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江西省赣州市十三县(市)2016届高三上学期期中联考数学(理)试题


2015—2016 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考

高三数学(理科)试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1

、若复数 (1 ? ai) 2 ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? ( A. ? 1 B. ? 1
2

) D.1 )

C.0

2.已知全集 U ? {x | ?2 ? 3 x ? x ? 0}, A ? {x | A.{x|l<x<2} C.{x|2≤x<3}

x ?1 ? 0 |} ,则 CUA=( x?3

B.{x|l≤x≤2} D. {x|2≤x≤3 或 x=1}

3.设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N ,映射 f : A ? B ,把集合 A 中的元素 n 映射到集合

B 中的元素 2 n ? n ,则在映射 f 下,象 20 的原象是(
A.2 B.3 C.4 D.5



4. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1。 令 bn ? 项和 T10=( ) A.70 B.75 C.80

1 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ,则数列{ bn }的前 10 n
D.85

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5. a ? b = a ? b ? sin? , 其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角, 若 a ? 2 , b ? 5 ,a ? b ? ?6 , 则 a?b
等于( ) A. ? 8 B. 8 C. ? 8 或 8 D. 6 )

6.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an ?1 ?

an ? 3 (n ? N* ) ,则 a20 等于( 3an ? 1
C. 0 D. ? 3

A. 3

B.

3 2

7、在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 sin ? A ? B? ? sin ?B ? A? ? 3 sin 2 A , 且c ?

7,C ?

?
3

,则△ABC 的面积是(



8、化简

cos 40? cos 25? ? 1 ? sin 40?
B.

?(



A. 1

3

C.

2

D. 2

9、函数 y ? ln ?

? x ? sin x ? ? 的图象大致是( ? x ? sin x ?



10.已知函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? ex 垂直的切线,
x

则实数 m 的取值范围为( A. [e,??)

) B. (e,??) C. ( ,??)

1 e

D. (??, ) )

1 e

11、设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 ,若实数 a , b 满足 f (a) ? g (b) ? 0 ,则(

A. g (a) ? 0 ? f (b)

B. f (b) ? 0 ? g (a)

C. 0 ? g (a) ? f (b)

D. f (b) ? g (a) ? 0

12、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,其导函数为 f '( x) ,且 x<0 时,

2 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立, 则 f (1), 2014 f ( 2014), 2015 f ( 2015) 的大小关系为 (
A.



2015 f ( 2015) ? 2014 f ( 2014) ? f (1)

B. 2015 f ( 2015) ? f (1) ? 2014 f ( 2014) C. f (1) ? 2015 f ( 2015) ? 2014 f ( 2014) D.

f (1) ? 2014 f ( 2014) ? 2015 f ( 2015)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题 (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷中的横线上) 13.已知点 A?? 1,5? 和向量 a ? ?2,3? ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 14.已知 f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的图像的对称轴是直线 15.已知实数 m ? 1, 若 .
2 m
2

?

1

m x dx ? ? logm x ? 15 ,则 m ? ___________.
m

16.设 f ?? x ? 为 f ?x ? 的导函数, f ???x? 是 f ?? x ? 的导函数,如果 f ?x ? 同时满足下列条件:① 存在 x0 ,使 f ???x0 ? ? 0 ;②存在 ? ? 0 ,使 f ?? x ? 在区间 ?x0 ? ? , x0 ?单调递增,在区问

?x0 , x0 ? ? ? 单调递减.则称 x0 为 f ?x ? 的“上趋拐点”;如果 f ?x ? 同时满足下列条件:①存在
x0 ,使 f ???x0 ? ? 0 ;②存在 ? ? 0 ,使 f ?? x ? 在区间 ?x0 ? ? , x0 ?单调递减,在区间 ?x0 , x0 ? ? ?
单调递增.则称 x0 为 f ?x ? 的“下趋拐点”.给出以下命题,其中正确的是 正确结论的序号) ① 0 为 f ?x ? ? x 3 的“下趋拐点”; ② f ?x ? ? x 2 ? e x 在定义域内存在“上趋拐点”; ③ f ?x? ? e ? ax 在(1,+∞)上存在“下趋拐点”,则 a 的取值范围为 ? ,?? ? ;
x 2

(只写出

?e ?2

? ?

④ f ?x ? ?

1 ax 1 2 e ? x ?a ? 0? ,x0 是 f ?x ? 的“下趋拐点”, 则 x0 ? 1 的必要条件是 0 ? a ? 1 . a 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 1 ? an (n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

bnbn ?1 1 , cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . log 1 an n ?1 ? n
3

19. (本小题 12 分)

函数 f ( x) ? 6 cos

2

?x
2

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最

高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

20、 (本小题 12 分) 在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 tan A ? tan B ? (Ⅰ)求角 B 的大小; a c 1 1 (Ⅱ)已知 ? ? 3 ,求 的值. ? tan A tan C c a
2sin C . cos A

21. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln x?a ? 0, a ? R ? x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值和单调区间; (Ⅱ)若在区间 ?0, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 )<0 成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax, g ? x ? ? ln x, 其中a ? R . (I)若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 有极值 1,求实数 a 的值; (II)若函数 G ? x ? ? f ? ?sin ?1 ? x ? ? ? ? g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (III)证明:

? sin
k ?1

n

1

? k ? 1?

2

? ln 2 .

2015—2016 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考高三数学(理科)参考答案 一.选择题(共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 号 0 1 答 A D C B B D D C A C 案 二.填空题(共 20 分) 13.

1 2 A

1 D

?5, 14?

14. x ?

1 2

15. 3

16. ①③④

三.解答题(共 70 分) 17. 解: (Ⅰ)由 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 得 || x | ?4 |? 2 ,????1 分

??2 ?| x | ?4 ? 2 ????2 分

? 2 ?| x |? 6 ????3 分
故不等式的解集为 [?6, ?2] ? [2,6] ????5 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x ? 4 | ? | x | 恒成立????7 分 ∵ | x ? 4 | ? | x | ? | ( x ? 4) ? x |? 4 ,????9 分 ∴ m 的取值范围为 m ? 4 .????10 分 18. (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? a1 得: a1 ? 由 2S n ? 1 ? a n ①

1 .????1 分 3

2S n?1 ? 1 ? an?1 (

n ? 2 )②????2 分
1 a n ?1 . ( 3

上面两式相减,得: a n ? 所以数列 {an } 是以首项为 (Ⅱ) bn ?

n?2)

????4 分

1 1 1 * ,公比为 的等比数列. 得: an ? n (n ? N ) .??6 分 3 3 3
1

1 ? log1 a n
3

1 log1 ( ) n 3 3

?

1 . ????7 分 n

cn ?

n ?1 ? n 1 1 . ??9 分 ? ? n?n ? 1? n n ?1

1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? Tn ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? ?1 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 1? ??? n ?1 2? ? 2 3? ? 3 4? n ?1 ? ? ? n

????12 分 19. 解:(Ⅰ)由已知可得:

f ( x) ? 6 cos 2
????2 分

?x
2

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0)

=3cosω x+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?

?
3

)

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 ????3 分 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

????5 分

????6 分

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5 ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? (?

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 , 即sin ( 0 ? ) ? 4 3 5 5

????7 分

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) ????8 分 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
?x0
4 ?

????9 分

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2
????11 分

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4
????10 分

?

7 6 5

????12 分

20. 解:(Ⅰ) tan A ? tan B ?

sin A sin B sin A cos B ? cos A sin B sin( A ? B) sin C , ? ? ? ? cos A cos B cos A cos B cos A cos B cos A cos B 2sin C sin C 2sin C ,∴ ,???2 分 tan A ? tan B ? ? cos A cos A cos B cos A

1 ∴ cos B ? ,????4 分 2

∵ 0 ? B ? ? ,∴B=

? .???????????????6 分 3

(Ⅱ)

a c a2 ? c2 b2 ? 2ac cos B ,????????? 7 分 ? ? ? c a ac ac
a c ? ? 3, c a
b 2 ? 2ac cos ac ? 2 3 ? 3 ,∴ b ? 2 ,????????? 8 分 ca



b2 ? 2ac cos B ∴ ? 3 ,即 ac

? sin 2 b2 sin 2 B 3 3 3 ? ? ? 而 ,∴ sin Asin C ? .????? ca sin A sin C sin A sin C 4sin A sin C 8

10 分


?

1 1 cos A cos C sin( A ? C) ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C
sin B 3 4 ? ? 3 . ?????????????????? 12 分 sin A sin C 2sin A sin C 3
f ' ( x) ? ? 1 x2 ? a ax ? 1 ? 2 ,?????1 x x

21.解: (1) 因为



当 a ? 1 ,f ' ( x) ?

x ?1 x2

, 令 f ' (x) ? 0 , 得 x ?1 , 令 f / ( x) ? 0 , 得 x ? 1; 令 f / ( x) ? 0 , 得0 ? x ?1

?????2 分

所以 x ? 1 时, f ( x) 的极小值为 1. ?????3 分 f ( x) 的递增区间为 (1 , ? ?) ,递减区间为 (0,1 ) ;?????4 分 (2)因为 f ' ( x) ? ? x 2 ? x ?
1

1

a

ax ? 1 x2

,且 a ? 0 ,令 f ' (x) ? 0 ,得到 x ? a ,
f ( x) 在区间 ?0, e? 上单调递减,故 f ( x) 在区间 ?0, e? 上的最小
1 1

1

①当 x ? a <0 ,即 a<0 时,
1 1

值为 f (e) ? e ? a ln e ? e ? a ,由 e ? a<0 ,得 a< ? e ,即 a ? (??,? e ) .?????6 分 ②当 x ? a >0 ,即 a>0 时, ⅰ)若 e ? a ,则 f ' (x) ? 0 对 x ? ?0, e? 成立, f ( x) 在区间 ?0, e? 上单调递减,所以, f ( x) 在区 间 ?0, e? 上的最小值为
f ( e) ? 1 1 ? a ln e ? ? a>0 e e
1

1

1

,显然, f ( x) 在区间 ?0, e? 上的最小值小于 0
1 (0, ) a
?

不成立. ?????8 分

x
f ' ( x)

1 a

1 ( , e) a

0 极小

?

f ( x)

递减

递增

ⅱ)若 0< a <e ,即 a> e 时,则有(右 表) , 所以 f (x) 在区间 ?0, e? 上的最小值为 f ( a ) ? a ? a ln a ,
?????10 分
1 1

1

1





1 1 f ( ) ? a ? a ln ? a( 1 ? ln a)<0 a a

,得 1? ln a<0 ,解得 a>e ,即 a ?(e,??) .????11 分综
1

(e,??) 上,由①②可知: a ? (??,? e ) ? 符合题意.

?????12 分

22.解: (Ⅰ) F′(x)=a﹣ =

(x>0) ,……………1 分

当 a≤0 时,F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)递减,无极值; 当 a>0 时,由 F′(x)>0,可得 x> ,由 F′(x)<0,可得 0<x< ,……………2 分 x= 取得极小值.由 F(x)有极值﹣1,即有 1﹣ln =1,解得 a=1;……………3 分 (Ⅱ)G(x)=f[sin(1﹣x)]+g(x)=asin(1﹣x)+lnx, G′(x)=﹣acos(1﹣x)+ ,……………4 分 因为 G(x)在(0,1)上递增, 即有﹣acos(1﹣x)+ ≥0 在(0,1)上恒成立, 即 a≤ 在(0,1)上恒成立.……………5 分

令 h(x)=xcos(1﹣x) ,0<x<1,h′(x)=cos(1﹣x)+xsin(1﹣x)>0, h(x)在(0,1)递增,0<xcos(1﹣x)<1,即有 则有 a≤1.……………7 分 (III)由(II)知,当 a=1 时, G ? x ? ? sin ?1 ? x ? ? ln x 在区间 ? 0,1? 上是增函数, 所以 G ?x ? ? sin ? 1 ? x ??ln x ? G 1 ? ??0 ,所以 sin ?1 ? x ? ? ln >1,……………6 分

1 ,……………8 分 x
2

令1? x ?

1

? k ? 1?
1

2

,即 x ?

k ? k ? 2?

? k ? 1? ……………9 分 ? ln ,则 sin 2 2 k ? k ? 2? ? k ? 1? ? k ? 1?
1
2

所以

? sin
k ?1

n

? k ? 1?

2

? n ? 1? 22 32 ? ln ? ln ? ... ? ln 1? 3 2? 4 n ? n ? 2?

? ? 2 ln 2 ? ln 3? ? ? 2 ln 3 ? ln 2 ? ln 4 ? ? ... ? ? ? 2 ln ? n ? 1? ? ln n ? ln ? n ? 2 ? ? ? ……………10 分

? ln 2 ? ln ? n ? 1? ? ln ? n ? 2 ? ? ln 2 ? ln


n ?1 ? ln 2 ……………11 分 n?2

? sin
k ?1

n

1

? k ? 1?

2

? ln 2 。……………12 分

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