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2013年北京市中学生数学竞赛复赛


年第



竞 赛之 窗

年北 京 市 中 学 生 数 学竞 赛 复 赛 高
(



)

中田 分 类

文献 标识 码

:

文章 编 号

:





填 空 题 每 小题

分 共
,



)

已 知 实数



满足
的 数 值 为 元素 的 集 合 是

方程
则 以 实数
的 全 部整 数 解
, ,





的集 合是

如图

已 知 菱形

的 顶点
,



在直





(




)

已 知 二次 方 程



线


上 且顶点 ( 在 曲 线 轴 则


一 上 似

平行
`




(

的根的

倍 证

个 正 整 数 如 能 表 示 为 若干 个正 整 数 平 方 的 算 术 平 均 值 则 称 此 数 为 好 整





)

(



,




'




?


,

9气


,





均 为 好 整 数 记 好整 数 的 集 合 为
,

正整 数 的 集 合 为
(

证明






证明


可写

,

函数


,

使对



切的

,













(

个 不 同 的 正整 数 的 平 方 和 娜 中 已知 分
,


,



,





分别 为 边


,



上 的点 且
,

如图
°

在厶



,

已 知
,


,

使 交 点 联结
,







尺 证明



,

是边

上的 动点 以

为直径





分 高 数 学 竞 赛共设 有 个 考场 生 所 三 乙 丙 学 校 的 领 队 各 自 将本 校学 人 数相





(



分别 与


交于点



若弦



同 的考场归 为



组 经 统计 甲 校 共 有
,


组 各组
,

度 的 最 小值 为

的 考 场 数分 别 为 的 考 场 数分 别 为


,

,

;

乙 校 共有

组 各组
,



,


,

;

丙 校 共有
巳知
,

组 各组
,

的 考 场 数分 别 为

,

,


, ,

广

,

,

包含 了
,

的 所有 整

数 证 明 能 找 到 三 个 考 场 至 少有 两 所 学 校 在 这
:

三 个 考 场 中 的 选 手人 数 各 自 是 相 同 的

参 考 答 案
义一





中 等 数 学





,


,





°




的 最小值为
,

,


,

的 最小 值 为 及

若 方程 有整 贿
均 为 整 数 其乘 积 等 于
,

,


`

从而 当 因此 当
,





时 他 的 最 小值 为

的 最 小值 为



,

因为


奇 偶 性相 同 所 以 它 们 均 为 偶 数
,

,

故 方 程 左边 被
,

整除 而右边
,



,

矛盾
由 纖知

于 是 方 程无整 数解


因为


,

所以

,







,





,







,



或及
因此
,


(





由 对 称 性 知 所 求集 合 为
二、 由

$
,

菱形 雇

题 设知




,










的两个根 则
的根

将 进


代入式 ① 得

巧 均 为 二 次方程

步 令 由 式 ①得
,

由 韦 达 定 理知


;

同理
n



— , ,








,



如图

联结





尺 由 上 两 式分别得

从而








,

由 針好整 数均为 正整数
'

,





而对 每个
°

均有







为 好整 数 即
,





年第



于是

,

因此

,

于是 财 为
,

的外 心
°

只需 从

中 去 掉两 个 由 勾 股
,

从而 义

定理 知
,




°

,

°

'



故 于是

四 点共 圆

。 。

因 此 先从 数
,
,

中 去掉



:

再添 加


,



即将

写成 了

个 不 同 的 正 整 数的 平






因为
,

方和



,



如图

,





包含 了


的整数 所 以
,

,

的 角 平分 线 分 别 与

交于 点




联结



因 为

,



,







所以
°

,

于是




… , , ,



,



… ,

,



,

,





,

恰是

,


`



个排 列
:



因此

,

接 下 来 证 明 能 找 到 三 个考 场 使得 它们 中 至
:

,



°
`




°

°

°

少 有 两所学 校 每所 学校 选 手 的 人 数分 别 相 同 这 不 妨设 个 考场记为 组 是 甲
'

,

,

校 选 手 人数 相
于是
因此
, ,

个考 场

,

由 于 每个 考 场 中 还

,







,

$』







分别 四 点 共 圆
°
,

有 乙 校 和 丙 校 的 选 手 它 还 可 归 入 其 他 两 所学 校 矣 的 分组 由 知 必 有 乙 校 分 出 的 组数 或
,




丙校 分 出 的 组 数 组数 不 大 于
组的

不 大于

,

不 妨设 乙 校 分 出 的

从而 因为


,





四 点共 圆 所 以
°


,

个 考 场 分 到 这 不 超过 个 乙 校 分 组是 至 少 三 个 组 的 考 场 出 的 组 中 去 必有 显然 这三个 组 考场 的 甲 校 选 手 人 数 相 同 而 这 三 个 考场 又 同 属 于 乙 校 分组 中 的 某 组 它们


,

,

,

,



,



°

乙 校 选 手人 数也 相 同

李 延林

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