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2008年全国高中数学联赛加试题及参考答案


中 学生 数 学 ? 2 0 0 9年 2月上 ? 第3 6 3期 ( 高中)  

,  

富 

2 0 0 8年 全 国高 中数 学联 赛  加 试题 及 参 考答 案 




竞   赛 
_啼   崎 


r />( 本题满 分 5 0分 )  

解得 c 。 s a 一, /   g 或
c 。 sa 一 一  

1  ‘ 舍去 )
,  

如图 1 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD,   B+  D 

<1 8 0 。 , P是 平 面上 的 动点 , 令 . 厂 ( P) 一P A?  
BC+ PD ?CA4 - PC ? AB.  

故a 一3 0 。 ,   AC E=6 0 。 .   由已知 
BC

富  

(I) 求证 : 当- 厂 ( P) 达到最小值 时, P, A,  
B, C 四点 共 圆 ;   ( Ⅱ) 设 E是 A ABC 外 接 圆 0 的AB上 一 





 



 



 

,  

有 s i n (   EAc一 3 0 。 ) 一(   一1 )?  
s i n   EA C ,  

点 , 满 足 :  一 譬 ,   B L C / _ 4 3   E C B —   1  
EC A, 又 DA, DC是 o0的切 线 , Ac一√ 2 , 求 
厂 ( P ) 的最小值 .  

即 

/E AC一 百 1   C O S   EA c 一 (   一 1)  

s i n   EA C ,  
D 

解 法 一 (I) 如图 1 ,   由托 勒 密 不 等 式 , 对 平 面  上 的 任 意 点 P, 有 P A ?  
BC + PC ? AB ≥ PB ?  
AC.  

整 理 得 

s i n  E Ac 一百 1   C O S  


,  

故t a n  E AC -—  一2 -√ 4 3 ,  
2 -43  

可 得  EAC= 7 5 。 ,从 而  E一 4 5 。 ,   DAC  
一  

因 此 f( P)一 PA ?  
BC+ PC ?AB+ PD ?CA 

网 1  

DC A一  E一4 5 。 , △ADC为 等 腰 直 角 i  又AAB C也 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 B C=  

角形. 因 AC=, / 2 , 则C D=1 .  
/ g , B D   一1 +2 —2? 1? , / 2 c o s 1 3 5 。 一5 , B D=  .  
故 _ 厂 ( P)   = = = B D? AC=   ?   = = =  
解 法 二 (I) 如 

≥ PB ?CA+ PD ?CA 
===

( PB+ PD)?CA.  



因为上面 不等 式 当且 仅 当 P, A, B, C顺 次  共 圆时取等 号 , 因此 当且仅 当 P 在AAB C的外  接 圆且在A C 上时 , 厂 ( P ) 一( P B+P D) ? C A .   又因 P B4 -P D≥ B D, 此 不 等 式 当且 仅 当 

.  

图 2 , 连接 B D 交 
△ AB C的 外 接 圆 0  

D 


、   、 、  


B, P, D共线且 P在 B D 上 时取 等号 . 因 此 当 
且仅 当 P为 △AB C的外 接 圆与 BD 的交 点 时 ,   厂 ( P) 取最 小值 厂 ( P)   。   一AC? B D.   故当 厂 ( P ) 达最小值时 , P, A, B, C四点共 圆.   ( Ⅱ) 记  E C B一口 , 则  EC A一2 a ,  

于 P。 点( 因为 D 在  oo 外 ,故 P 。 在 
BD 上 ) .  

、  、
,  





 

过 A, C, D分 别  作P 。 A, P 0 C , 尸 0 D 的 

图2  

瓦 2 a _4 一 g   F hi E ̄f gNN  AE一   s i n
,  

垂线 , 两两 相交 得 △A B   C   , 易 知  在 △AC D   内, 从而 在 △A   B   C 】内 , 记 AA B C之 三 内角 分 
别为 3 2 , Y , z , 则  AP 0 C一1 8 0 。 一  —z - , 4 又 因  B   G_ L   P 0 A, B - A   _ 上 I   P 0 C, 得  B   一  ,   同理 有  A1 二z - ,   C   一  ,  
所 以△ A1 B1   C 1 ∽ △ AB C .  
设 B1 C l — BC,   C1 Al =A C A,  

从 而瓜 i n 3 a 一2 s i n 2 a ,  
即  ( 3 s i n a 一4 s i n 3 a ) 一4 s i n a C O S a,  

谚  毋 

所以3   一4   ( 1 一C O S 2) -4 c o s 口 一 0,  

整理 得 4   c O S 2 f -4 c o s 口 一√   一0 ,  

穆 

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● 

2 6 ? ? 电 子 m   箱 :   @   n i   。   ? .   t .  

中学生数学 ? 2 0 0 9 年 2 月上 ? 第3 6 3期 ( 高中)  

A, B   =) L AB, 则对 平 面上 任 意点 M , 有 
2 f ( P o ) 一  ( P o A? BC +  D ? C A+Po C? AB )  


B 1   C 1 一B D=√1 +2 —2? 1 ? , / 2 c o s 1 3 5 。 =4 g ,  
5  所 以 厂 故 =4 ( P )   一2? 4   5? 1 一  



P0 A ?B1 C1 + P。 D ?C l A1 + P0 C ?A 1 Bl  
2 S△ AB 1Ci  


甾 砷   



≤ M A ?Bl C  +M D ?Cl A1 + M C ?A1 B 
一  

解 法三 ( I) 引进 复 平 面 , 仍 用 A, B, C等  代 表 A, B, C所 对应 的复数 .  

( M A ?BC+ M D ?C A+M C ? AB )  

一  - 厂 ( M) ,  

由三角形 不 等式 , 对 于复数  , z   , 有 

费   赛  
_  

从而 - 厂 ( P o ) ≤_ 厂 ( M) .   由 M 点 的任 意性 , 知 P 。 点 是使 . 厂 ( P) 达 最 

  f z - f 十i   f ≥f   z 。 +  i ,  
当且 仅 当  与 。 ( 复 向量 ) 同 向时取等 号.  

  。

小值 的点 .   由点  在 ( 三 ) 0上 , 故 P 0 , A, B, C四点共 圆.  
( Ⅱ) 由( I) , 厂 ( P) 的最 小值 
9 



f   ?   f +f   ?   I   ≥I   ? 蔚 +  . 蕊 I ,  

富  

所以 I ( A—P ) ( c —B) I +I ( c —P ) ( B —A) I   ≥l ( A- - P) ( c —B) +( C- - P) ( B—A) I ① 


f ( P o ) 一亍5 △ A   B   c   一2   B c ,  
记  EC B—a , 贝 4  E C A一2 a ,  
由 正 弦 定 理 有  一  一   ,  

l ~P ? C -A ? B+ C ? B+P ? A     l

== =

『 ( B -P ) ( C -A) I —I 商 1 .I   I ,  

从而 1   l ?I   l 十l   l ?I   l   +f 商 1 .} 萌 f   ≥I 葡 I ?I   l +I 商 1 .1   I   ( I 葡 I +J 商 I )?I   J   ≥1 茄 1 .1   l  


从 而√ 3 s i n 3 a =2 s i n 2 a ,  
且 口 √ 3 ( 3 s i n a 一4 s i n 。  ) = = = 4 s i n 口 C O S a ,  

② 

所以3 √ 3 ~4 √ 3 ( 1 一C O S   a ) 一4 c o s a 一0 ,  

①式 取 等号 的条 件是  复数 ( A—P) ( C—B) 与( C —P) ( B~A) 同 

整 理得 4 √ 3 c o s 。 a ~4 c o s a ~√ 3 —0 ,  
解得 。 o  一   或 。 。   一 一  =( 舍去) ,  
2, / 3  

向, 故 存在 实 数 >0 , 使 得 
( A — P)( C— B ) 一 ( C— P)( B— A),  
A — P  .B — A  C- —P — —  — C- — B’  


故 a 一3 0 。 ,   AC E=6 0 。 .  

由已知丽 BC 一 ̄ /   一1 一  s i n   r  E AC~3 0 。  
s i n   E A C  ’  

有s i n (  E Ac ~3 0 。 ) 一( √ 3 —1 ) s i n  E AC,  
即  s i n   EAc一  1   C O S   EAc 

所 以 a r g ( 群  r g ( B 两 - A ) ,  
向量  旋转 到蔚 所成 的角等 于  旋转 
到A百所 成 的角 , 从 而 P, A, B, C四点 共 圆.  
②式 取 等号 的条 件 显然 为 B, P, D 共 线且 
P 在 BD 上 .  

一(   一 1) s i n   EAC,  



整 理 得 

s i n  E Ac一百 1   C O S  E Ac
,  

故 当 ,( P) 达 最 小 值 时 P 点 在 AAB C之 
外接 圆上 , P, A, B, C四点共 圆.   ( 1 I ) 由( 工) 知 - 厂 ( P) … 一B D? AC .  
以下 同解 法一 .   二、 ( 本题 满分 5 O分 )  

故 t a n   EAC- -— 
可 得  E AC= 7 5 。 ,  

一2 +  ,  

2 -43  

所 以  E一 4 5 。 , △ABC 为 等 腰 直 角 三 角 

形, AC=√ 2 , S △ A B c 一1 ,  
因 为  AB   C一 4 5 。 , B   点 在 o0 上 ,  
ABI B一 9 0。 ,  

设 厂 (  ) 是周 期 函数 , T 和 1是 厂(  ) 的周  期且 0 < T<I . 证 明:  

( I ) 若 T为有理数, 则存在素数 P , 使÷ P    
是. 厂 ( z ) 的周期 ;  

所以B   BDC 。 为矩 形 ,  

●  ● 

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2 7 ? 电 子 邮 箱 : 。   @ 。   i   a j 。  . 。  

中 学生 数学 ? 2 0 0 9年 2月 上 ? 第3 6 3期 ( 高中)  

( 1 I ) 若 T为无理 数 , 则存 在各 项 均 为 无理 
数 的数列 { &   } 满足 1 >口   >&   +  > 0 (  一 1 , 2 ,  


(Ⅲ)   一3 7  1 一 ∑n   z   一 ∑以   + 1 z   }  ,  
”一 1, 2, 3, … .  



) , 且每个 口   ( , z 一1 , 2 , …) 都是 - 厂 (  ) 的周期 .   证 明  ( 1) 若 T是有 理 数 , 则存 在 正 整数 

哼  

证明  必 要 性 : 假设存在 {   ) 满 足 (i ) ,   ( i i ) , ( i i i ) . 注意 到 ( …) 中式子 可化 为 
1 :∑n   (  +  一 z   卜  . 1 ) ,   ∈ N ,  

竞   使 得 T=  且 (  ,  ) 一1 , 从 而 存 在 整 数  赛   Ⅱ, b , 使 得 ma +n b =1 .  
,  

哆   柏 

-nb 于 是  : — ma  ̄ -( 2+ 6 丁一 n ?1+ 6?T 


其 中 。 一0 .   将上式从第 1 项加到第 ” 项, 并注意到 I o 一0  
得  z   一口 1 (   , l — 1 ) +以 2 ( z   + 2 一z 2 ) + … 
+ “2 o 0 8 (   + 2 0 o 8 一 z2 【 ) ( 】 8 ) .  

l H 

7 f l  

是 厂 (  ) 的周 期 .   又因 0 < T< 1 , 从 而  ≥ 2 . 设 P 是 m 的 素  因子 , 则  — p m   , m   ∈N  ,  

由( i i ) 可设 6 一l i mx   , 将 上式取 极 限得 
b— n l ( 6 一 1 ) +n 2 ( 6 一z 2 ) + … +a 2 o 0 8 ( 6 一z 2   )  

从而÷一 D    ?   是- 厂 (  ) 的周期.  
m  


b?∑ n   一( 口 1 z l +“ 2  2 + … +“ 2 ( ) o 8  2 0 o 8 )  

( 1 I ) 若 T是 无理数 ,  


1 一  

令n   = = : 1 一l {I 丁,  
则 0 <a   <1 , 且 6 /  是 无理数 , 令 
“z= = =   一

< 6?∑ “   ,   此 ∑a   >1 .  

[   ] n t , … … n   + t = 1 - [   ] n   ,  

充 分性 : 假 设 ∑“   >1 . 定 义 多 项 式 函 数 如 

下: _ 厂 (   ) 一 一1 十 ∑“   , s C[ 0 , 1 ] ,  
由数学 归纳法 易知 “  均 为 无 理 数 且 0 <a  

则厂 (   ) 在[ 0 , 1 ] 上是 递增 函数 , 且 
_ 厂 ( 0 ) 一 一1 < 0, - 厂 ( 1 ) = = = 一1 + ∑n   >O .  

<1 . 又   一r  ] <1 ,  
“ ,   L “ ,  

故1 <“   +『  
L “n   J  

,   < 

因此方程 - 厂 (   ) 一0在 [ 0 , 1 ] 内有 唯 一 的根 
S z  S 0 , 且 0 <s o <1 , 即 _ 厂 ( s o ) 一0 .  

即“   - 一 1 一『  
L   J  

下取数 列 { z   } 为  一 ∑S   , ” = = = l , 2 , …, 则  明显 地 {   ) 满足题 设条件 (i ) , 且 
X n

因此 { “   } 是 递减数 列.   最 后证 : 每个 a  是 f( z ) 的周 期. 事实上,  

因1 和T 是- 厂 (   ) 的 周 期 , 故n   一 1 一 『 亭 ] T 亦  
是 _ 厂 (  ) 的周 期. 假设 a  是 f( . 1 7 ) 的周 期 , 则 


舌s l     上  5 O?  


5 0一

s  

因0 <S o <1 , 故l i ms g   一0 , 因此 l i mx   = = = l i m 





 

 

1 一 [   ]   也 是 , (   的 周 期 ? 由 数 学 归  

l— s 0  

即{ 3 7 n } 的极 限存在 , 满 足( i I ) .  

最后验 证 { z   } 满足 ( i i i ) , 因 _ 厂 (  ) 一0 ,   即  ∑ a k S   一1 , 从 而 


纳法, 已证 得 “  均是 - 厂 ( z ) 的周 期.  
三、 ( 本题满 分 5 0分 )  

设 a   >0 , k —l , 2 , …, 2 0 0 8 . 证 明: 当 且 仅 



2 -  l 一5   一( ∑a k S   ) s   一 ∑a k s n o ¨ 
女一 1   k一 1  

当 ∑a   > 1时 , 存 在数列 {   } 满 足 以下条件 :  
( j) 0一 0 <  <  + 】 , F / 一1 , 2, 3 , …;  

2 0 08  
二 ==

∑n   ( z   +   一  } 女 一 1 ) .  

综上 , 存在 数列 {   } 满 足(1 ) , (i l ) , ( i i i ) .  
( 北京数 学会 普及委 员会提供 )  

(i i ) l i mx  存 在 ;  

◇  穆 

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