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苏州市2011-2012学年高二教学调研测试数学文科试卷+答案


苏州市 2011-2012 学年高二教学调研测试
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A ? { 2,3 },B ? { 2,2a ? 1 },若 A ? B,则 a ? 2. 设 i 是虚数单位,计算复数 ▲ .

3 ? 4i ? 1 ? 2i
▲ .





1 3. 函数 y ? ( ) |x| 的值域为 3

4. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a4 ? a14 ? 2 ,则 S17 ? 5. 抛物线 x2 ? 4y 上的点 P 到焦点的距离是 4,则点 P 的纵坐标为 6. 已知角 ? 的终边过点 P(sin

▲ ▲ ▲



3π 3π ,cos ) ,且 ? ? [0, 2π ) ,则 ? ? 4 4



7. 已知函数 f(x)是定义在 [?1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 1) ? f (1 ? 3x) ,则实数 x 的取值范围 是 ▲ .
P

8. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知底面 ABCD 是矩形,AB ? 2,

AD ? a,PD⊥平面 ABCD,若边 AB 上有且只有一点 M,使得 PM
⊥CM,则实数 a ? ▲ .
A D C

9. 在数列{an}中,若 a1,a2 ? a1,a3 ? a2,?,an ? an-1,? 是首

1 项为 1,公比为 的等比数列,则 a5 ? 2

M

B



. ▲ .

10.函数 f ( x) ? x2 ? (m2 ? 2) x ? m 在 ??1,1? 上零点的个数为

11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长为 a,b,c,已知 b ? c ? 1 ? 2 ,∠B ? 30?,∠C ? 45?, 则a? ▲ .

12.若圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1上存在两个点 P,Q,它们到直线 y ? kx ? 1 的距离都等于 1,则实数 k 的取值范围为 ▲ .

13.已知 a ? 3 ? 2 ,b ? 6 ? 5 ,要比较 a 与 b 的大小,某同学想到 了用斜率的方法,即将 a,b 改写为 a ?
3? 2 6? 5 ,b ? ,通 3?2 6?5

y

A x F

过画图,利用斜率发现了它们的大小关系.若 c ? 3 3 ? 3 2 ,
d ? 3 6 ? 3 5 ,则 c

O



d. (在 “ <,?,> ”中选一个填空) B

x2 y 2 14.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

1

3 的右焦点为 F, 点 A, B 在椭圆 E 上, 直线 AB 经过坐标原点 O. 若 AF⊥x 轴,cos ?AFB ? ? , 5
则椭圆 E 的离心率 e = ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3sin x cos x ? 1 . (1)求 f(x)的值域; (2)写出 f(x)的单调增区间; (3)若 x?[0, π ],求使得 f(x) ? 1 成立的 x 的值.

2

16. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC ? AA1 ? 3a,BC ? 2a,D 是 BC 的中点,E,F 分别 是 A1A,C1C 上一点,且 AE ? CF ? 2a. (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求证:BE∥平面 ADF. C1 A1
1 1

B1 F

1

E

C 17. (本小题满分 14 分) 如图, 点 F1, F2 为椭圆 E: B 为椭圆 E 的两个顶点.
x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, 点 A, 4

A

D

B

(1)若 Rt△F1F2C 的直角顶点 C 在椭圆 E 上的第一象限内,求点 C 的坐标; (2)设直线 l:x ? 4,过点 A 作倾斜角为 30° 的直线 m 分别交直线 l 及椭圆 E 于点 P,Q, 求△BPQ 的面积 S. y m l Q P

A

F1

. .

O

F2



B



x

3

18. (本小题满分 16 分) 如图所示,某企业拟建造一个体积为 V 的圆柱型的容器(不计厚度,长度单位:米) .已知 圆柱两个底面部分每平方米建造费用为 a 千元,侧面部分每平方米建造费用为 2a 千元.假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关,设圆柱的底面半径为 r,该容器的总建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式; (2)求该容器总建造费用最小时 r 的值.

. r
19. (本小题满分 16 分) 设等差数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n (n ? N? ) , 各项均为正数的等比数列{bn}中, b1 ? a2, b3 ? a6. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn ?
1 ,Tn 为数列{cn}的前 n 项和.问是否存在正整数 m,n an ?1an ? 2

(1 ? m ? n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请 说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? | x ? a | . (1)若 a ? 0,求方程 f ( x) ? x 的解集; (2)若函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 f ( x)≥1 在[?1,1]上恒成立,求正实数 a 的最小值.

4

2011-2012 学年高二期末测试

数学(文科)
一、填空题 1.2 6. 2.?1?2 i 7.0≤x < 3.?0,1]

参考答案
4.17 9. 5.3 10.1

2012.7

7π 4

1 2

8.1 13.>

31 16 1 2

6? 2 2 二、解答题

11.

3 12. (??, ) 4

14.

1 3 3 π 3 sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? .?????? 2 分 15.解: (1) f ( x) ? cos 2 x ? 2 2 2 6 2 1 5 ∴f (x)的值域为 [ , ] . ??????? 4 分 2 2

(2)由 ? 得

π π π , ? 2kπ≤2x ? ≤ ? 2kπ ( k ? Z ) 2 6 2 π π . ? kπ ≤ x ≤ ? kπ ( k ? Z ) 3 6

??????? 6 分

?

∴f(x)的单调增区间为 [? (3)由 f(x) ? 1,得 sin(2 x ? ∵x?[0, π ],∴ ∴ 2x ? ∴ x?

π π . ??????? 8 分 ? kπ , ? kπ] ( k ? Z ) 3 6
??????? 10 分 ??????? 12 分

π 1 ) ?? . 6 2

π π π ≤2 x ? ≤2π ? . 6 6 6

π 7π 11π 或 . ? 6 6 6 π 5π 或 . 2 6
??????? 14 分 C1 A1
1 1

16. (1)证明:∵AB ? AC,D 为 BC 中点, ∴AD⊥BC. ????? 1 分 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∵B1B⊥底面 ABC,AD ? 底面 ABC, ∴AD⊥B1B. ????? 2 分 ∵BC B1B ? B,∴AD⊥平面 B1BCC1.????? 3 分 ∵B1F ? 平面 B1BCC1,∴AD⊥B1F. 在矩形 B1BCC1 中, ∵C1F ? CD ? a,B1C1 ? CF ? 2a, ∴Rt△ DCF ≌ Rt△ FC1B1. ????? 4 分

B1 F

1

E M C A

D

B

5

∴∠CFD ?∠C1B1F.∴∠B1FD ? 90° . ∴B1F⊥FD. ????? 6 分 ∵AD FD ? D,∴B1F⊥平面 AFD. ????? 7 分 (2)连 EF,EC,设 EC AF ? M ,连 DM , ∵ AE ? CF ? 2a ,∴四边形 AEFC 为矩形,∴M 为 EC 中点. ??? 10 分 ∵D 为 BC 中点,∴ MD / / BE . ?????? 12 分 ∵ MD ? 平面 ADF , BE ? 平面 ADF , ∴ BE / / 平面 ADF . ?????? 14 分 17.解: (1)椭圆 E 中,a2 ? 4,b2 ? 1,c2 ? 3, F1(? 3 ,0) ,F2( 3 ,0) , A(?2,0) ,B(2,0) ,设 C(x,y) . ∵∠F1CF2 ? 90° ,∴OC ? OF2 ? 3 .则 x2 + y2 ? 3.
x2 8 1 ? y 2 ? 1 ,∴x2 ? ,y2 ? . 4 3 3 ∵点 C 在第一象限内,x ? 0,y ? 0,

??????? 2 分

??????? 4 分



∴x?

2 6 3 3 2 6 ,y? . 即 C( , ) . 3 3 3 3

??????? 7 分

(2)直线 AQ 方程为: y ? 与椭圆 E 方程

3 ( x ? 2) . 3

x2 ? y 2 ? 1 联立得 4

7 x 2 ? 16 x ? 4 ? 0 ,

??????? 9 分 ??????? 11 分 ??????? 12 分

2 2 4 即 (7 x ? 2)( x ? 2) ? 0 .∴xQ = ? .则 Q (? , 3) . 7 7 7
又 P(4, 2 3) ,

1 4 20 ∴△BPQ 的面积 S = S△ABP ? S△ABQ ? ? 4 ? (2 3 ? 3) ? 3 .???? 14 分 2 7 7
18.解: (1)设圆柱的高为 h, V ∵ V ? π r 2 h ,∴ h ? 2 . πr ∴ y ? a ? 2π r 2 ? 2a ? 2π rh ? 2aπ r 2 ? (2) y? ? 4aπ r ?

?????? 2 分

4aV ?r > 0). r

?????? 6 分 ?????? 8 分

4aV . r2
3

令 y ? ? 0 ,得 r ?

V . π
6

?????? 10 分

r
y?

(0, 3

V ) π

3

V π

?3

V ,??? π

? ↘

0 极小值

? ↗

y

??????? 15 分 ∴该容器总建造费用最小时 r ?
3

V . π

??????? 16 分 ??????? 1 分 ??????? 3 分 ??????? 4 分

19. (1)解:n ? 1 时,a1 ? S1 ? ? 1. n≥2 时,an ? Sn ? Sn ? 1 ? 2n ? 3. 上式对 n ? 1 也适合,∴an ? Sn ? Sn ? 1 ? 2n ? 3 (n ? N? ) . 则 b1 ? a2 = 1,b3 ? a6 ? 9, ∵bn > 0,∴b2 ? 3,公比 q ? 3, ∴bn ? 3 n ? 1. (2)∵ cn ?
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an ?1an ? 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

??????? 6 分 ??????? 8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( . ??? 10 分 ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 m n 则 T1 ? , Tm ? , Tn ? . 3 2m ? 1 2n ? 1 设 T1,Tm,Tn 成等比数列, m 2 1 n 则( . ) ? ? 2m ? 1 3 2n ? 1 3m 2 ∴n ? . ??????? 12 分 ?2m 2 ? 4m ? 1 令 n > 0,得 2m( m ? 2) ? 1 . ∵m 是正整数,∴m ? 2. ??????? 14 分 此时 n ? 12, 因此,当且仅当 m ? 2,n ? 12 时,T1,Tm,Tn 成等比数列. ??????? 16 分
20.解: (1)a ? 0, f ( x) ? x ,即 x3 ? | x | ? x . 当 x≥0 时, x3 ? x ? x ,∴x ? 0. ?????????? 1 分

当 x < 0 时, x3 ? x ? x ,∴x2 ? 2.则 x ? ? 2 . ?????????? 3 分 ∴方程 f ( x) ? x 的解集为 { 0, ? 2 }.
3 ? ? x ? x ? a, x≥a, (2) f ( x) ? ? 3 ? ? x ? x ? a, x ? a.

?????????? 4 分

7

当 x > a 时, f ?( x) ? 3x2 ? 1 > 0 恒成立, ∴ f ( x) 在 (a,??? 上是增函数. 当 x < a 时, f ?( x) ? 3x2 ? 1 ,当 a≤ ? ∴ f ( x) 在 ( ? ?,a ? 上是增函数. 综上所述,a≤ ?
3 . 3

?????????? 6 分
3 时, f ?( x) ? 3x2 ? 1 > 0 在( ? ?,a ?恒成立, 3

?????????? 8 分

(3) f ( x)≥1 ,即 x3 ? | x ? a |≥1 ,即 | a ? x | ≥1 ? x3 . ∵上式对一切 x?[?1,1]恒成立, 将 x ? ?1 代入,得 | a ? 1| ≥2 ,又 a > 0,∴a≥1. ?????????? 10 分 则 x3 ? x ? a≥1 ,即 a ≥? x3 ? x ? 1 对一切 x?[?1,1]恒成立. ????? 12 分 设函数 h( x) ? ? x3 ? x ? 1 , ∵ h?( x) ? ?3x2 ? 1 ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? ? x
h?( x)
h( x)

3 . 3

?1

(?1, ? ?

3 ? 3

?

3 3

(?

3 3 , ? 3 3

3 3

?

3 ,1? 3

1

0
1? 2 3 9

? ↗

0
1? 2 3 9

? ↘ 1

1



?????????? 15 分 ∴ a ≥1 ?
2 3 时, a ≥? x3 ? x ? 1 对一切 x?[?1,1]恒成立. 9

∴正实数 a 的最小值为 1 ?

2 3 . 9

?????????? 16 分

8


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