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圆的复习课件PPT 2


--圆、与圆有关的位置关系(1)
欢迎046班的同学们!注意听课, 积极思考呵!

2013年12月25日6时50 分

一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所的两条弧. C
A
M└


B O

若 ① CD是直径 ② C

D⊥AB

③AM=BM,
可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC,

⌒ ⌒ ⑤AD=BD.

D

重视:模型“垂径定理直角三角形”

2013年12月25日6时50 分

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2、垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C

A





B
O
?

M


由 ① CD是直径 ③ AM=BM

②CD⊥AB,
可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC,

⌒ ⌒ ⑤AD=BD.

D

2013年12月25日6时50 分

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C

(1)直径 (过圆心的线);(2)垂直弦; (3) 平分弦 ; (4)平分劣弧;

A

M└


B O

(5)平分优弧.

知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
(错 )

D

2013年12月25日6时50 分

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例⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,

AB=16,CD=12,则AB、CD间的
2cm 距离是___ 或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

2013年12月25日6时50 分

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二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
D

A


B

O ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出

┏ A′ D′ B′ 如由条件: ③AB=A′B′

②AB=A′B′

⌒ ⌒

④ OD=O′D′
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三、圆周角定理及推论
D

B


C E O

C BA
O

O

A C





B

A

定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 . 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×) (2)相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等.
2013年12月25日6时50 分

(×) (√)

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四、点和圆的位置关系
.o .p r
Op<r Op=r Op>r

.o

.p

.o .p

点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外

2013年12月25日6时50 分

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不在同一直线上的三个点确定一个



(这个三角形叫做圆 的内接三角形,这个圆叫做三角形的外接圆,圆心叫 做三角形的外心) 反证法的三个步骤: 1、提出假设 2、由题设出发,引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立,肯定结论正确

圆内接四边形的性质:
(1)对角互补;(2)任意一个外角都等于它的内

对角
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练:有两个同心圆,半径分别为R和r, P是圆环内一点,则OP的取值 r<OP<R 范围是_____.

O

P

2013年12月25日6时50 分

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五.直线与圆的位置关系
r r




O ┐d

O

r



O

相交

d ┐ 相切
?

d

┐ 相离

1、直线和圆相交 2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
2013年12月25日6时50 分

d < r; d = r; d > r.

? ?

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切线的判定定理
? 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线. 如图 ∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
C



O

A

D

2013年12月25日6时50 分

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(1)定义
(2)圆心到直线的距离d=圆的半径r (3)切线的判定定理:经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2013年12月25日6时50 分

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切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点,往往要 作出过这一点的半径,再证明直线垂直 于这条半径即可; 2、如果不明确直线与圆的交点,往往要 作出圆心到直线的垂线段,再证明这条 垂线段等于半径即可.

2013年12月25日6时50 分

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切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于A, OA是⊙O的 半径



O D

∴CD⊥OA.

C

A

2013年12月25日6时50 分

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切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个,那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。 如 ① ② ① ③ ② ③
2013年12月25日6时50 分



② ①
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六.圆与圆的位置关系
交点个数
d R r

名称

d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r R-r< d < R+ r d=R-r

0

外离

1

外切 相交

2

1

内切

内含 0 同心圆是内含的特殊情况

d<R-r

七.三角形的外接圆和内切圆:
A A

O C B B 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心

I

C 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。

实质
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点

性质
到三角形各顶点 的距离相等 到三角形各边的 距离相等

特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. A

O

B D
2013年12月25日6时50 分

C
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三角形的外心是否一定在三角形的内部?
A

A


A


O C B


O



O C

B

C

B

锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
2013年12月25日6时50 分 欢迎046班的同学们!注意听课, 积极思考呵!

切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长 相等;并且这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角. P
?

A
1 2

∵PA,PB切⊙O于A,B



O

∴PA=PB ∠1=∠2

B 直角三角形的内切圆 半径与三边关系.
? ?

三角形的内切圆半径与圆面积.

a?b?c r? . A 2
D O ● B E


1 S ? r ?a ? b ? c ?. 2A
D


┗ F

O


F

C

B

E

C

? 1.如图:圆O中弦AB等于半径R,则这条弦所对的 60度 30或150度 圆心角是___,圆周角是______.

O

A

B

2013年12月25日6时50 分

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4.怎样要将一个如图所示的破镜 重圆?

2013年12月25日6时50 分

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辅助线,
莫乱添, 规律方法记心间; 圆半径,不起眼, 角的计算常要连, 构成等腰解疑难;

弦与弦心距, 亲密紧相连; 切点和圆心, 连结要领先; 遇到直径想直角, 灵活应用才方便。

2013年12月25日6时50 分

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谢谢同们的合作


2013年12月25日6时50 分



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1、如图1,AB是⊙O的直径,C为圆上一点,弧AC度数为60°, OD⊥BC,D为垂足,且OD=10,则AB=_____,BC=_____; 2、已知、是同圆的两段弧,且弧AB等于2倍弧AC,则弦AB与 CD之间的关系为( ); A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定

3、 如图2,⊙O中弧AB的度数为60°,AC是⊙O的直径,那 么∠BOC等于 ( );

A.150°

B.130°

C.120°

D.60°

4、在△ABC中,∠A=70°,若O为△ABC的外心, ∠BOC= ;若O为△ABC的内心,∠BOC= .
C D A O B

图1
2013年12月25日6时50 分 欢迎046班的同学们!注意听课, 积极思考呵!

图2

1、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm,则圆环部分的宽 度为_____ cm;
2、如图1,已知⊙O,AB为直径,AB⊥CD,垂足为E,由 图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出 来 ; 3、为改善市区人民生活环境,市建设污水管网工程,某圆 柱型水管的直径为100 cm,截面如图2,若管内污水的面宽 AB=60 cm,则污水的最大深度为 cm; 4、已知、是同圆的两段弧,且=2,则弦AB与CD之间的关 系为( ).A.AB=2CD;B.AB<2CD;C.AB>2CD;D.不能确 定
A C D O m B n E

图1
A

O

图2
B

1、⊙O的半径为R,圆心到点A的距离为d,且R、d分 别是方程x2-6x+8=0的两根,则点A与⊙O的位置关系是 ( ) A.点A在⊙O内部 C.点A在⊙O外部 B.点A在⊙O上 D.点A不在⊙O上

2、M是⊙O内一点,已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm,最短的弦长为8 cm,则OM=?_____ cm.?

3、圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是( )
A、1∶2∶3∶4 B、1∶3∶2∶4

C、4∶2∶3∶1

D、4∶2∶1∶3

2013年12月25日6时50 分

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1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm,大圆的 弦BC与小圆相切,则BC=_____ cm; 2、如图2,在以O为圆心的两个同心圆 中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点, 设AB=12,则两圆构成圆环面积为_____; 3、下列四个命题中正确的是( ).
A P O B

①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ; ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ; ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ;④过圆直径的端点,垂直于此 直径的直线是该圆的切线.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④

2013年12月25日6时50 分

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一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等; ( × ) 2、直角三角形的外心是斜边的中点. ( √ ) 二、填空: 1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm,则它的外接圆 半径 6.5cm ,内切圆半径 2cm ; 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 . 三、选择题: 下列命题正确的是( C ) A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆 四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径 30cm 为2cm,则这个三角形的面积为______.

2013年12月25日6时50 分

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2:已知ABC三点在圆O上,连接ABCO, 如果∠ AOC=140 °,求∠ B的度数. D 解:在优弧AC上定一点D,连结AD、 CD. ∵ ∠ AOC=140 ° O A ∴ ∠ D=70 ° ∴ ∠ B=180 ° -70 ° =110 °
B

C

3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为 2或4cm 6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.

2013年12月25日6时50 分

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5、 如图,AB是⊙O的任意一条弦,OC⊥AB, 垂足为P,若 CP=7cm,AB=28cm ,你能帮老师求出 这面镜子的半径吗? C
7 14

P

B

A

O

综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
2013年12月25日6时50 分 欢迎046班的同学们!注意听课, 积极思考呵!

6.如图:AB是圆O的直径,BD是圆O的弦, BD到C,AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?

为什么?

A

补充:
若∠B=70 °,则 40 ° ∠DOE=___.
E

O

C
2013年12月25日6时50 分

D

B

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7、如图,AB是圆O的直径,圆O过 AC的中点D,DE⊥BC于E. 证明:DE是圆O的切线.

C D E B

A

. O

2013年12月25日6时50 分

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