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5.3全称量词与存在量词教案-学生


1.3 简单的逻辑联结词
教学过程
1、引入 在数学中,有时会使用一些联结词,如“且” “或” “非” 。在生活用语中,我们也使用这些联 结词,但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且” “或” “非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便,今后常用小写字母 p, q, r , s, ? 表示命题。 (注意与上节学习命题的条件

p 与结论 q 的 区别) 2、思考、分析 问题 1:下列各组命题中,三个命题间有什么关系? (1)①12 能被 3 整除; ②12 能被 4 整除; ③12 能被 3 整除且能被 4 整除。

(2)①27 是 3 的倍数; ②27 是 9 的倍数; ③27 是 3 的倍数或是 9 的倍数。

3、归纳定义 一般地,用联结词“且”把命题 p 和命题联结起来,就得到一个新命题, 记作: p ? q ,读作“ p 且 q ” 。 一般地,用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题, 记作: p ? q ,读作“ p 或 q ” 。 命题“ p 且 q ”与命题“ p 或 q ”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字 与“或” 字的含义相同吗? (1)若 x ? A 且 x ? B ,则 x ? A ? B 。 (2)若 x ? A 或 x ? B ,则 x ? A ? B 。 说明:符号“∧”与“∩”开口都是向下,符号“∨”与“∪”开口都是向上。 注意: “ p 或q ” , “ p 且q ” ,命题中的“ p ” 、 “ q ”是两个命题,而原命题,逆命题,否命题, 逆否命题中的“ p ”,“ q ”是一个命题的条件和结论两个部分.

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4、命题“ p ? q ”与命题“ p ? q ”的真假的规定 你能确定命题“ p ? q ”与命题“ p ? q ”的真假吗?命题“ p ? q ”与命题“ p ? q ”的真假 和命题 p , q 的真假之间有什么联系?

当 p ,q 都是真命题时,p ? q 是真命题; 当 p ,q 两个命题中有一个命题是假命题时,p ? q 是假命题;当 p , q 两个命题中有一个是真命题时, p ? q 是真命题;当 p , q 两个命题都是假命 题时, p ? q 是假命题。

5、例题解析 例 1:将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“ p ? q ” 与“ p ? q ”的形式,并判断 它们的真假。 (1) p :平行四边形的对角线互相平分, q :平行四边形的对角线相等。 (2) p :菱形的对角线互相垂直, q :菱形的对角线互相平分; (3) p :35 是 15 的倍数, q :35 是 7 的倍数.

例 2:选择适当的逻辑联结词“且”或者“或”改写下列命题,并判断它们的真假。 (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 是素数且 3 是素数; (3)2≤2. (4)集合 A 是 A ? B 的子集或是 A ? B 的子集; (5)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.

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1.4 全称量词与存在量词
全称量词
1.思考、分析 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)x>3; (2) 2x+1是整数; (3) 对所有的 x∈R, x>3; (4)对任意一个 x∈Z,2x+1是整数。

发现、归纳 命题(3) 、 (4) ,它们用到 “所有的” “任意一个” 这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整 体或全部,这样的词叫做全称量词,用符号“?”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题。常见的全称量 词还有:对于一切,对每一个,任给,等 通常将含有变量 x 的语句用 p(x) ,q(x) ,r(x) ,??表示,变量 x 的取值范围用 M 表示。那么全称命题 “对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:?x?M, p(x) ,读做“对任意 x 属于 M,有 p(x)成 立” 。

4、例题:判断下列全程命题的真假: (1) 所有的素数都是奇数 2 (2) ? x∈R,x +1≥1, (3) 对每一个无理数 x , x 也是无理数
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5、通过对上面命题真假判断推理归纳得出: (1) ? x∈M,p(x)为真:对集合 M 中每一个元素 x,都有 p(x)成立; (2) ? x∈M,p(x)为假:在集合 M 中存在一个元素 x0,使得 p(x0)不成立.

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存在量词
1.思考、分析 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1=3; (2) x 能被 2 和 3 整除; (3) 存在一个 x0∈R, 使得 2x0+1=3; (4)至少有一个 x0∈Z,x0 能被 2 和 3 整除。

发现、归纳 命题(3) 、 (4)用到了“存在一个” “至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫 做存在量词。并用符号“ ? ”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题) 常见的存在量词还有:有些,有一个,对某个,有些之多有一个等 特称命题: “存在 M 中一个 x,使 p(x)成立”可以用符号简记为: ?x ? M , p( x) 。读做“存在一个 x 属 于 M,使 p(x)成立” .

4、例题 判断下列特称命题的真假: 2 (1)有一个实数 x0,使 x0 +2x0+3=0 (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线 (3)有些整数只有两个正因数

5、通过以上命题的真假归纳总结特称命题的真假规律: ? x0∈M,p(x0)为真:能在集合 M 中找出一个元素 x0,使 p(x0)成立; ? x0∈M,p(x0)为假:在集合 M 中,使 p(x)成立的元素 x 不存在(即 ? x0∈M,p(x0)都不成立)

(四)巩固练习: 1、判断下列全称命题的真假: (1)每一个指数函数都是单调函数 (2)任何实数都有算术平方根
2 (3) ?x ? x x是无理数 ,x 是无理数

?

?

2、判断下列特称命题的真假: (1) ?x0 ? R,x0 ? 0 (2)至少有一个整数,它既不是合数也不是素数
2 (3) ?x0 ? x x是无理数 ,x0 是无理数

?

?

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3、判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假? (1)负数没有对数; (2)至少有一个整数,它既能被 2 整除,又能被 5 整除;
2 (3) ?x ? x x是无理数 ,x 是无理数

?

?

(4) ?x0 ? x x ? Z ,log2 x0 ? 0 4、判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用量词符号“ ? ” , “ ? ”表示 (1)两个有理数之间,都有一个无理数 (2)有一个凸 n 边形,外角和等于 180° (3) 存在一个三棱锥,使得它的每一个侧面都是直角三角形

?

?

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含有一个量词的命题的否定
1. 我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”. 对给定的命题 p , 如何得到命题 p 的否定 (或非 p ) , 它们的真假性之间有何联系? 2.思考、分析 判断下列命题是全称命题还是特称命题,你能写出下列命题的否定吗? (1)所有的矩形都是平行四边形;

(2)每一个素数都是奇数;

(3)?x∈R, x -2x+1≥0。
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(4)有些实数的绝对值是正数;

(5)某些平行四边形是菱形;

(6)? x∈R,

x +1<0。

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4.发现、归纳 从命题的形式上看,前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成 了全称命题。 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:

全称命题 P: 它的否定¬P 特称命题 P:

?x ? M , p( x)

?x ? M , p( x)
?x ? M , p( x)
?x∈M,¬P(x)

它的否定¬P:

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

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5.巩固练习 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定: (1) p:所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; 2 (3) p:对?x∈Z,x 个位数字不等于 3; 2 (4) p:? x∈R, x +2x+2≤0; (5) p:有的三角形是等边三角形; (6) p:有一个素数含三个正因数。

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