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9.2 点与直线、两条直线的位置关系


9.2 点与直线、两条直线的位置关系
考 纲 要 求

1、能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交; 2、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 3、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条 平行直线间的距离; 4、能把握对称的实质,并能应用对称性解题。

要点回顾
1.判定两条直线的位置关系 (1)两条直线的平行 ①若 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1∥l2?k1=k2 且b1≠b2 , l1 与 l2 重合? k1=k2 且 b1=b2. ②当 l1,l2 都垂直于 x 轴且不重合时,则有 l1∥l2 . A1B2=A2B1 且 B1C2≠B2C1 ③若 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 则 l1∥l2?___________________ (2)两条直线的垂直 k1· k2=-1 ①若 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1⊥l2?____________ . 垂直 . ②两条直线中, 一条斜率不存在, 同时另一条斜率等于零, 则两条直线 _________ A1A2+B1B2=0 ③若 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 则 l1⊥l2?____________________ .

(3)直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 相交的条件是 k1≠k2. 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 相交的条件是 A1B2≠A2B1 .
2.两直线的交点
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,
1 + 1 + 1 = 0, 得方程组 若方程组有唯一解,则l1与l2_____ 相交,此解就是两直线交点 2 + 2 + 2 = 0,

平行 ;若方程组有无数个解,则l1与l2______ 重合 . 的坐标;若方程组无解,则l1与l2_____

3.三种距离公式 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 1 (1)点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离:|AB|= 2 _______. Ax0 ? By0 ? C (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:d=_________ 2 2 A ? B (3)两平行直线间的距离: 已知l1,l2是平行线,求l1,l2间距离的方法: C2 ? C1 ①求一条直线上一点到另一条直线的距离; 2 2 A ? B ②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0, (C1≠C2)则l1与l2之间的距离d= _______________.

4.中心对称与轴对称
(1)中心对称:求P(x0,y0)关于点M(a,b)对称的点P/的基本方法是转化为M是 (2a-x0,2b-y0。特例 ) 线段PP/中点解,即P/__________ :当a=0,b=0时, P(x0,y0)关于原点 (-x0,-y0) 的对称点为P/_______ (2)轴对称:求已知点P(x0,y0)关于已知直线l:y=kx+b的对称点P/(x,y)的基 本方法是转化为求方程组的解,即有 y?y
/

?k ? ?1 __ ?PP ? l ?__________ x ? x ? ? ? y? y 0 / x_ ? x0 __________ 线段 PP 的中点 P ? l 0 ? ? 0 ?k? ?b
0

2

2

探究展示
考点1两条直线的平行与垂直 例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1⊥l2时,求a的值. 对点训练1(1)已知直线l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a=-1”是“l1⊥l2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

(2)已知两条直线 l1:ax-y+a+2=0,l2:ax+(a2-2)y+1=0,当 a 为何值时, l1 与 l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.

精讲点拨
考点3距离公式的应用 例3直线l经过点P(2,-5)且与点A(3,-2)和点B(-1,6)的距离之比为1∶2,求直线l的方程. 对点训练3 已知点P(2,-1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程. (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说 明理由.

考点4对称问题 例4已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.

对点训练4 的直线方程.

光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在

典例已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||最大.
思想方法——转化思想在对称问题中的应用 1.若在直线l上找一点P,使点P到两定点A,B的距离之和最小,要看A,B两点相对直线l的 位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的 同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直 线l的交点即为所求. 2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相 反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l 的交点即是所求.

考点2直线的交点问题 例2求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线 l的方程. 对点训练2
A.-1

(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=(
B.

)

C.2

D.

(2)过两直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为 .

归纳延伸
1.求两直线交点坐标就是解方程组.即把几何问题转化为代数问题. 2.要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点. 特别提示:求两平行线间的距离时,一定化成 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 的形式.

3.注意归纳题目类型.体会题目所蕴含的数学思想方法.如数形结合的思想;方程与函 数的思想;分类讨论的思想.

课后作业:及时完成考点规范练43 预习作业:圆的方程


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