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一道高考题另一种形式的推广


0 2 07 年第 8 期

中学数学研究

一 道 高 考题 另 一种 形 式 的推 广
黑龙省大庆实验中学 (16 3 6 3 1 )
问题 (200 年江西高考第22 题)设抛物 5

苏立志 杜 山
证明 不妨设圆锥曲线 C 为椭圆, 其右焦

线C:y 二 xZ

的 为F , 焦点 动点尸在直线1:x y 一 二 上运动, 2 0 过尸作抛物线C 的两条切线
尸 尸 , 八、 B 且与抛物线 C 分别相切于A 、 两点 B

点F ( 。0) , 上两点p ( aco a , ), , c s bsina Q
(a c 月bsin月 , s o , ) 作椭圆C 过点尸 Q 处的切线并相交于点 , R, 据由文(1 的推广可知, FR = 艺QFR . 过 ) 匕尸
F 作直线FM, 次 且与准线交于点M‘易知 土石 , 艺Q厂 二 丫‘ 艺5日 ‘故欲证定理成立, 切. 只需证 点 M 与M ‘ 重合即可. 下文将采用同一法证明
点 M 与M ‘ 重合. 椭圆 C 过尸 Q 的切线方程分别为 、

(1 求△八 扫的重心G 的轨迹方程; ) 尸
(2 证明 于 乙= / 只 3. ) / 毕 八 兄

对于(2 的结论, 1 有如下: ) 文「 ]

推 椭 c:纂 广设圆 +

1( a > b > 0 )

的右焦点为 F , 尸为椭圆C 外一点, 尸作椭 过 圆C 的两条切线只 尸 且与椭圆 C 分别相 A,召, 切于A , 两点, B 则匕尸 = 匕尸 FA 凡3. 本文将运用文〔 所推广的这一结论, 1」 给出 问题的另一种推广形式, 结论如下: 定理 如 图 1, 一条直 线经过 圆锥 曲线 C 的焦点 F, 且与圆锥曲线 C 相交于 点尸, , Q 在圆锥曲线C 5 点 上,Q 与圆锥 曲线焦点F 尸 对应的准线交于点M , 则匕QEM 二 匕5月 订.
、‘ 、‘

胆牲丈 十
a

= 1( 1) = 1(2 )

些 2+ 明二

( 1 与(2)联立解得点 尺的坐标分别为 )

R x 二 , 。 # 『 = sin(召 a) ( n ) y i 一 , ’ R 一
.’ 双 = .k

a ( s in a 一s in

b ( cC6 a 一c陇

sin(月 a ) {‘s n(a 一 ) 一 i 月
b ( C‘ 一cOs a 粥8

{ 旦 卫二业 、 ‘亘 一1 2__ 工 旦里

一 (sina 一 ) 一 sin(a 一 ) ’ a sin月 。 召

Fl 、 , AC F IFZ= 0 时, ,AF Z= 凡 当 有A万 1
食AF


} Z一 在 △ I凡中 F A }号 R A t F
、 ‘ 、‘

1 2成立. (1 求 椭圆 离 ) 此 的 心率;(2 设 )

2= 2, ’ } !朋 : 1 IFIF: 1 } AFI 2一

AF I = m F IB ,

n FZ , 点A 在椭圆 c 当 上

… 一 4 ‘ 一 二 肾. 件 牛= 2,。 三二
什 兮 a 乙

n _2

_2

_



求证:m + n 始终是定值. 运动时, 解: (1 当 ) AC FIF: 二 时,FI AF Z‘ 0 八 F: “ co凡 F IAF Z二}八 1 = 匕
得:
1二 , , 六

(2 ) 由上 面的性质 3 可知: m + n 二
2(1 + eZ = 6, 所以定值是 6. 1 一eZ
参考文献
【肖 1」 秉林 过椭圆焦点的内 接三角形的几个结论 中 学 学教学参考, 1 2005, 0

由椭 圆定义

}AFZ}=
24

! 月 户 川 二 乙a 。二 }了 . 1 = - 丈 , 1户 乙

. 。 , 3a 戈

中学数学研究
.’ , . k附 =

2007 年第 8 期

k双

a (sin。 s n夕一 i n(a 一 ) 一 sin夕 一 ) cs i 口 占 )
哪a一 夕 哪
毛 __ _ 。、1 丝 _
’ C

b(c a 一 5 ) s o ①夕
直线 石 汀的方程为 派,
y 一

_

一 、 C

_2 1 丝e s

一 “ 以 万户 , 、一

( n 溢 c斌 一 a 垃 一 昭) 一 口 脚 a
。口 邓 二 叹义 ‘

b(c a 一 夕 s o 。 )
C

(x 一 , c)

一 bsina ) 幼( a 一cc a ) [a (s na 一 ) s o i sin召 c(sina 一 )C 夕= (a 一 c 月 [a (sin。 sin夕 “ 」 。 ) s o sin月 一 (s na 一sin夕 c a 」 ( a 一cc a ) ) i )o s . s o

则 与 一 的 点 的 标 (竺 附,二 扩 交 M 坐 为
立.a (sina 一 ) 一 sin召 csin(。 夕 一)
o c sa 一c 召 s o
_2
/ “

(sina 一sin夕 ( a 一cc 月 = ( a 一c。君 ) s o ) ) (sina 一 )(a 一 sin夕 c哪a) ,
上式成立是显然的, 尸 Q 、 三点共 从而 、 M’
线. 又‘尸 与x 二生交于点M , : Q

尸 产 M =

、—

一 a CO S a

立.a (sina 一 ) 一 sin夕 csin(a 一 ) 一bsina ) 夕
o c sa 一c 召 s o
C

.‘ M 与M‘ .点 重合, 艺Q月 匕5 例讨 . 订= 可仿上 同 定理对于双曲线和抛物线情形,
样证明. 参考文献
〔 徐令芝.2005 年高考江西卷压轴题的另证及推广. 1」 数学通讯.2 0 年第2 期 0 5 1 〔 幻苏立志. 圆锥曲线的两个性质. 数学通讯. 200 第 5
15 期

ao , QM , (生 一 c s刀 立. a (sina 亘丛
C

以〕 a S

一c 召 s o

bsin夕 )

尸、 、 三点共线拱只 / QM 产 Q M‘ M’
_2
份 、— 洲
~ / 丝

一 “ CO S a 少. 、 —

、_ , U



正 方 体

中 的 计 数

问 题

浙江省临海市回浦中学 (3 7000 1 )
正方体是一种常见的几何体, 它有着丰富 的点、 面位里关系. 正方体中的计数问题属 线、 于“ 在知识网络交汇处设计问题” 的几何组合 题, 这类问 题经常活跃在各类试题中. 通过这类 问 题的解决, 可提高学生分析问题和解决问题 的能力, 培养思维的灵活性、 缤密性, 下面举例
说明.

李昌湛

算, 所以两端点皆为正方体顶点的共线三点组

共门黔 =28 组 两‘点 为 的 心 刁 、从 有 2 “ ; ‘端 皆甲四’ 中““共 面 动‘’ 的 线 /、 一 “~ ’’ ” 目/ . 门码 /
三点组共有3 组; 两端点皆 为各棱中 点的共线
三点组共有 三点组。
12 X 3

二18 组. 且没有别的类型共

线三点组, 所以共有28 十 + 1 = 49 组共线的 3 8
例 2 从正方体的1 条棱和各面的1 条 2 2 面对角线中选出n 条, 使得其中任意两条线段 所在的直线都是异面直线, n 的最大可能值 则


一、 有关直线的计数问题

例 1 在正方体的8 个顶点, 条棱的中 2 1 点,个面的中心及正方体的中心共 27 个点 6 中, 共线的三点组有 组.
解: 因为从正 体的一个顶点出发有 3 条 棱、 条面对角线、 条体对角线, 3 1 考虑重复计

解:如图, I、I 、 I、八 这4 条直 B A BC c D 刀 1,
线显然两两异面, 所以 n) 4. 又这 4 条直线经
25


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