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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4双基限时练28]


双基限时练(二十八)
3π? ? 3 α 1.已知 cosα=-5,且 α∈?π, 2 ?,则 cos2的值为(
? ?

)

5 A. 5 2 5 C. 5

5 B.- 5 2 5 D.- 5

3π π α 3π α 解析 ∵π<α< 2 ,∴2<2<

; 4 ,∴cos2<0. α 3 α 1 由 cosα=2cos22-1=-5,得 cos22=5, α 5 ∴cos2=- 5 . 答案 B 1-cos?π+α? 等于( 2 α B.cos2 α D.-cos2
? ?

2.设 α∈(π,2π),则 α A.sin2 α C.-sin2

)

α ?π ? α 解析 ∵α∈(π,2π),∴2∈?2,π?,∴cos2<0. ∴ 1-cos?π+α? = 2 1+cosα α = |cos 2 2|

α =-cos2. 答案 D )

3. 函数 y=8sinxcosxcos2x 的最小正周期为 T, 最大值为 A, 则( A.T=π,A=4 π B.T=2,A=4

C.T=π,A=2 解析

π D.T=2,A=2

y=8sinxcosxcos2x=4sin2xcos2x=2sin4x,

2π π ∴最小正周期 T= 4 =2,最大值 A=2. 答案 D )

1 4.若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为( cos α+sin2α 10 A. 3 2 C.3 5 B.3 D.-2

1 解析 ∵3sinα+cosα=0,∴tanα=-3. sin2α+cos2α 1 = cos2α+sin2α cos2α+2sinαcosα 10 ? 1?2 ?- ? + 1 9 10 tan α+1 ? 3? = = = =3. ? 1? 1 1+2tanα 1+2×?-3? 3 ? ?
2

故应选择 A. 答案 A )

5.若 f(x)=cos2x+8sinx,则它的最大值和最小值分别是( A.最大值是 9,最小值是-9 B.最大值不存在,最小值为 7 C.最大值是 7,最小值是-9 D.最大值是 7,最小值不存在 解析 f(x)=cos2x+8sinx=1-2sin2x+8sinx =-2(sin2x-4sinx)+1=-2(sinx-2)2+9. ∵x∈R,-1≤sinx≤1,

∴当 sinx=1 时,f(x)有最大值 7; 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-9. 答案 C
? ?

π? ? 6.使 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)为奇函数,且在区间?0,4?上 是减函数的 θ 的一个值是( π A.-3 2 C.3π
? ?

) π B.3 4 D.3π
? ?

π? π? ? ? π 解析 f(x)=2sin?2x+θ+3?,当 θ 取-3时,为奇函数,但在?0,4? π 4 2π 上递增;θ 取3和3π 时为非奇非偶函数;当 θ 取 3 时,f(x)=-2sin2x 符合题意. 答案
?

C
? ? ?

α? ? α ?π α? 7.?sin2+cos2?2+2sin2?4-2?的值等于__________.
?π ? 1-cos?2-α? ? ? 解析 原式=1+sinα+2· 2

=1+sinα+1-sinα =2. 答案 2 3 8.函数 y= 3sinxcosx+3cos2x-2的最大值为________. 解析 1+cos2x 3 3 y= 2 sin2x+3× -2 2

3 3 = 2 sin2x+2cos2x

π? ? = 3sin?2x+3?≤
? ?

3.

答案

3

sinA+sin2A 9.化简: =________. 1+cosA+cos2A sinA+2sinAcosA 解析 原式= cosA+2cos2A = sinA?1+2cosA? =tanA. cosA?1+2cosA?

答案 tanA x 2cos22-sinx-1 10.若 tanx= 2,则 =________. sinx+cosx x 2cos22-sinx-1 sinx+cosx

解析 = =

cosx-sinx 1-tanx = sinx+cosx tanx+1 1- 2 =2 2-3. 2+1

答案 2 2-3 θ 2cos22-sinθ-1 11.已知 tan2θ=-2 2,π<2θ<2π,求 π? . ? 2sin?θ+4?
? ?

θ 2cos22-sinθ-1 cosθ-sinθ 1-tanθ 解 = = , π? ? cosθ+sinθ 1+tanθ 2sin?θ+4?
? ?

2tanθ ∵tan2θ=-2 2,∴ =-2 2. 1-tan2θ

2 ∴ 2tan2θ-tanθ- 2=0.∴tan2θ- 2 tanθ-1=0. 2 ∴tanθ= 2或 tanθ=- 2 .∵π<2θ<2π, π ∴2<θ<π,∴tanθ<0. 2? ? 2? 2 ? ∴tanθ=- 2 .∴原式= =3+2 2. 2 1- 2 1-?- 12.
?

如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=a,AD=b,试求其外接矩形 EFGH 面积的最大值. 解 设∠CBF= θ,则∠EAB=θ, EB=asinθ, BF=bcosθ, AE=

acosθ,HA=bsinθ, 所以 S 矩形 EFGH=(bsinθ+acosθ)(bcosθ+asinθ)=b2sinθcosθ+absin2θ ?a2+b2? +abcos θ+a sinθcosθ= 2 sin2θ+ab.由|sin2θ|≤1, 知当 θ=45° 时,
2 2

1 S 矩形 EFGH 取得最大值为2(a2+b2)+ab. x x x 1 13.已知函数 f(x)=cos22-sin2cos2-2. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若 f(α)= 10 ,求 sin2α 的值.

分析

(1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将 f(x)化成 f(x)=

Asin(ωx+φ)形式.再求解. (2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值. 解 x x x 1 1 1 1 (1)由已知 f(x)=cos22-sin2cos2-2=2(1+cosx)-2sinx-2=

2 ? π? ?x+ ? 2 cos? 4?. 所以函数 f(x)的最小正周期为 2π,值域为?-
? ?

2 2? ?. , 2 2?

π? 3 2 2 ? (2)由(1)知,f(x)= 2 cos?α+4?= 10 , ? ? π? 3 ? ∴cos?α+4?=5.
? ?

3 2 18 ∴cosα-sinα= 5 ,平方得 1-sin2α=25. 7 ∴sin2α=25.


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