质量为

Mp1V m1 ? ? RT1
漏掉的气体质量为

1 32 ?10?3 ? ?1.013 ?106 ? 8.20 ?10 ?3 2 kg ? 0.05 kg 8.31? (273 ? 27)

??m ? m ? m1 ? (0.1 ? 0.05) kg ? 0.05kg

37

4—18 如图所示, a 、 c 间曲线是1 000 mol 氢气的等温线,其中压强 p1 ? 4 ?105 Pa ,

p2 ? 10 ?105 Pa .在点 a ,氢气的体积 V1 ? 2.5 m3 ,求:
(1) 该等温线的温度; (2) 氢气在点 b 和点 d 的温度 Tb 和 Td . 解 (1) 根据理想气体的物态方程 pV ?

m RT ,可 M

得在等温线上,气体的温度为

T?

M p2V1 1 10 ?105 ? 2.5 ? ? K ? 301K m R 1000 8.31

(2) 由

p2V2 p1V2 ,可得气体在点 b 的温度为 ? Tb Tc

Tb ?

p2 10 ?105 Tc ? ? 301K ? 753K p1 4 ?105



p1V1 p2V1 ,可得气体在点 d 的温度为 ? Td Ta

Td ?
4—19

p1 4 ?105 Ta ? ? 301K ? 120 K p2 10 ?105

2.0 ?10?2 kg 氢气装在 4.0 ?10?3 m3 的容器内,求当容器的压强为 3.90 ?105 Pa

时,氢气分子的平均平动动能. 解 根据理想气体的物态方程 pV ? 子的平均平动动能为

m MpV RT ,可得气体的温度为 T ? .此时气体分 M mR

? t ? kT ? k

3 2

3 MpV 3 MpV ? 2 mR 2 mN a

3 2 ?10?3 ? 3.90 ?105 ? 4.0 ?10?3 ? ? J ? 3.89 ?10?22 J ?2 23 2 2.0 ?10 ? 6.02 ?10
4—20 在一个具有活塞的容器中盛有一定量的气体.如果压缩气体,并对它加热,使它
o o

的温度从 27 C 升到 177 C ,体积减少一半.求: (1) 气体的压强是原来压强的多少倍; (2) 气体分子的平均平动动能是原来平均平动动能的多少倍. 解 (1) 由

p1V1 p2V2 ,可得压缩后与压缩前的压强之比为 ? T1 T2
38

p2 V1T2 2(273 ? 177) ? ? ?3 p1 V2T1 (273 ? 27)
即压强增加为原来的三倍. (2) 分子的平均平动动能与温度的关系为 ? t ? 的平均平动动能之比为

3 kT .由此可得,压缩后与压缩前的分子 2

? t2 T2 273 ? 177 3 ? ? ? ? 1.5 ? t1 T1 273 ? 27 2
即增加为原来的 1.5 倍. 4—21 容器中储有氦气,其压强为1.013 ?10 Pa ,温度为 0 C .求:
7 o

(1) 单位体积中分子数 n ; (2) 气体的密度; (3) 分子的平均平动动能. 解 (1) 根据理想气体的物态方程 p ? nkT ,可得单位体积中的分子数为

n?

p 1.013 ?107 ? m?3 ? 2.69 ?1027 m?3 ?23 kT 1.38 ?10 ? 273
m pMV RT ,可得 m ? .气体的密度为 M RT

(2)根据理想气体的物态方程 pV ?

??

m pM 1.013 ?107 ? 4 ?10?3 ? ? kg ? m?3 ? 17.9 kg ? m?3 V RT 8.31? 273
3 2 3 2

(3) 分子的平均平动动能为

? t ? kT ? ?1.38 ?10?23 ? 273 J ? 5.65 ?1021 J
4—22 如图所示,一系统从状态 A 沿 ABC 过程到达状态 C ,从外界吸收了 350 J 的热

量,同时对外界做功126 J . (1) 如沿 ADC 过程 , 对外界作功为 42 J , 求系统 从外界吸收的热量; (2) 系统从状态 C 沿图示曲线返回状态 A ,外界对 系统做功 84 J ,系统是吸热还是放热?数值是多少? 解 根据热力学第一定律, Q ? Δ E ? A ,可得从状态 A 沿 ABC 过程到状态 C ,系统内

能的增量为

39

Δ E ? Q ? A ? 350 J ? 126 J ? 224 J
(1)从状态 A 经 ADC 过程到状态 C ,系统内能的增量为 Δ E ? 224 J .系统吸热为

Qa ? Δ E ? Aa ? 224 J ? 42 J ? 266 J
(2)从状态 C 沿图示曲线返回状态 A ,系统内能的增量为 Δ E ? ?224 J .系统吸热为

Qb ? Δ E ? Ab ? ?224 J ? 84 J ? ?308 J Qb <0 表明,系统向外界放热 308 J .
4-23 如图所示 ,一定量的空气, 起始在状态 A ,其

5 压强为 2.0? 10 Pa, 体积为 2.0 ?10?3 m3 沿直线 AB 变

化 到 状 态 B 后 , 压 强 变 为 1.0 ?105 Pa , 体 积 变 为

3.0 ?10?3 m3 .求此过程中气体对外界所做的功.
解 在此过程中气体作正功,大小为直线 AB 下梯形的面积

A?

1 ? p A ? pB ??VB ? VA ? 2 1 ? ? 2.0 ? 105 ? 1.0 ?105 ?? 3.0 ?10 ?3 ? 2.0 ?103 ? J ? 150 J 2

4—24 在标准状态下, 1 mol 的氧气经过一等体过程,到达末状态.从外界吸收的热量为

336 J .求气体到达末状态的温度和压强.设氧气的摩尔定容热容 CV ,m ?


5 R. 2

1 mol 的氧气初始状态为标准状态 , p0 ? 1.013?105 Pa , V0 ? 2.24 ?10?2 m3 ,

T0 ? 273 K .
气体在过等体过程中,吸受的热量等于内能的增量, QV ? ?E ?

m CV ,m ?T .由此可得, M

经过等体过程后,

m ? 1 mol 的氧气的温度变化为 M

?T ?
气体到达末状态时的温度为

QV Q 336 ? V ? K ? 16.1 K CV ,m 2.5R 2.5 ? 8.31

40

T ? T0 ? ?T ? 273K ? 16.1K ? 289 K
根据等体方程

p T

?

p0 T0

,可得气体到达末状态时的压强为

p?
4—25

p0 1.013 ?105 T? ? 289 Pa ? 1.07 ?105 Pa T0 273

在标准状态下, 0.032 kg 的氧气经过一等温过程,到达末状态.从外界吸收的热

量为 336 J .求气体到达末状态的压强和体积. 解

0.032 kg 的 氧 气 是 1 mol . 其 标 准 状 态 为 p0 ? 1.013 ?105 Pa , T0 ? 273 K ,

V0 ? 2.24 ?10?2 m3 . 在 过 等 温 过 程 中 , 气 体 吸 受 的 热 量 等 于 其 对 外 界 所 作 的
功, QT ? AT ? p0V0ln

V p ,由此可得 ? p0V0ln V0 p0

ln

Q V p 336 ? ln ? T ? ? 0.148 5 V0 p0 p0V0 1.013 ?10 ? 2.24 ?10?2

气体到达末状态的压强和体积分别为

p ? p0e?0.148 ? 1.013?105 ? e?0.148 Pa ? 8.74 ?104 Pa
V ? V0e?0.148 ? 2.24 ?10?2 ? e?0.148 m3 ? 2.60 ?10?2 m3
4 — 26

1 mol的氦气 , 从温度为 27o C 、体积为 2.0 ?10?2 m3 , 等温膨胀到体积为
3 R ,请作出 P ? V 2

4.0 ?10?2 m3 后,再等体冷却到 ?27o C ,设氦气的摩尔定容热容 CV ,m ?
图,并计算这一过程中,氦气从外界吸收的热量和对外界做的功. 解

过程的 P ? V 图如图所示.在等温过程 AB 中, 1 mol 的氦气吸受的热量等于对外

所做的功,有

QT ? AT ? RTA ln

VB VA

4.0 ?10?2 ? 8.31? ? 273 ? 27 ? ? ln J 2.0 ?10?2 ? 1.73 ?103 J
在等体过程 BC 中 , 气体做功 AV ? 0 , 1 mol 的氦 气吸受的热量为

41

QV ? CV ,m ?TC ? TB ? ?

3 R ?TC ? TB ? 2

3 ? ? 8.31? [(273 ? 27) ? (273 ? 27)] J ? ?673 J 2
在过程 ABC 中,气体吸受的热量和所作的功分别为

Q ? QT ? QV ? ?1.73 ?103 ? 673? J ? 1.06 ?103 J A ? AT ? 1.73 ?103 J

4 — 27

将 1 mol 理想气体等压加热 , 使其温度升高 72 K , 气体从外界吸收的热量为

1.6 ?103 J .求:
(1) 气体对外界所做的功; (2) 气体内能的增量; (3) 比热容比. 解 (1) 在此1 mol 理想气体等压过程中,气体对外界所做的功为

Ap ? p(V2 ?V1 ) ? R?T ? 8.31? 72 J ? 598 J (2) 根据热力学第一定律, Q ? ?E ? A ,可得在此过程中气体内能的增量为

?E ? Qp ? Ap ? (1.6 ?103 ? 598) J ? 1.00 ?103 J
(3) 气体的摩尔定压热容和定容热容分别为

1.60 ?103 J? mol?1 ? K ?1 ? 22.2 J? mol?1 ? K ?1 ?T 72 CV ,m ? Cp,m ? R ? ? 22.2 ? 8.31? J? mol?1? K?1 ? 13.9 J? mol?1? K?1 C p ,m ? Qp ?
比热容比为

??
4—28

C p,m CV ,m

?

22.2 ? 1.60 13.9

1 mol 理想气体盛于气缸中,压强为 1.013 ?105 Pa ,体积为 3.0 ?10?2 m3 .先将

此气体在等压下加热,使体积增大一倍.然后在等体下加热,使压强增大一倍.最后绝热膨胀使 温度降为初始温度.请将全过程在 p ? V 图中画出,并求在全过程中内能的增量和对外所做的 功.设气体的摩尔定压热容 C p ,m ?

5 R. 2

解 过程的 P ? V 图如图所示.因为末状态 D 与初 状态 A 的温度相同,所以,从状态 A 到状态 D 的全过程 中内能的增量为零:

?E ? 0
根据热力学第一定律, Q ? ΔE ? A ,且 ?E ? 0 ,可 得气体在全过程中吸受的热量等于对外界所做的功.气体在全过程中吸受的热量等于气体在 等压过程 AB 和等体过程 BC 所吸热量之和.因此,对于1 mol 理想气体,在全过程中有
42

A ? Q ? Cp,m ?TB ? TA ? ? CV ,m ?TC ? TB ?
将 CV ,m ?

5 R 、 CV ,m ? Cp,m ? R 和 pV ? RT 代入上式,可得 2

A?

5 3 5 3 ? RTB ? RTA ? ? ? RTC ? RTB ? ? ? pBVB ? p AVA ? ? ? pCVC ? pBVB ? 2 2 2 2

由于 pBVB ? 2 pAVA , pCVC ? 2 pBVB ? 4 pAVA ,因此全过程中气体对外所做的功为

A?
4—29

11 11 p AVA ? ?1.013 ?105 ? 3.0 ?10?2 J ? 1.67 ?104 J 2 2

1 mol 的氮气,温度为 27o C , 压强为 1.013? 105 Pa .将气体绝热压缩,使其体
1 .求: 5

积变为原来的

(1) 压缩后的压强和温度; (2) 在压缩过程中气体所做的功 (? ? 1.4) . 解 (1) 在绝热过程中, pV ? 为常数.由此可得,压缩后的压强为

?V ? p ? p0 ? 0 ? ? 1.013?105 ? 51.4 Pa ? 9.64 ?105 Pa ?V ?
在绝热过程中, V
? ?1

?

T 亦为常数.由此可得,压缩后的温度为
? ?1

?V ? T ? T0 ? 0 ? ?V ?
(2) 将 ? ? 1.4 代入

? (27 ? 273) ? 5(1.4?1) K ? 571 K
? ? ,可得 CV ,m ?
5 R .在绝热过程中,气体对外界所做的 2

CV ,m ? R CV ,m

功,等于气体内能增量的负值.对于1 mol 的氮气,有

5 5 AQ ? ??E ? ?CV ,m (T ? T0 ) ? ? R(T ? T0 ) ? ? ? 8.31? [571 ? (27 ? 273)] J ? ?5.63 ?103 J 2 2
负号表明,在绝热压缩过程中,外界对气体做功. 4—30 一卡诺热机低温热源温度为 7 C ,效率为 40% ,若要把它的效率提高到 50% ,
o

高温热源的温度应提高多少开? 解 在效率为 40% 和 50% 的两种情况下,低温热源温度 T2 相同.由? ? 1 ?

T2 ,两种情 T1
43

况下的效率分别表示为

?1 ? 40% ? 1 ? ?2 ? 50% ? 1 ?
由此可得

T2 T11 T2 T12

5 T11 ? T2 3 T12 ? 2T2
高温热源的温度应提高

5 ? T 273 ? 7 ? ?T ? T12 ? T11 ? T2 ? 2 ? ? ? 2 ? K ? 93.3 K 3? 3 3 ?
4—31 一卡诺热机,高温热源的温度为 400 K ,每一个循环从高温热源吸收 75 J 热量, 并向低温热源放出 60 J 热量.求: (1) 低温热源温度; (2) 循环效率. 解 (1) 对卡诺循环, 有

Q2 T2 ? ,由此可得低温热源的温度为 Q1 T1 Q2 60 T1 ? ? 400 K ? 320 K Q1 75 Q2 60 ? 1? ? 20% Q1 75
o

T2 ?
(2) 热机的循环效率为

? ? 1?
4 — 32
o

一卡诺机 , 在温度 127 C 和 27 C 两个热源间运转 . (1) 若一个正循环 , 从

127o C 热源吸收 1 200 J 热量 , 求向 27o C 的热源放出的热量 ;(2) 若此循环逆向工作 , 从

27o C 的热源吸收1 200 J 热量,求向127 o C 的热源放出的热量.
解 (1) 对卡诺热机,有

Q2 T2 ? .由此可得,一个正循环向低温热源放出的热量为 Q1 T1 T2 27 ? 273 Q1 ? 1 200 ? J ? 900 J T1 127 ? 273

Q2 ?

(2) 对卡诺制冷机,有

? T2 Q2 ? .由此可得,一个逆循环向高温热源放出的热量为 Q1 T1

44

Q1 ?

T1 4 ? ? ?1 200 J ? 1 600 J Q2 T2 3

4—33 理想气体做卡诺循环,高温热源的热力学温度是低温热源热力学温度的 n 倍,求 在一个循环中,气体从高温热源吸收的热量有多少比例传给了低温热源. 解 对卡诺热机, 有

Q2 T2 T ? .将 1 ? n 代入,可得 Q1 T1 T2
Q2 ? 1 Q1 n

气体从高温热源吸收的热量有

1 传给了低温热源. n

4-34 质量为 m ,摩尔质量为 M 的理想气体,其摩尔定容热容为 CV ,m .在可逆的等体过 程中温度从 T1 升高到 T2 ,试证明在这一过程中气体的熵增量为

?S ?

T m CV ,m ln 2 M T1

证 在可逆的等体过程中,气体的温度升高 dT ,吸热为

dQ ?
温度从 T1 升高到 T2 ,气体的熵增量为

m CV ,m dT M

?S ? S2 ? S1 ? ?

T2 m T dQ dT m ?? CV ,m ? CV ,m ln 2 T 1 M T T M T1

4-35 质量为 m ,摩尔质量为 M 的理想气体,在可逆的等压过程中,温度从 T1 升高到 T2 , 求在这一过程中,气体的熵增量.已知气体的摩尔定压热容为 C p,m . 解 在可逆的等压过程中,气体的温度升高 dT ,吸热为

dQ ?
温度从 T1 升高到 T2 ,气体的熵增量为

m C p ,m dT M

?S ? S2 ? S1 ? ?

T2 m T dQ dT m ?? C p ,m ? C p ,m ln 2 T 1 M T T M T1

45


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