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高一数学必修3概率


概率
必然事件: 不可能事件: 随机事件: 练:判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不肯能事件,哪些是随机事件? (1)掷一枚骰子两次,所得点数之和大于 12. (2)如果 a ? b ,那么 a ? b ? 0 ; (3)掷一枚硬币,出现正面向上; (4)从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签; (5)某电话机在 1 分钟内接到 2 次呼叫; (6)没有水分,种子能发芽. 1,概率概念: 思考: (1)抛掷一枚质量均匀的硬币 20 次,字面向上的频率和概率是试验前知道还是试验后知道? (2)如何用频率来研究事件发生的概率? (3)如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,则事件 A 的概率一定是 随机事件的频率: 随机事件的概率: 概率与频率的区别与联系: 例 1:抛掷 10 次硬币,是否一定是 5 次“正面朝上”和 5 次“5 次反面朝上”? 例 2:有四个阉,其中两个分别代表两件奖品,四个人按排序依次抓阉来决定这两件奖品的归属.先抓的 人中奖率一定大吗? 例 3:一次抽奖活动中,中奖的概率为 0.3,解释该概率的含义; 例 4.为了增强学生对世园会的了解和认识,某校决定在全校 3000 名学生中随机抽取 10 名学生举行一 次考核, 小明认为被选取的可能性为

m ? n

1 , 不可能抽到他, 所以他就不做备考, 他的想法对吗?为什么? 300

2,对立、互斥事件: 对立事件: 互斥事件: 问题 1:互斥事件与对立事件有何异同? 问题 2:对于任意两个事件 A,B,P(A ? B)=P(B)+P(B)是否一定成立? 例 1.某公司部门有男职工 4 名,女职工 3 名,由于工作需要,需从中任选 3 名职工出国洽谈业务,判 断下列每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件: (1)至少 1 名女职工与全是男职工; (2)至少 1 名女职工与至少 1 名男职工; (3)恰有 1 名女职工与恰有 1 名男职工; (4)至多 1 名女职工与至多 1 名男职工。 例 2.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由。 从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 1~10 各 10 张)中,任取一张。 (1) “抽出红桃”与“抽出黑桃” ; (2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌” ; (3) “抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9” 。 例 3、某战士在一次射击训练中,击中环数大于 6 的概率为 0.6,击中环数是 6 或 7 或 8 的概率为 0.3,
1

则该战士击中环数大于 5 的概率为 0.6+0.3=0.9,对吗? 3,古典概型: 正确理解古典概型的两大特点: 1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; 2)每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

基本事件:试验的 称为基本事件。 例 1.下列试验是否属于古典概型? (1)一个盒子中有三个除颜色外完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一球; (2)向一个圆内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的。 练:判断下列两个试验是否是古典概型? (1)在线段[0,2]上任取一点,求此点的坐标小于 1 的概率; (2)从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取一个数,求此数是 2 的倍数的概率。 例 2.用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求: (1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率。

练:从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中任取 2 张,所有基本事件有哪些?这 2 张上的字母恰好按 字母顺序相邻的概率是多少? 例 3.一个口袋中有形状、大小都相同的 6 个小球,其中有 2 个白球、2 个红球和 2 个黄球。从中一次随 机摸出 2 个球,试求: (1)2 个球都是红球的概率; (2)2 个球同色的概率; (3) “恰有 1 个球是白球的概率”是“2 个球都是白球的概率”的多少倍? 例 4.先后抛掷一枚骰子两次,将得到的点数分别记为 a,b。 (1)求 a+b=4 的概率; (2) 求 a+b>5 的概率。 (3) 将 a,b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率。 (4) 求点(a,b)在函数 y ? 2 图像上的概率;
x

例 5.从 1~9 中选三个数(不重复)排成一个三位数,则: (1) 所得数大于 500 的概率; (2) 所得数为偶数的概率; (3) 若选数字时可重复,则大于 500 的概率多大? 例 6.四人排队,甲乙挨着的概率有多大? 练:1,任意抛掷两枚骰子,计算: (1) 出现点数相同的概率; (2) 出现点数之和为奇数的概率;
2

(3) 出现点数只和为偶数的概率。 (4) 点数之和大于八的概率。 2,袋中有黑球 3 个,白球两个,求: (1) 随便抓一个,抓到黑球的概率; (2) 不放回抓两次,至少抓到一个黑球的概率; (3) 放回抓三次,至少抓到一个白球的概率。 3,一个各面都涂色的立方体木块,横两刀竖两刀前后两刀切为 27 块,求: (1) 任意抓一块,恰为两面涂色的概率; (2) 任意抓两块,染色面数相等的概率; (3) 任意抓两块,被染色面数和为偶的概率。 4.几何概型: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称 这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; 2)每个基本事件出现的可能性相等. 2.在几何概型中,如果 A 为随机事件,若 P(A) = 0,则 A 一定为不可能事件吗? 几何概型例题: 例1, 已知 ?5 ? x ? 5, 则 x ? 2 的概率有多大? 例2, 在相距 3m 的两杆之间扯上一铁丝,小明洗完衣服后,将衣服挂在铁丝上晾晒,则所挂衣服与两 杆的距离都不小于 1m 的概率有多大? 例3, 已知一个正方形内有一个内接圆,一点随即落入正方形内,则落入圆中的概率有多大? 例4, 已知一个半径为 10 的圆盒内投入一枚直径为 2 的硬币,则硬币与盒边缘距离超过 1 的概率有多 大? 例5, 已知一人起床时发现钟表停了, 而广播会整点报时, 则此人等报时不超过 10 分钟的概率有多大? 例6, 已知某人早上 7:00~8:00 离开家,而报童送报时间为 6:30~7:30,则此人早上离家前收到报 纸的概率有多大? 例7, 两人约会,规定 3:00~4:00 见面,男生若先到,等女生 20 分钟不到就离开;女生若先到,则 等男生 15 分钟仍不到就离开。两人只在规定时间出现在约定场合,则能见面的概率有多大?

3

检测卡
1.已知随机事件 A 发生的频率是 0.02,事件 A 出现了 10 次,那么可能共进行了 2.箱内有黑白两球,甲乙先后有放回地抽一次球,则抽到相同颜色球的概率有多大? 次试验.

3. 某公司休假规定为每人每周有两天休假,某员工某一周周六休假的概率有多大?

4.袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各一只,每次从中任取 1 只,有放回的抽取 3 次,求: (1)3 只球颜色全相同的概率; (2)3 只球颜色不全相同的概率。

5、柜子里装有 3 双不同的鞋,随机地取出 2 只,试求下列事件的概率 (1)取出的鞋子都是左脚的; (2)取出的鞋子都是同一只脚的

变式: (1)取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的; (2)取出的鞋不成对

6,从 1~6 中选三个数得到一个三位数,则计算下列事件概率: (1) 所得三位数大于 400; (2) 所得三位数为偶数。

4

作业卡
1. 某射手射击一次,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别是 0.24、0.28、0.19、0.16。计算射击一 次,射中 8 环(不含)以上的概率;

2.一盒中装有各色球 12 个,其中 5 个红球、 ,4 个黑球、2 个白球、1 个绿球。从中随机取出 1 球, 求:(1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)有放回地取两次,至少一次取出红球或黑球的概率。

3.取一根长为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 1m 的概率有多大?

4,5 个人(包含甲乙两人)排队,甲乙两人挨着的概率有多大?

*5.在区间[-1,1]上任取两个数,则 (1)求这两个数的平方和不大于 1 的概率; (2)求这两个数的差的绝对值不大于 1 的概率。

5


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