当前位置:首页 >> 高二理化生 >>

物理奥赛辅导:第20讲 静电场中的导体与电介质


高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

第 20 章

静电场中的导体与电介质
§1 静电场中的导体

一、金属导体的电结构 导体:当物体的某部分带电后,能够将获得的电荷迅速向其它部分传布开,这种物体称 为导电体(导体) 。 绝缘体(电介质) :物体的某部分带电后,其电荷只能停留在该部分,不能显著地向其它 部分传布,这种物体称为绝缘体。 半导体:导电能力介于导体和电介质之间的物质。 ★ 注意:导体、半导体和电介质之间无严格的界限,只是导电的程度不同。 金属导体的电结构: 在各种金属导体中,由于原子最外层的价电子与原子核之间 的吸引力很弱,很容易摆脱原子的束缚,脱离原来所属的原子在 金属中自由移动,成为自由电子;组成金属的原子,由于失去部 分价电子成为带正电的离子(晶体点阵)(如图) 。 金属导体的电结构: 带负电的自由电子和带正电的晶体点阵。 当导体不带电也不受外电场作用时,两种电荷在导体内均匀 分布,没有宏观移动,只有微观的热运动。

二、静电感应与静电平衡
如果我们把导体放入静电场 E0 中,电场将驱动自由电荷定向运动,形成电流,使导体上 的电荷重新分布,见下图(a) 。在电场的作用下导体上的电荷重新分布的过程叫静电感应,感 应所产生的电荷分布称为感应电荷,按电荷守恒定律,感应电荷的总电量是零。感应电荷会 产生一个附加电场 E ? ,见下图(b) ,在导体内部这个电场的方向与原场 E0 相反,其作用是削 弱原电场。随着静电感应的进行,感应电荷不断增加,附加电场增强,当导体中总电场的场 强 E ? E0 ? E ? ? 0 时,自由电荷的再分布过程停止,静电感应结束,导体达到静电平衡,见 下图(c). 三、导体的静电平衡条件

?

?

?

?

?

?

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

导体的静电平衡条件:导体处于静电平衡时,导体内部各点的场强为零。 根据静电平衡的条件,可得出如下结论: (1)静电平衡下的导体是等势体,导体的表面是等势面。 (解释)

(a)

(b)
导体的静电感应和静电平衡

(c)

(2)在导体表面外,靠近表面处一点的场强的大小与导体表面对应点处的电荷面密度成 正比,方向与该处导体表面垂直。 对结论(2)给予证明: 方向:由于电场线处处与等势面垂直,所以导体表面附近若存在电场,则场强方向必与 表面垂直。 大小(高斯定理) : 如图所示:在导体外紧靠表面处任取一点 P ,过 P 作导体表面 的外 法线矢量 n0 ,则 E ? En n0 并过 P 作如图所示的圆柱型高斯面。整个柱体的表面(上底、 下底和侧面)构成封闭曲面,根据高斯定理,可得

?

?

?

? e ? En ?S ?

??S ?0
En ?

所以

? ?0

矢量式: E ?

?

? ? n ?0 0

? ? ?当? ? 0时,E沿n0方向 ? ? ? ? ? ?当? ? 0时,E与n0反向

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

四、导体表面上的电荷分布 当导体处于静电平衡时,导体内部处处无净电荷存在,电荷只能分布在导体的表面上(用 高斯定理给予证明) 。 若导体内部有空腔存在(如图) ,而且在空腔内部没有其他 带电体,可证明不仅导体内部没有净电荷,而且在空腔的内 表面上处处也没有净电荷存在,电荷只能分布在外表面。 实验表明:导体所带电荷在表面上的分布一般是不均匀的。对于孤立导体,其表面上电 荷的分布与表面曲率有关:曲率越大处,电荷面密度越大;反之越小。 尖端放电现象:具有尖端的带电导体,其尖端处电荷面密度很大,场强很大,以至于使 周围的空气电离而引起放电的现象。 (举例说明) 五、静电屏蔽 1.空腔内无带电体 处于静电场中的空腔导体在达到静电平衡时,电荷只能分布在导体的外表面,空腔 导体内表面上处处无感应电荷。 (可用高斯定理给予证明) 表明:电场线将终止于导体的外表面而不能穿过导体的内表面进入内腔,因此,可用空 腔导体屏蔽外电场,使空腔内的物体不受外电场的影响。 2.空腔内有带电体 若一导体球壳的空腔内有一正电荷,则球壳的内表面上 将产生感应负电荷,外表面上将产生感应正电荷,如图(a) 。 球壳外面的物体将受到影响,此时把球壳接地,则外表面上的 正电荷和从地上来的负电荷中和,球壳外面的电场消失。

(a)

(b)

用空腔导体屏蔽外电场结论:接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响。如

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

图(b) ★ 空腔导体的静电屏蔽作用:空腔导体(无论接地与否)将使腔内空间不受外电场的影 响,而接地的空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响。 应用:高压带电作业

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

§2
一、孤立导体的电容

电容

电容器

q ; 孤立导体所带电量与其电势的比值。 U 1C 单位:法拉(F) 1F ? ; 1V
定义: C ?

1F ? 10 6 ?F ? 1012 PF
物理意义:反映了导体的容电本领。 二、电容器及电容 当导体周围有其他导体时,其本身的电荷分布会受到 其他导体上的感应电荷的影响, 不能再用 C ? 与 U 之间的关系。 采用静电屏蔽方法消除其他导体的影响: 把导体 A 放入空腔导体 B 中,则 A 所带电荷与 A、B 间电势差的关系为

q 来描述 q U

C?

q q ? U A ? U B U AB

(1)

该系统称为电容器,C 成为电容器的电容。 三种电容器电容的计算: 1.球形电容器:有一个金属球和一个与它同心的金属球壳构 成。如图所示。求它的电容方法: 设内球所带电荷为 ?q ,外球壳所带电荷为 ?q ,(a) 计算球 与球壳之间的电场分布和电势差 (b)根据 C ?

q 求电容。 U AB

由于是球形导体且实现了静电屏蔽,内球上的电荷和球壳内表面上的感应电荷均为球对 称分布,因此球与球壳间的电场分布具有球对称性,由高斯定理可求得两者间任一点 r 处的场 强为

?? E?

q ?? r0 4?? 0 r 2 1

球与球壳间的电势差为:

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

U AB ?

R2

R1

? 4?? r
0

q

2

dr ?

q ( R2 ? R1 ) 1 1 ? )? 4?? 0 r R1 R2 4?? 0 R1 R2 q (

所以

C?

4?? 0 R 1R 2 ? R2 ? R1 ?

当 R2 ? ? 时, C ? 4?? 0 R1 (孤立球形导体的电容) 2.平行板电容器 如图所示:两板之间的场强可认为是匀强电场(除板 的边缘部分有少量电场泄漏外) ,两板之间的场强为

? ? ? E ? n0

?0

两板之间的电势差为

? B ?? ? d qd U AB ? U A ? U B ? ? E ? dl ? Ed ? ? A ?0 ?0S
平行板电容器的电容为

C?

? S q ? 0 U AB d

3.圆柱形电容器 如图所示: 利用高斯定理,可求得两导体间任一点 r 处的电场强度 为

? E?

? ? q ? r0 ? r0 2?? 0 r 2?? 0lr

内外导体之间的电势差为

U AB ? ?

R2

q 2?? 0lr

R1

dr ?

q 2?? 0l

ln

R2 R1

圆柱形电容器的电容为

C?

2?? 0l q ? U AB ln R2 R1

★计算电容器的电容的一般步骤:
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

(1)令电容器的两极板带电荷 ? q ,即对电容器充电; (2)求出两极板之间的场强分布 ; (3)由场强积分求出两极板之间的电势差; (4)由电容器的电容的定义式 C ? q / U AB 计算其电容。 结论:电容器的电容取决于电容器的几何形状,尺寸大小和极板间的相对位置等因素, 与两极板所带电荷和电势差无关。另外,填入绝缘材料可增大电容器的电容。 三、电容器的连接方式 电容器的连接方式:串联和并联 电容器组的等值电容:电容器组所带的电荷与两端电势差之比。 并联(如图) : 电容器组所带的总电荷 q 为各个电容器上所带电荷之和,电 容器组两端的电势差 U 与各电容器上的电势差相等,即

q ? q1 ? q2 , U ? U1 ? U 2
并联电容器的等值电容为

C?

q q1 q2 ? ? ? C1 ? C2 U U U

★ 注意:电容器并联时,总电容增大,但电容器组的耐压值与电容器组中耐压最小的电 容器的耐压值相等。 串联(如图) : 各电容器所带电荷均为 q,若两端电势差为 U,则

U ? U1 ? U 2
等值电容的倒数为

1 U U1 U 2 1 1 ? ? ? ? ? C q q q C1 C2
★ 注意:电容器串联时,总电容减小,耐压值增大,但电容器组的耐压值并不是将各电 容器的耐压值简单相加。

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

§3
一、电介质的电结构

电介质中的静电场

电位移

电介质的主要特征:它的分子中电子被原子核束缚得很紧,在宏观上几乎没有自由电荷, 其导电性很差,故也称绝缘体。 电偶极子模型:在离开分子的距离比分子本身的线度大得多的地方观察,分子中全部正 电荷所起的作用可用一个等效的正电荷来代替,全部负电荷所起的作用可用一个等效的负电 荷来代替,若两者不重合,构成电偶极子。 电介质的分类(按分子中正、负电荷中心的分布) : 无极分子:分子中的正、负电荷的等效中心在没有外场时互相重合。如:氢、氮、甲烷 等。

有极分子:分子中的正、负电荷的等效中心在没有外场时互相不重合,构成一个电偶极 子(分子电矩 pm ) 。整块的有机分子电介质,可看成无数多个分子电矩的集合。如甲醇、水、 硫化氢等。

?

当无外电场时,有极分子的电矩 p m 的取向由于分子的热运动而表现出空间的各向等几率 性,就介质中任意一个小区域来看,分子电矩都互相抵消,宏观电矩等于零,即 处于电中性状态。对于无极分子来说,也是处于宏观电中性状态。

?

?p

?

m

?0,

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

二、电介质的极化 电介质的极化:当电介质置于电场中时,原子中的正、负电荷都将受到电场力的作用, 从而发生一定程度的微小移动,这将导致原子内部的电荷分布发生微小变化,从而出现微小 的反向附加电场,这种现象称为电介质的极化。 无极分子电介质—位移极化: 无外电场时,分子的正、负电荷中心重合,电介质不带电。 加外电场时,如图所示:

产生沿电场方向的电偶极矩,极化的效果:端面出现束缚电荷,如下图所示:

有极分子电介质—取向极化: 无外电场:有极分子的电偶极矩由于热运动,在空间的取向是杂乱无章的,但表现出空 间的各向等几率性,介质不带电。 加外电场:有极分子的电矩 pm 将取向外电场排列,在介质任一小区域出现宏观电矩

?

?p

?

m

?0。

极化的效果:端面出现束缚电荷,如下图所示。

? E0 ? 0

? E0 ? 0

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

电介质在电场中极化,会出现极化电荷(束缚电荷)——不能在介质中自由移动,受到 分子的束缚。极化电荷在介质中产生附加电场 E ? (退极化场) ,则介质中的总场强

?

? ? ? E ? E0 ? E ? ? ? ? ? (以平行板电容器为例介绍) E ? 与 E0 的方向相反,介质中的总场强 E 比 E0 小。
三、电极化强度 为了定量地描述电介质内各处极化的强弱程度,引入了电极化强度 P 。 电极化强度 P :电介质中某点附近单位体积内分子电偶极矩的矢量和。

?

?

?p P?
?V

???
m

(1)

?V :宏观小、微观大的体积元。
极化状态:各分子电偶极矩的矢量和不会完全相互抵消。 均匀极化:电介质中各点的 P 的大小和方向都相同。 在各向同性的电介质中,反映介质中某一点极化强弱的 P 矢量与该点的总场强 E 的关系 为

?

?

?

?? ? P ? ? 0 ?e E

(2)

式中 ? e 称为电介质的电极化率,取决于电介质的性质。若 ? e 是一个大于零的常数,则这 样的电介质称为均匀电介质。 四、电介质中的高斯定理 电位移矢量 当静电场中有电介质时,在高斯面内不仅有自由 电荷,还有极化电荷,这时,高斯定理应有什么样的 变化呢? 以两带电平行板中充满均匀各向同性的的电介质 为例进行讨论。 在电介质中,高斯定理应改为

?? ? q ? q? ? E ? dS ? 0 ??
S

?0

(3)

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

其中, q0 为高斯面内包围自由电荷的代数和, q ? 为高斯面内包围束缚电荷的代数和。 如图所示,整块电介质中所有分子电矩的矢量和

??? ? pm ? 0
设两极板所带自由电荷的面密度为 ?? 0 ,电介质表面出现的极化电荷面密度为 ?? ? ,则

E?

? , ? pm ? ? ?Sd ?0

介质内极化强度的大小为 P ?

?p
?V

m

?

? ?Sd
Sd

? ? ? ? , 方向与 E0 相同

在该电场中,作一圆柱型高斯面,下底面 ?S1 在导体极板内,上底面 ?S2 在电介质内紧贴 电介质的下表面,如图所示。 对整个闭合曲面 S 计算 P 的曲面积分,则

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P?dS ? ? P?dS ? ? P?dS ? ? P?dS ? ?? ?? ?? ??
S ?S1 ?S2 侧面

因为金属中 P ? 0 ,侧面上 P ? dS ? 0 ,根据前面的分析 P ? ? ? ,所以可得,

?

?

?

? ? ? ? q? ? ? ? P ? d S ??
S

(4)

由此式可知:闭合曲面内极化电荷的电荷量等于极化强度对该曲面通量的负值。 把(4)代入(3)式,可得

? (? ??
S

0

?? ? ? ? ? E ? P) ? d S ? q0
?? ? ?

(5) (6)

令 D ? ?0 E ? P

??

? ?2 ,单位: C ? m D —电位移矢量(电感应矢量) ?? ? ? 联立(5)和(6) ,可得, ? D ? d S? 0q ??
S

(7)

上式称为电介质中的高斯定理:电位移矢量对任一闭合曲面的通量等于该曲面所包围自 由电荷的代数和。 ★ 注意: (7)式表明 D 对闭合曲面的通量仅与该曲面内的自由电荷有关,与束缚电荷无 关,但 D 本身既与自由电荷有关,又与束缚电荷有关。 对于各向同性的均匀电介质,
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

?

?

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

? ? ?? P ? ? 0 ?e E
将其代入(6)式,可得 D ? ? 0 (1 ? ? e ) E ? ? 0? r E ? ? E 其中, ? r 叫做介质的相对介电常数( ? r ? 1 ) ? 为介质的绝对介电常数。 , 对电介质充满电场的情况下, E 的分布。如平行板电容器充满线性均匀介质时, 仍取上图中的高斯面,则

?

?

?

?

?

? D ? d S ? ? D? S ??? ??
0 S

??

? ?

? S
1

?? D ? ? ? q D ? ? 0 , 由 D ? ? E 可得, E ? ? 0 ? 0

?

?

? 0? r S

?

?r

E0

两极板间的电势差为 电容器的电容为

U ? Ed ?

C?

q0 ? S ? 0? r S ? ? ? ? r C0 U d d

q0 d ?S

其中 C0 为没有电介质时的电容。 加入电介质后, E ? E0 / ? r , C ? ? r C0

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

§4
一、带电体系的静电能

电场的能量

任何物体的带电过程,都是电荷之间相对移动的过程。在移动电荷到物体上使其成为带 电体的过程中,由于电荷之间存在着相互作用力,外力克服电场力做功,根据能量转化与守 恒定律,外力对系统做的功等于系统能量的增加,因此任何带电系统都具有能量。 在系统带电过程中,外界所做的功: 当某一系统的电荷为q,电势为U时,如果再从电势为零处将 dq 的电荷移到该物体上, 外力所做的功为

dA ? Udq

在带电体带电Q的过程中,外力所做的总功为

A ? ? dA ? ? Udq
0

Q

外力做的功将转变为带电系统的能量,则

We ? A ? ?

Q

0

Ud q

(1)

以电容器为例,研究它所具有的能量: 如图所示,给平行板电容器充电。设在 t 时刻,电容器上已 充电 q(t ) ,它激发的电场强度的大小为

q ,两板间的电势差为 ?0S

u (t ) ? q(t ) / C ,此时再移动 dq 的电荷,需克服电场力做功为
给电容器充电 Q 的过程中,需克服电场力作的总功为

dA ? udq ?

qdq 。 C

A ? ? dA ? ?

Q

0

qdq Q 2 ? C 2C

(2)

该功等于带电荷为 Q 的电容器所具有的能量 We ,即

We ?

Q2 2C

(3)

由于 Q ? CU ,上式可写成 We ? 二、电场的能量

1 1 CU 2 或 We ? QU 2 2

从电场的观点来看,带电体或带电系统的能量也即是电场的能量。下面以平行板电容器

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

为例,看看这些能量是如何分布的。 当平行板电容器极板上的电荷量为 Q 时,极板间的电势差 U ? Ed , C ? ? 把这些关系式代入(3) ,可得

S d

1 1 1 We ? CU 2 ? ? E 2 Sd ? ? E 2 SV 2 2 2
式中V表示电容器内电场空间所占的体积。

(4)

上式表明:带电体或带电系统所储藏的电能可用表征电场性质的场强E表示,电能储藏 在电场中。 为了描述静电场中的能量分布,引入能量密度。 能量密度( we ) :电场中单位体积内的电场能量。 在平行板电容器中,电场能量密度为

we ?


We 1 2 1 D 2 1 ? ?E ? ? DE V 2 2 ? 2

(5)

说明:上式不但适用于均匀电场,也适用于非均匀电场。

带电系统整个电场中所储存的能量,

?1 ? We ? ? we dV ? ? ? DE ? dV 2 ? V V?


(6)

说明:能量是物质的状态之一,电场具有能量,说明电场也是一种物质。

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

一、 选择题
1、 一带正电荷的物体 M,靠近一不带电的金属导体 N,N 的左端感应出负电荷,右端感应出 正电荷。若将 N 的左端接地,则: A、 N 上的负电荷入地。 C 、 N 答案:B 2、 有一接地的金属球,用一弹簧吊起,金属球原来不带电。若在它的下方放置一电量为 q 的 点电荷,则: A、只有当 q>0 时,金属球才能下移 C、无论 q 是正是负金属球都下移 答案:C 3、 一“无限大”均匀带电平面 A,其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体 板 B,已知 A 上的电荷密度为 ? ? ,则在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感应电荷面密度 为: A、 ? 1 ? ?? , ? 2 ? ?? C 、 B、 ? 1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? B、只有当 q<0 是,金属球才下移 D、无论 q 是正是负金属球都不动 B、N 上的正电荷入地。 D 、 N 上 所 有 电 荷 都 入 地

上 的 电 荷 不 动 。

1 2

1 2

? 1 ? ? ? ,? 2 ? ? ?

1 2

1 2

D 、

? 1 ? ?? , ? 2 ? 0

答案:B 4、 半径分别为 R 和 r 的两个金属球,相距很远。用一根细长导线将两球连接在一起并使它们 带电。在忽略导线的影响下,两球表面的电荷面密度之比 A、 R B、 R
2

?R

? r 为:
D、 r

r

r

2

C、 r

2

R2

R

答案:D 5、 一厚度为 d 的“无限大”均匀带电导体板,电荷面密度为 ? ,则板的两侧离板距离均为 h 的两点 a,b 之间的电势差为() A、零 B、

? 2? 0

C、

?h ?0

D、

2? h

?0

答案:A
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

6、 一电荷面密度为 ? 的带电大导体平板,置于电场强度为 E 0 ( E 0 指向右边)的均匀外电场 中,并使板面垂直于 E 0 的方向,设外电场不因带电平板的引入而受干扰,则板的附近左 右两侧的全场强为() A、 E0 ?

?

?

?

? ? , E0 ? 2? 0 2? 0
E0 ?

B、 E0 ?

? ? , E0 ? 2? 0 2? 0
D 、

C



? ? , E0 ? 2? 0 2? 0

E0 ?

? ? , E0 ? 2? 0 2? 0

答案:A 7、 A,B 为两导体大平板,面积均为 S,平行放置,A 板带电荷+Q1,B 板带电荷+Q2,如果使 B 板接地,则 AB 间电场强度的大 小 E 为() A、

Q1 2? 0 S

B、

Q1 ? Q2 2? 0 S

C、

Q1 ? 0S

D、

Q1 ? Q2 2? 0 S

答案:C 8、带电时为 q1 的导体 A 移近中性导体 B,在 B 的近端出现感应电荷 q2,远端出现感应电荷 q3, 这时 B 表面附近 P 点的场强为 E ? A、只是 q1 的贡献 只是 q1,q2,q3 的总贡献 荷的贡献 C 9、 三块互相平行的导体板,相互之间的距离 d1 和 d2 比板面积线 度小得多, 外面二板用导线连接,中间板上带电,设左右两 面上电荷面密度分别为,如图所示,则比值 A、

?

? ? ? ? n ,问 E 是谁的贡献?() ?0
B、只是 q2 和 q3 的贡献 D、只是 P 点附近面元上电 答案:

?1

? 2 为()

d1

d2

B、

d2
2 2

d1

C、1

D、 d

d 22

答案:B
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

10、

有两个带电不等的金属球,直径相等,但一个是空心,一个是实心,现使它们互相

接触,则这两个金属球上的电荷() A、不变化 量多 11、 B、平均分配 答案:B 一带负电荷的金属球,外面同心地罩一不带电的金属球壳,则在球壳中一点 P 处的 C、空心球电量多 D、实心球电

场强大小与电势(设无穷远处为电势零点)分别为() A 、 E=0 , U>0 答案:B 12、 一半径为 R 的簿金属球壳,带电量为-Q,设无穷远处电势为零, ,则在球壳内各点的 B 、 E=0,U<0 C 、 E=0 , U=0 D 、 E>0,U<0

电势 UI 可表示为() A 、 U i ? ?K

Q R

B 、 U i ? ?K 答案:B

Q R

C 、 U i ? ?K

Q R

D、

?K
13、

Q ? Ui ? 0 R

一均匀带电球体,总电量为+Q,其外部同心地罩一内、外半径分别为 r1,r2 的金属球

壳,设无穷远处为电势零点,则在球壳内半径为 r 的 P 点处的场强和电势为() A、 E ?

Q 4?? 0 r
2

,U ? Q

Q 4?? 0 r

B、 E ? 0,U ?

Q 4?? 0 r1
D 、 E ? 0,U ?

C 、 E ? 0,U ? 答案:D 14、

Q 4?? 0 r2

4?? 0 r

平板电容器充电后断开电源,场强为 E0,现充满相对介电常数为 ? r 的电介质,则其

极化强度为() A、 ? 0 ?1 ? ?

? ?

1? ? E0 ?r ? ?

B、 ?1 ? ?

? ?

1? ? E0 ?r ? ?

C、 ? 0 ? ?

?1

? ? 1? E0 ? ? ?r ?

D、

?0 E0 ?r

答案:A 15、 维持平板电容器的电压 U 不变,设真空时其电容,电位移矢量,能量分别为 C0,D0,

W0,现充满相对介电常数为 ? r 的电介质,则充入介质后相应的各量变为() A 、 ? r C 0 , D0 , ? rW 0 B 、 ? rC 0,

D0

?r

, ? rW 0

D 、 ? r C 0 , ? r D0 , ? rW 0

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

答案:C 16、 在带电量为+Q 的金属球产生的电场中,为测量某点场强 E ,在该点引入一带电量为

?

? ? ? Q 3 的点电荷,测得其受力 F 。则该点场 E 的大小为()
A、 E ? 答案:B 17、 一带电量为 q 的导体球壳,内半径为 R1,外半径为 R2,壳内球心处有一电量为 q 的

3F Q

B、 E ?

3F Q

C、 E ?

3F Q

D、 无法判断

点电荷,若以无穷远处为电势零点,则球壳的电势为() A、

Q 4?? 0 R2

B、

Q ? 1 1 ? ? ? ?R R ? ? 4?? 0 ? 1 2 ?

C、

Q 2?? 0 R1

D、

q 2?? 0 R2

答案:D

18、

同心导体球与导体球壳周围电场的电力线分布如图所示,由电力线分布情况可知球

壳上所带总电量为() A、q>0 C、q<0 答案:B B、q=0 D、无法确定

19、

有两个大小不相同的金属球,大球直径是小球的两倍,大球带电,小球不带电,两

者相距很远,今用细长导线将两者相连,在忽略导线的影响下,则大球与小球的带电之比 为() A 、 1 答案:B 20、 当一个带电导体达到静电平衡时() B、表面曲率较大处电势较高 D、导体内任一点与其表面上任 B 、 2 C 、 1/2 D 、 0

A、表面上电荷密度较大处电势校高。 C、导体内部的电势比导体表面的电势高。 一点的电势差等于零 答案:D
www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

21、

有两个直径相同带电量不同的金属球,一个是实心的,一个是空心的,现使两者相

互接触一下再分开,则两导体球上的电荷() A、不变化 心导体球上 答案:B 22、 把 A,B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中,如 A 的电势为 UA,B 的电势 B、平均分配 C、集中到空心导体球上 D、集中到实

图所示,设无限远处为电势零点, 为 UB,则() A、UB>UA>0 答案:D 23、 B、UB>UA ? 0

C、UB=UA

D、UB<UA

两个完全相同的电容器 C1 和 C2,串联后与电源连接,现将一各向同性均匀电介质板

插入 C1 中,则() A、电容器组总电容减小。 C、C1 上的电压高于 C2 上的电压 答案:D 24、 在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体 A 内,放 B、C1 上的电量大于 C2 上的电量 D、电容器组贮存的总能量增大

有一带电量为+Q 的带导体 B, 如图所示,则比较空腔导体 A 的电势 UA 和导体 B 的电势 UB 时,可得以下结论() A、UA=UB C、UA<UB 答案:C 25、 在相对介电常数为的电介质中挖去一个细长的圆柱形空腔,直径 d,高为 h(h》d),外 B、UA>UB D、因空腔形状不是球形,两者无法比较

电场 E 垂直穿过圆柱底面则空腔中心 P 点的场强为() A、 ?? r ? 1?E B、

?

E ? r ?1

C、

d ?rE h

D、E

答案:D 26、 已知厚度为 d 的无限大带电导体平板两表面上电荷均匀分布,电荷面密度均为 ? ,

则板外两侧的电场强度的大小为()

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

A、 E ? 答案:C 27、

? 2? 0

B、 E ?

2?

?0

C、 E ?

? ?0

D、 E ?

?d 2? 0

关于高斯定理,下列说法中哪一个是正确的?()

A、 高斯面内不包围自由电荷, 则面上各点电位移矢量 D 为零 零,则面内必不存在自由电荷 C、高斯面的 D 通量仅与面内自由电荷有关 答案:C 28、

?

B、 高斯面上处处 D 为

?

?

D、以上说法都不正确

一带电量为 q 半径为 r 的金属球 A,放在内外半径分别为 R1 和 R2 的不带电金属球壳

B 内任意位置,如图所示,A 与 B 之间及 B 外均为真空,若用导线把 A,B 连接,则 A 球 电势为(设无穷远处电势为零) () A、 0 答案:B B、

q

4?? 0 R 2

C、

q 4?? 0 R1

D、

1 ? q q ? ? ?R R 4?? 0 ? 1 2

? ? ? ?

29、 如图所示,一封闭的导体壳 A 内有两个导体 B 和 C,A.C 不带电,B 带正电,则 A.B.C 三导体的电 势UA、UB、UC 的大小关系是( ) A、 UA=UB=UC C、 UB>UC >UA 答案:C 30、一导体球外充满相对介电常数为 ? r 的均匀电介质,若测得导体表面附近场强为 E,则导体球 面上的自由电荷面密度 ? 为( A 、 ?0E 答案:B 31、在空气平行板电容器中,插上一块较空气厚度为薄的各向同性均匀电介质板,当电容器充 电后,若忽略边缘效应,则电介质 中的场强 E 与空气中的场强 E 0 相比较,应有( A、E>E0,两者方向相同
www.ks5u.com

B、 UB >UA=UC D、 UB >UA>UC

) C、

B 、 ? 0? r E

?rE

D 、 (? 0? r ? ? 0 ) E

?

?

)

B、E=E0,两者方向相同
版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

C 、 E<E0 , 两 者 方 向 相 同 答案:C

D 、 E<E0 , 两 者 方 向 相 反

32、设有一个带正电的导体球壳,若球壳内充满电介质球壳外是真空时,球壳外一点的场强 大小和电势用 E1,U1 表示;若球壳内的场强大小和电势用 E2 和 U2 表示,则两种情况下壳 外同一点处的场强大小和电势大小的关系为() A、E1=E2,U1=U2 U1<U2 答案:A B、E1=E2,U1>U2 C、E1>E2,U1>U2 D、E1<E2,

33、在一静电场中,作一闭合曲面 S,若有 DdS ? 0 (式中 D 为电位移矢量)则 S 面内必定
S

?

? ?

?

() A、既无自由电荷,也无束缚电荷 B、没有自由电荷 D、自由电荷的代数和为零

C、自由电荷和束缚电荷的代数和为零 答案:D

34、两个半径相同的金属球,一为空心,一为实心,把两者各自孤立时的电容值加以比较, 则() A、空心球电容值大 C、两球电容值相等 答案:C 35、金属球 A 与同心金属壳 B 组成电容器,球 A 上带电荷 q 壳 B 上带电荷 Q,测得球与壳间 电势差为 UAB,可知该电容器的电容 值为() A、 答案:A 36、两只电容器 C1 ? 8?F , C 2 ? 2?F ,分别把它们充电到 1000v,然后将它们反接(如图所 示) ,此时两极板的电势差为() A、0v C、600v 答案:C 37、一个平行板电容器,充电后与电源断开,当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大,则两
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

B、实心球的电容值大 D、大小关系无法确定

q U AB

B、

Q U AB

C、

(q ? Q ) U AB

D、

q 2U AB

B、200v D、1000v

+ C1 -

+

C2

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

极板间的电势差 U12 电场强度的大 小 E,电场能量 W 将发生如下变化() A、U12 减小,E 减小,W 减小 C 、 U12 增 大 , E 不 变 , W 增 大 答案:C 38、一平行板电容器充电后切断电源,若改变两极间的距离,则下述物理量中哪个保持不变? () A、电容器的电容量 C、两极板间的电势差 答案:B 39、一空气平行板电容器充电后与电源断开,然后在两极板间充满某种各向同性,均匀电介 质,则电场强度的大小 E,电容 C, 电压 U 电场能量 W 四个量各自与充入介质前相比较增大( ? )或减小( ? )的情形为() A、 E ?, C ?,U ?,W ? B、 E ?, C ?,U ?,W ? C、 E ?, C ?,U ?,W ? D、 B、两极板间的场强 D、电容器储存的能量 B、U12 增大,E 增大,W 增大 D 、 U12 减 小 , E 不 变 , W 不 变

E ?, C ?,U ?,W ?
答案:B 40、C1 和 C2 两个电容器,其上分别标明 200PF(电容器) ,500v(耐压值)和 300PF,900v。 把它们串联起来在两端加上 1000v 电压,则() A、C1 被击穿,C2 不被击穿 C)两者都被击穿 答案:C 41、 C1 和 C2 两空气电容器并联起来接上电源充电,然后将电源断开,再把一电介质板插 C1 中, 则( ) B、C1 极板上电量增大, C2 极板上电量不 B) C2 被击穿,C1 不被击穿 D)两者都不被击穿

A、C1 和 C2 极板上电量都不变] 变 C、C1 极板上电量增大, C2 极板上电量减小 大 答案:C

D、C1 极板上电量减小, C2 极板上电量增

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

42、 如果某带电体其电荷分布的体密度 ? 增大,为原来的 2 倍,则其电场的能量变为原来的( A、2 倍 答案:C B 、 1/2 倍 C、4 倍

)

D 、 1/4 倍

43、 一球形导体,带电量 q,置于一任意形状的空腔导体中,当用导线将两者连接后,则与未连接前 相比系统静电场能将( ) A、增大 答案:B 44、一平行板电容器充电后与电源连接,若用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大,则极板上的 电量 Q,电场强度的大小 E 和电场能量 W 将发后如下变化( ) A、Q 增大,E 增大,W 增大 C、 答案:B 45、一空气平行板电容器,充电后把电源断开,这时电容器中储存的能量为 W0,然后在两极板之 间充满相对介电常数为 ? r 的各向同性均匀电介质,则该电容器中储存的能量 W 为( ) A、 W ? ? rW0 答案:B 46、用力 F 把电容器中的电介质板拉出,在图(a)和图(b)的两种情况下,电容器中储存的静电能量 将( ) B、都减小 D、 (a)减小, (b)增加 B、 W ? Q 增 大 ,E 减 小 ,W 增 大 B、 Q 减小,E 减小,W 减小 D 、 Q 增 大 ,E 增 大 ,W 减 小 B、减小 C、不变 D、如何变化无法确定

W0

?r

C、 W ? (1 ? ? r )W0

D、 W ? W0

A、都增加

C、 (a) 增加, (b)减小 答案:D

二、填空题(每空 2 分) 1、两块很大的导体平板平行放置,面积都是 S,有一定厚度,带电量分别为 Q1 和 Q2。如不计 边缘效应,则 A、B、C、D 四个表面上的电荷面密度分别为 答案:

Q1 ? Q2 Q1 ? Q2 Q2 ? Q1 Q1 ? Q2 ; ; ; 2S 2S 2S 2S

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

2、将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导体附近,则导体内的电场强度 体的电势 答案:不变,减小 3、两块“无限大”平行导体板,相距为 2d,且都与地连接, 如图所示,两板间充满正离子气体(与导体板绝缘)离子 数密度为 n,每一离子的带电量为 q.如果气体中的极化现 象不计,可以认为电场分布相对中心平面 OO`是对称的, 则在两板间的场强分布为 E ? (选取地的电势为零) 答案:

,导

?

,电势分布 U=

nq x

?0

(0 ? x ? d );

nq 2 ?d ? x 2 ??? d ? x ? d ? 2? 0

4、选无穷远处为电势零点,半径为 R 的导体球带电后,其电势为 U0,则球外离球心距离为 r 处的电场强度的大小为 答案:

RU 0 r2

5、一空心导体球壳,其内处半径分别为 R1 和 R2,带电量 q.当球壳中心处再放一电量为 q 的点 电 荷 时 , 则 导 体 球 壳 的 电 势 ( 设 无 穷 远 处 为 电 势 零 点 ) 为 答案:

q 2?? 0 R2

6、 两个同心金属球壳,半径分别为 R1 和 R2(R2>R1) ,若分别带上电量为 q1 和 q2 的电荷,则 两者的电势分别为 U1 和 U2(选取无穷远处为电势零点) 。现用导线将两球壳连接,则它们 的电势为 答案:U2

7、在静电场中有一立方形均匀导体,边长为 a。已知立方导体中心 O 处的电势为 U0,则立方 体顶点 A 的电势为 答案:U0 8、A、B 两个导体球,它们的半径之比为 2:1,A 球带正电荷 Q,B 球不带电,若使两球接触 一下再分离,当 A、B 两球相距为 R 时, 远大于两球半径,以致可认为 A、B 是点电荷)则 (R 两球间的静电力 F= 答案:

Q2 18?? 0 R 2

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

9、三个半径相同的金属小球,其中甲、乙两球带有等量同号电荷,丙球不带电。已知甲、乙 两球间距离远大于本身直径,它们之间的静电力为 F,现用带绝缘柄的丙球先与甲球接触,再 与乙球接触,然后移去,则此时甲、乙两球间的静电力为 答案:3F/8 10、在一个带负电荷的金属球附近, 放一个带正电的点电荷 q0,测得 q0 所受的力为 F,则 F/ q0 的值一定 点 答案:大 11、一金属球壳的内外半径分别为 R1 和 R2,带电量为 Q。在球壳内距球心 O 为 r 处有一带电 量为 q 的点电荷,则球心处的电势为 原 有 于不放 q0 时该 的 场 强 大 小 ( 填 大 , 等 , 小 )

答案:

q ?1 1 1 ? Q ? ? ? ?? ?r R ? 4?? R 4?? 0 ? R1 ? 2 0 2
电介质,在外电场作用下,分子的正

12、分子的正负荷中心重合的电介质叫做 负电荷中心发生相对位移, ,形成 答案:无极分子;电偶极子

13、一平行板电容器,充电后与电源保持联接,然后使两极板间充满相对介电常数为 ? r 的各 向同性均匀电介质,这时两极板上的电量是原来的 电场能量是原来的 倍 倍;电场强度是原来的 答案: ? r ;1; ? r 倍;

14、一平行板电容器,充电后切断电源,然后使两极板间充满相对介电常数为 ? r 的各向同性 均匀电介质,此时两极板间的电场强度是原来的 答案:1/ ? r ;1/ ? r 15、电介质在电容器中的作用是: (1) 增大电容;提高电容器的耐压能力 16、在静电场中,电位移线从 案:正的自由电荷;负的自由电荷 17、A、B 为两块无限大均匀带电平行薄平板,两板间和左右两侧充满相对介电常数为 ? r 的各 向同性均匀电介质。已知两板间的场强大小为 E0,方向如图,则 A、B 两板所带电荷面密度分
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

倍;电场能量是原来的



(2)

答案:

出发,终止



高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

别为 ? A ?



?B ?
答案: ?

2? 0? r E0

3

;

4? 0? r E0

3

18、一平行板电容器中充满相对介电常数为 ? r 的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电 荷面密度为 ? ? ,则极化电荷在电 容 答案: 器 中 产 生 的 电 场 强 度 的 大 小 为

? ?0
?

19、一平行板电容器始终与一端电压一定的电源相联。当电容器两极板间为真空时,电场强 度为 E 0 ,电位移为 D0 ,而当两极板间充满相对介电常数为 ? r 的各向同性均匀电介质时,电 场强度为 E ,电位移为 D ,则

?

?

?

答案: E = E 0 ; D = ? r D0 。当

?

?

?

?

20、真空中,半径为 R1 和 R2 的两个导体球相距很远,则两球的电容之比 C1/C2= 用细长导线将两球相连后,电容 C= 。今给其带电,平衡后两球表面附近场强之比 E1/E2= R1/R2;4 ?? 0 ?R1 ? R2 ? ;R2/R1 21、一个大平行板电容器水平放置,两极板间的一半空间充有各向同 性均匀电介质, 另一半为空气, 当两极板带上恒定的等量异号电荷时, 有一个质量为 m,带电量为+q 的质点,平衡在极板间的空气区域中, 此后,若把电介质抽去则该质点 运动,向下运动)答案:向上运动 (填保持不动,向上

答案:

22、A、B 两个电容值都等于 C 的电容器,已知 A 带电量为 Q,B 带电量为 2Q,现将 A、B 并 联后,系统电场能量的增量 ?W =

答案:-Q2/(4C) 23、真空中均匀带电的球面和球体,如果两者的半径 和总电量都相等,则带电球面的电场能 量 W1 与 带 电 球 体 的 电 场 能 量 W2 相 比 , W1 答案:< W2 ( 填 <,>,= )

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

24、一空气平行板电容器,极板间距为 d,电容为 C。若在两板中间平行地插入一块厚度为 d/3 的金属板,则其电容值变为 答案:3C/2 三、计算题 1、 三块平行导体板 A、 C, B、 面积都是 200cm2,A、 相距 4.0mm, B A、C 相距 2.0mm,B、C 两板接地,如图所示。如果使 A 板 带正电 3.0 ? 10 C ,忽略边缘效应,问 B 板和 C 板上的感应 电荷各是多少?(12 分) 解:根据静电平衡时,导体中的场强为零,又由 B、C 接地:
?7

?{

? 2 ? ?? 3 ? 4 ? ?? 5 ? 1 ? ?? 6 ? 0

{

(? 3 ? ? 4 分)Q (由A板的总电量得) (4 ) S ?

? ?2 x ? 5 ?d ? x ??由A板的电位得? ?0 ?0

Q?d ? x ? Q?d ? x ? Qx Qx ;? 3 ? ;? 4 ? ;? 5 ? ? 解以上方程组得出: Sd Sd Sd Sd (4 分) B板上感应电荷 :

?2 ? ?

Q?d ? x ? 3.0 ? 10 ?7 ? 2.0 ? 10 ?3 ?? ? ?1.0 ? 10 ?7 ?库? (2 分) ?3 d 6.0 ? 10 C板上感应电荷 : Q B ? ? 2S ? ? Q C ? ? 5S ? ? Qx 3.0 ? 10 ?7 ? 4.0 ? 10 ?3 ?? ? ?2.0 ? 10 ?7 ?库? (2 分) ?3 d 6.0 ? 10

2、 一内半径为 a 外半径为 b 的金属球壳,带有电量 Q,在球壳空腔内距离球心 r 处有一点电 荷 q,设无限远处为电势零点,试求 1)球壳内外表面上的电荷(2)球心 O 点处,由球壳 内表面上电荷产生的电势(3)球心 O 点处的总电势(10 分) 解: (1)由静电感应,金属球壳的内表面上有感应电荷-q,外表面上带电荷 q+Q(2 分) (2)不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的,因为任一电荷元离 O 点的距离都是 a,所以由这些电荷在 O 点产生的电 势为 U ?q

?

4?? 0 a

? dq

??

q 4?? 0 a

(4 分)

(3)球心 O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷 q 在 O 点产生的电 势和代数和

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

U 0 ? U ? q ? U ?q ? U Q ? q ?
(4 分)

q 4?? 0 r

?

q 4?? 0 a

?

Q?q q ?1 1 1 ? Q ? ? ? ? ?? 4?? 0 b 4?? 0 ? r a b ? 4?? 0 b

3、 点电荷 q 放在导体球壳的中心,球壳的内外半径分别为 R1 和 R2。求空间的场强分布,并 画 E-r 和 U-r 曲线(12 分) 解: (a)场强分布:得用高斯定理可求得: 分) (1

? r ? R1 : E ?

q 4?? 0 r
2

? ? ? r ; R1 ? r ? R2 : E ? 0; r ? R2 : E ?

q 4?? 0 r 2

? r (3 分)

(b)电位分布:设距球心为 r 处的电位 U:
? ? ? r ? R 2 : U ? ?r Ed l ?

q 4?? 0 r

R1 ? r ? R 2 ; U ?

q

4?? 0 R 2 ? ? ? R ? q q r ? R 1 ; U ? ?r Ed l ? ?r dr ? ?R dr 4?? 0 r 2 4?? 0 r 2
1 2

?

q ?1 1 1 ? ? ? ? ? 4?? 0 ? r R 1 R 2 ? ? ?

E-r,U-r 曲线如图

4、 两个极薄的同心球壳,内外球壳半径分别为 a,b,内球壳带电 Q1,试问(1)外球壳带多 大电量,才能使内球壳电势为零?(2)距球心为 r 处的电势是多少?(10 分) 解: (1)设外球壳 B 所带电量为 Q2

UA ?
分)
www.ks5u.com

b Q1 ? Q2 Q1 Q ? Q2 Q ?? dr ? 1 ? 1 2 a 4?? r 4?? 0 b 4?? 0 b 4?? 0 0

b ?1 1? ? ? ? ? 0 ? Q2 ? ? Q1 ( 4 a ?b a?

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

(2)当 r ? b 时, U

?

Q1 ? Q 2 Q1 ? b? ? ?1 ? ? (2 分) 4?? 0 r 4?? 0 r ? a?

当a ? r ? b时, U ?

Q1 ? Q 2 Q ?1 1 ? Q ?1 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ??2分 ?;当r ? a时, U ? 0?2分 ? 4?? 0 b 4?? 0 ? r b ? 4?? 0 ? r a ?

5、 有一半径为 R 的接地金属球,距球心 d=2R 处有一点电荷 q(q>0),试求球上的感应电荷 q` (设金属球远离地面及其他物体) (10 分) 解:?金属球在静电平衡情况下是一个等位体,与地等电位,即 U=0。球心处的电位也为 零,根据迭加原理知,球心上电位等于点电荷 q 及球面上电荷在 O 点的电位的代数和: 电荷 q 在球心处的电位:

Uq ?

q 8?? 0 R

(2 分)

球面上的电荷在球心产生的电位:设球面上某面元的电荷面密度为 ? ;

U R ? ??

?dS 1 q? ?2分 ? ? ?dS?2分 ? ? ?? 4?? 0 R 4?? 0 R 4?? 0 R
q 8?? 0 R ? q? 4?? 0 R ? 0?2分?? q ? ? ? q ?2分? 2

由迭加原理得: U ? U q ? U R ?

讨论:q`的大小与 q 到球心的距离有关,当 q 很靠近球面时,即 q 到球心的距离约为 R 时,球面 对点电荷 q 所在处而言,可视为无限大平面,因而有 q`=q 6、 证明静电平衡时导体表面某面元所受的力 F ?

?

?2 1 ? ? ?Sn ? ? 0 E 2 ?Sn ,单位面积受的力 2? 0 2

? ?2 ? 1 ? ? f ? n ? ? 0 E 2 n 式中 E 是导体外部靠近导体表面处的场强.(12 分) 2? 0 2
证:在静电平衡时,对任意导体上取一小面元 ?S ,其面电荷密度为 ? ,如图所示.在导体内侧离小 面 元 ?S 极 近 一 点 P, 小 面 元 ?S 在 该 点 产 生 的 场 强 E 2 p 可 用 无 限 大 带 电 平 面 公 式 表示 :

?

? ? ? ? E1 p = ? n(2 分) ,设导体表面除小面之外其余电荷在 P 点产生的场强为 E1 p ,P 点的总场强 2? 0
是面上所有电荷在该点场强的总贡献,即 E p ? E1 p ? E 2 p ,根据静电平衡条件知,在导体内部场
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

?

?

?

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

强 E内 ? 0 即: E1 p ? E 2 p ? 0?2分?? E 2 p ? ? E1 p ?

?

?

?

?

?

? ? n?2分? ,因 P 点是距 ?S 极近的点,所以小面元 2? 0
? ? n ,?小面元 ?S 所受 2? 0

?S 外的其余电荷在 P 点与面元 ?S 所在处产生的场强是相同的,均为
的力:

? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? F ? E 2 ?S ? ? ?S?n ?2分 ? ? ?Sn ? E ? ?2分 ?? F ? 0 E 2 ?Sn ?2分 ? 2? 0 2? 0 ?0 2
?单位面元所受的力为

?0
2

? E 2 n (2 分)

7、 一导体球壳的内外半径分别为 a 和 b,带有电荷 Q>0,腔内距球心 O 为 r 处有一点电荷 q。 试求球心 O 处的电势(10 分) 解:用高斯定理可证得:金属腔内表面 Sx 所带电量为-q,金属腔外表面所带电量为 Q+q, (2 分)

?球心 O 的电位: U 0 ? U q ? U
? ? q 4?? 0 r q 4?? 0 r ? ? q

?q

?U

q ?Q

?1分? ?

q 4?? 0 r

? ??
Sa

? a dS ? dS ? ?? b ?2分? 4?? 0 a S 4?? 0 b
b

4?? 0 ?q

? a ??
Sa

a

dS ?

4?? 0 b ?? Sb

q

? b dS ?2分 ?
Q ?1 1 1? ?1分? ? ? ? ?? ? r a b ? 4?? 0 b

4?? 0 a

?

Q?q ?2分? ? q 4?? 0 b 4?? 0

8、 如图所示,同轴传输线的内导体是半径为 R1 的金属直圆柱,外导体是内半径为 R2 的同轴 金属圆筒。内外导体的电势分别为 U1 和 U2,试求离轴为 r(R1<r<R2)处的电势(10 分) 解:设外圆柱表面沿轴线单位长度上所带电量为 ? ,P 点是两圆柱体间距离轴线为 r 的任 意 一 点 , 其 场 强 E=

? 2?? 0 r

, 内 外 柱 体 的 电 位 差 :

U1 ? U 2 ? ?

R2

R1

2?? 0 ?U 1 ? U 2 ? R ? ? ?1分? (1) dr?2分? ? ln 2 ?1分?; ? ? R 2?? 0 r 2?? 0 R1 ln 2 R
1

内圆柱体与 P 点的电位差: U 1

? U p ? ?R
r

1

? ? r ?3分 ? (2) dr ? ln 2?? 0 r 2?? 0 R 1

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

r R1 ? r ?3分? ln ? U 1 ? (U 1 ? U 2 ) 由(1)(2)两式可得: U p ? U 1 ? 、 R2 2?? 0 R1 ln R1 ln
9、 如图所示,平行板电容器两极板的面积都是 S,相距为 d,其间有一厚度为 t 的金属板, 略去边缘效应。 (1)求电容 C(2)金属板离极板的远近对电容有无影响?(3)设没有金 属板时电容器的电容为 C0 ? 600 ?F ,两极板间的电势差为 10v。当放厚度 t=d/4 的金属板 时,求电容及两极板间的电势差。 (12 分) 解: (1)AC 间的电容等于 AB 间电容与 BC 间电容的串联,设 BC 间距离为 x

? C AB ?

?0S
d AB

?

?0S
d ?t ? x

?1分?; C BC

?

?0S
d BC

?

?0S
x

?1分?; C ?

C AB ? C BC ? S ? 0 ?2分? C AB ? C BC d ? t

(2)因为 C= (3)
? C0 ?

?0S
d ?t

与 x 无关,所以金属板的位置对 C 无影响(2 分)

? 0S
d

?1分 ?; C ?

??0S
d d? 4

4 Q CU 3 ? C 0 ? 800 ( ?F)?2分 ?? U ? ? 0 0 ?1分 ? ? 10 ? ? 7.5( v)?2分 ? 3 C C 4

10、

三个电容器串联,电容分别为 8 ?F ,8 ?F ,4 ?F ,其两

端 A、B 间的电压为 12v, (1)求电容为 4 ?F 的电容器的电量(2) 将三者拆开再并联(同性极板联在一起)求电容器组两端的电压。 (10 分) 解: (1)根据电荷守恒定律,三个串联电容上的电量相等:? C AB ? 2??F ? (2 分)

? Q ? C AB U AB ? 2 ? 10 ?6 ? 12 ? 24 ? 10 ?6 ?C ?(1分) ? Q1 ? Q 2 ? Q 3 ? 24 ? 10 ?6 ?C ??1分 ?

(2)将三个电容器同性极边在一起后, (如图) 分) (1 ,总电 量:

Q AB ? Q1 ? Q2 ? Q3 ? 3 ? 24 ? 10 ?6 ? 72 ? 10 ?6 ?C ??1分 ? C AB ? C1 ? C 2 ? C 3 ? 20 ??F ??2分 ?? U AB ? Q AB 72 ? 10 ?6 ? ? 3.6?V ??2分 ? C AB 2 ? 10 ?5
版权所有@高考资源网

www.ks5u.com

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

11、

两块“无限大”平行导体板,相距为 2d,都与地连接,在板间均匀充满着等离子气

体(与导体板绝缘)离子数密度为 n,每个 离子带电量为 q。如果忽略气体中的极化现象,可以认为电场分布相对中心平面 OO`是 对称的,试求两板间的场强分布和电 势分布(10 分) 解:选 X 轴垂直导体板,原点在中心平面上,作一底面为 S,长为 2x 的柱形高斯面,其轴 线与 X 轴平行,上下底面与导体板

平行且与中心平面对称,由电荷分布知电场分布与中面对称。设底面处场强大小为 E。应 用高斯定理:

2SE ? ? q
得 E=

2n q S x ?1分? ?0 ? ?0

nqx

?0

(2 分)方向如图所示(2 分) ,由于导体板接地,电势为零(1 分) ,所以

x 处的电势为
d d 2 ? 2 U ? ? Edx?2分? ? ? nq ?? ? xdx? ? ? nq ? ? 2? ??d ? x ??2分? ? ? ?? x x ? ? 0 ?? 0? ?

12、一厚度为 d 的“无限大”均匀带电导体板,单位面积上两面带电量之和为 ? ,试求离左 板面距离为 a 的一点与离右板面距离 为 b 的一点之间的电势差(10 分) 解:选坐标如图。由高斯定理,平板内,外的场强分布为:E=0(1) (板内)Ez= ? ? a、 b

2? 0

b

(板外) 分) (4 点
? d









U a ? U b ? ? E x dx ? ? ?2
a

d b? ? ? ? ?b ? a ??2分? dx ? ?d 2 dx?3分 ? ? d? ?? a ? ? 2? 2? 0 2? 0 0 2 2? ?

13、 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径 R 的导体球带电 (1) 当球上已带有电荷 q 时, 再将一个电荷元 dq 从无限远处移 到球上的过程中,外力作多少功?(2)使球上电荷从零开始增加到 Q 的过程中,外力共
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

作多少功?(10 分) 解: (1)令无限远处电势为零,则带电量为 q 的导体球,其电势为 U=

q 4?? 0 R

(2 分)

将 dq 从无限远处搬到球上过程中,外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电势能 dA=dW=

q 4?? 0 R

dq (4 分)
qdq Q2 ? (4 4?? 0 R 8?? 0 R

(2) 带电球体的电荷从零增加到 Q 的过程中, 外力作功为 A= dA ? 分)

?

?

Q

0

14、两根平行“无限长”均匀带电下、 、直导线,相距为 d ,导线半径都是 R(R《d ) 。导线 上电荷线密度分别为 ? ? 和 ? ? , 试求该导体组单位长度的电容。 (10 分) 解: 以左边的导线上的一点作原点, 轴通过两导线并垂直 X 于导线, 两导线间 x 处的场强为 E= 分) 两 导 线 间 的 电 势 差 为

? ? ? (3 2?? 0 x 2?? 0 ?d ? x ?

U?

? 2?? 0

?

d ?R

R

?1 1 ? ? ? d?R R ? ? d?R ? x ? ?d ? x ??dx ? 2?? ? ln R ? ln d ? R ? ? ?? ln R (4 分) ? ? ? 0 ? 0

设导线长为 L 的一段上所带电量为 Q,则有 ? ?

Q 故单位长度的电容 L

C=

Q LU

??

U

?

ln ? ?d ? R ? ? ? R? ? ?

?? 0

(3 分)

15、在介电常数为 ? 的无限大各向同性均匀介质中,有一半径为 R 的导体球,带电量为 Q,求 电场能量(10 分) 解:由高斯定理可得:导体球内 E1=0(r<R) 分) (2 球外介质中 E2 ? 则电场能量为 W=

Q

4?? r 2

?r ? R? (2 分)

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

2 ? 1 1 ? ? 4?r 2 dr ? Q 2 dr 2 (2分 ) ? Q dW ? ??? ?E 2 dV (2分 ) ? ? ?R ?Q 2 ??? (8?? ) ?R r (8??R ) 2 ? (4??r )? ? ? v v 2

2

? ?

(2 分) 16、 在介电常数为 ? 的无限大各向同性均匀电介质中,有一半径为 R 的孤立导体球,若对 它不断充电使其带电量达到 Q,试通过充电过程中外力作功,证明带电导体球的静电能量

Q2 为 W= (10 分) 8?? R
证:设导体球上某时刻已带有电量 q,如果将一微小电量 dq 从无穷远处移到球上,则外力 克服静电斥力需作功

dA ? ?? Edqdr?2分? ? ? ?
R R ? ?

qdqdr qdq (2 分) ? 4?? R 4?? r 2

导体球从电量为零充到 Q 时,外力作总功为 A=

?

q

qdq

0

?2分? ? Q 4??R

2

8??R
Q2

(2 分) (2

上述名力的功是外界能量转换为静电能量的量度,故导体球的静电能量为 W= 分)

8?? R

17、 两金属球的半径之比为 1:4,带等量的同号电荷,当两者的距离远大于两球半径时, 有一定的电势能,若将两球接触一下再移回原处,则电势能变为原来的多少倍?(12 分) 解:因两球间距离比两球的半径大得多,这两个带电球可视为点时荷,设两球各带电量为 Q,若选无穷远处为电势零点,则两带电球之间的电势能为 W0 ?

5Q 2 (4 分)式中 32?? 0 R 0

R0 为小球半径,当两球接触时,电子电荷将在两球间重新分配,因两球半径之比为 1:4, 故两球电量之比 Q1:Q2=1:4,Q2=4Q1 (2 分) ;但 Q1+Q2= Q1+4Q1=5Q1=2 Q(2 分)

? Q1 ? 2Q ; Q2 ? 4 ? 2Q ? 8Q ( 2 分 ) 当 返 回 原 处 时 , 电 势 能 为 5 5 5
W=

Q1Q 2 16 ? W1 (2 分) 4?? 0 d 25

18、 空气中有一半径为 R 的孤立导体球,令无限远处电势为零,试计算: (1)该导体的电 容; (2)球上所带电荷为 Q 时储存的静电能; (3)若空气的击穿场为 Eg,导体球上能储 存的最大电荷值(12 分) 解: (1)设导体球上带电荷 Q,则导体球的电势为 U=

Q

4?? 0 R

(2 分) ;按孤立导体电容

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

的定义 C=Q/U= 4?? 0 R (3 分) (2)导体球上的电荷为 Q 时,储存的静电能 W=Q2/(2C)=Q2/ 8?? 0 R (3 分) (3)导体球上能储存 Q 时,必须空气中最大场强 E=Q/ 4?? 0 R ? Eg (2 分)
2

因此,球上能储存的最大电荷值 QM ? 4?? 0 R Eg (2 分)
2

19、 两个同心金属球壳,内球壳半径为 R1,外球壳半径为 R2,中间是空气,构成一个球形空 气电容器。设内外球壳上分别带有电荷+Q 和-Q。求: (1)电容器的电容; (2)电容器储 存的能量。 (12 分) 解: (1)已知内球壳上带正电荷 Q,则两球壳中的场强大小为 E=

Q 4?? 0 r 2

(3 分)

两球壳电势差 U12=

?

R2

R1

? ? Q ? 1 1 ? Q?R2 ? R1 ? ? ? ?? E ? dr ? (3 分) ;电容 C=Q/U12(1 4?? 0 ? R1 R2 ? 4?? 0 R1 R2 ? ?

分) ?

4?? 0 R 1 R 2 (2 ?R 2 ? R 1 ?

分)

Q 2 ?R 2 ? R 1 ? Q2 ?1分 ? ? (2)电场能量 W= (2 2C 8?? 0 R 1 R 2

分)

20、 如图所示,平行板电容器两极板相距 d,面积为 S,电势差为 U,中间放有一层厚为 t 的电介质,相对电容率为,略去边缘效应,求: (1)电介质中的 E,D 和 P; (2)极板上 的电量; (3)极板和电介质间隙中的场强; (4)电容器的电容。 (15 分) 解:设空气中的场强为 E0, U ? E0 x ? Et ? E0 ?d ? x ? t ? ? E0 ?d ? t ? ? Et 由高斯定理可知,在两板间 D 处处相等 E0 ?

?

D

?0

;E ?

D

? 0? r

?U ? ?D ?

D

?0

?d ? t ? ?
U? 0 t

D

? 0? r

t?

D? t ?d ? t ? ? ?0 ? ?r

?

d ?t ?

?r

U? 0 ? r ? r d ? (1 ? ? r )t

? ??2分? ? ? ?2分?; E ? D ?

? 0? r

U ?2分?; ? r d ? (1 ? ? r )t

P ? ? 0 ?? r ? 1?E ?

U? 0 (? r ? 1) ?2分? ? r d ? (1 ? ? r )t

( 2 ) 如 图 所 示 , 作 一 柱 形 高 斯 面 , 由 高 斯 定 理 可 得 :

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

? 0 ? D?1分?? Q ? ? 0 S ? DS ?

U? 0 ? r S ?2分? ? r d ? (1 ? ? r )t D

( 3 ) 极 板 和 介 质 间 隙 中 的 场 强 : E0 ?

?0

?

U? r ( 2 分 )( 4 ) ? r d ? (1 ? ? r )t

C=

? 0? r S Q ? (2 分) U ? r d ? (1 ? ? r )t

21、 平行板电容器两极板相距 d,面积为 S,用电源给其充电,当电压为 U0 时,拆去电源, 然后将介质板插入(其厚度为 t,相对介电常数为ε r) ,求此情况下: (1)极板上的电量 Q (2)介质中的 E、D(3)两极板间的电位差 U 及电容 C(15 分) 解 : 1 ) 极 板 上 所 带 电 量 : Q ? U 0 C0 ? (

U 0? 0 S (3 分) (2)用高斯定理求得: ; d

D ??0 ?

Q U 0? 0 (3 分) ? S d

介质中的 D 与空气中的 D 相等, 介质中的场强:E ? (3)空气中的场强

?

?

?

D

? 0? r

?

Q

? 0? r S

?

U0 (3 分) ; ? rd

E0 ?

D0

?0

?

U0 ?1分??U ? E0 ?d ? t ? ? Et ? U 0 ?d ? t ? ? U 0 t ? U 0 ?? r d ? ?1 ? ? r ?t ??2分? d d ?rd ?rd

?C ?

? 0? r S Q ?3分? ? U ? r d ? ?1 ? ? r ?t

22、 如图所示,半径为 R1 的导体球带电是 q,在它外面同心地罩一金属球壳,其内外壁的 半径分别为 R2 与 R3, 已知 R2=2R1, 3=3R1, R 今在距球心为 d=4R1 处放一电量为 Q 的点电荷,并将球壳接地,试问: (1)球壳 带的总电量是多大?(2)如用导线将壳内导体球与壳相连, 球壳带电量是多少?(15 分) 解:点电荷 Q 在球心 O 点的电位: U Q ?

Q 4?? 0 d

(1 分)

S1,S2, S3 三个面上的电荷对球心 O 点的电位贡献:

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

U S ? ??
1

S1

? 1dS q ?1分 ?; U S ? ?? ? 2 dS ? ? q ?1分 ? ( 由 高 ? 4?? 0 R 1 4?? 0 R 1 4?? 0 R 2 4?? 0 R 2
2 S2

斯定理得 S2 现丰的总电量为-q)

U S ? ??
3

S2

? 3 dS Q? ? 4?? 0 R 3 4?? 0 R 3
1 2 3

;根据电位迭加原理,球心 O 点的电位:

U 0 ? U Q ? U S ? U S ? U S ?1分 ? ? ?

R 1 ? Q Q? ? q q ? q q ? 1 1 ? ? ? ? ? ? d R ? R ? R ?又 ? U 0 ? ?R 4?? r 2 dr ? 4?? ? R ? R ??1分 ? ? 4?? 0 ? 3 2 ? 0 0 ? 1 2 ?
2 1

1 ? Q Q? ? q q ? q ? 1 1 ? 3 ? ? ? ??1分 ?解得 : Q? ? ? Q?1分 ? ? ? ?? ? 4?? 0 ? d R 3 R 2 R ? 4?? 0 ? R 1 R 2 ? 4 ? ? ? ?

所以球壳带的总电量为: ?

3 Q ? q (1 分) 4

(2)内外球用导线相连时,仍用电位迭加原理计算球心 O 点的电位:

Q 4?? 0 d

? ??

S2

?dS Q Q? 3 ? 0;即 ? ? 0?2分 ?; 解之得 : Q? ? ? Q?2分 ? 4?? 0 R 2 4?? 0 d 4?? 0 R 3 4

23、 两个同心球壳,其间充满相对介电常数为 ? r 的各向同性均匀电介 质,外球壳以外为真空,内球壳半径为 R1,带电量为 Q1;外球壳内、 外半径分别为 R2 和 R3,带电量是 Q2。 (1)求整个空间的电场强度 E 的表达式,并定性画出场强大小的径向分布曲线; (12 分) ( 2 ) 求 电 介 质 中 电 场 能 量 W0 的 表 达 式 ;( 3 ) 若

?

Q1 ? 2 ? 10 ?9 C , Q2 ? ?3Q1 , ? r ? 3, R1 ? 3 ? 10 2 m, R2 ? 2R1

R3 ? 3R1 ,计算上一问中的 W0 的值(已知 ? 0 ? 8.85 ? 10 ?12 C 2 ? N ?1 ? m ?2 )
解: (1)场强表示式

? ? E1 ? 0?r ? R1 ??1分 ?; E 2 ?

Q1 4?? 0 ? r r
3

? ? r ?R1 ? r ? R2 ??1分 ?; E3 ? 0?R2 ? r ? R3 ??1分 ?;

? Q ? Q2 ? E4 ? 1 r ?r ? R3 ??1分 ? 4?? 0 r 3
R2 Q1 Q 1 2 (2) w0 ? ? ?E 2 dV ?1分? ? ? ? 4?r 2 dr?1分? ? 1 R1 32? 2 ? ? r 4 2 8?? 0 r 2 2 2

? 1 1 ? ? ? ? R R ??2分? ? 2 ? ? 1

(3)将Q1和R1 , R2的 值 代 入 有 e ? :W

Q1 ? 9.98 ? 10 ?8 J ?2分? 16?? R1

24、 证明:半径为 R 的孤立球形导体,带电量为 2Q,其电场能量恰与半径为 R/4,带电量
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

为 Q 的孤立球形导体的电场能量相等(8 分) 证:电场能量 We ?
E? ?Q

?? w dV 讨论带电量为 Q`,半径为 R
e

1 的孤立球形导体:

2 2 ? Q? ?1分?; w ? 1 ? 0 E 2 ? Q ? / 32? 2? 0 r 4 ?1分?;W ? ?R Q2? 4 ? 4?r 2 dr?1分? ? Q ? 1 32? ? r 2 8?? 0 4?? 0 r 2 0

?

?

?

?

R1

dr r2

?2

8?? 0 R1

?2分?; 令Q ? ? 2Q, R1 ? R或令Q ? ? Q, R1 ? R / 4?2分?都可得WC

?

Q2 2?? 0 R

?1分?

即两种情形电场能量相等 25、 一平行板电容器面积为 S,两极板间距离为 d,中间充满均匀 电介质,已知当一板上自由电荷为 Q 时,整块介质的总偶极距为

? P总 ,求电容器中的电场强度(10 分)

? ? P总 ? ? 解:如图所示,整块介质的总偶极矩为 P总 ,所以极化强度 P ? (2 分) n 上 ,n 下 是 ,设 ? sd
电介质上下两面的外法线,

? ? ? ? ? ? ?? 上 ? P ? n上 ? ? Pn ? ? P, ? 下 ? P ? n下 ? Pn ? P (2 分) ,自由电荷激发的场强:

? ? ? Q ? E0 ? 0 rAB ? rAB ?0 S? 0

( 2

分 ) , 极 化 电 荷 激 发 的 场 强 :

? ?? ? P ? ?? ? P? E ? ? 下 rBA ? ? 下 rAB ? ? rAB ? ? 总 rAB (2 ?0 ?0 ?0 Sd ? 0
分)?电容器中电场强度: E ? E 0 ? E ? ? ? ?

?

?

?

P ? Q ? 总 ? S? 0 Sd? 0

?? 1 ?rAB ? ? S? 0 ?

p ?? ? ? Q ? ?rAB (2 分) d? ?

26、 求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布,已知极化强度为 P ,如图所示(8 分) 解:取球心 O 为原点,极轴与 P 平行的球坐标(1 分) ,由于轴对 称性,表面上任一点 A 的 极化电荷面密度 ? ? 只与 ? 角有关(1 分) 。这也是 A 点外法线 n 与

?

?

?

? ? ? P 的夹角,故 ? ? = P ? n =Pcos ? (2 分),这表明:在右半球 ? ? 为正,左半球 ? ? 为负(2
分) ;在两半球分界面上, ? ?

?
2

处 ? ? =0;在 ? ? 0与? 处,则最大(2 分)

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网

高考资源网(ks5u.com)

您身边的高考专家

27、 图中沿 X 轴放置的介质圆柱, 底面积 S, 周围是真空, 已知介质内各点极化矢量 P ? kxi

?

?

? ? (2)求出圆柱内体电荷密 (k 为常数) (1)求圆柱两底面上的极化电荷面密度 ? a 和 ? b ;
度 ? ? (8 分)

? ? ? ? 解: (1) ? a = Pa ? na ? Pa cos? ? ?ka?2分?; ? b ? Pb ? nb ? Pb cos 0 ? kb?2分?
(2)由定义得: ? ? ?

?

?

? ? ? ?? PdS
S

?

?2分? ? ? ( Px? dx ? p x ) S
Sdx

??

Sk dx ? ? k ?2分 ? Sdx

www.ks5u.com

版权所有@高考资源网


相关文章:
更多相关标签: