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第2讲 角 学案


第2讲 【知识梳理】
知识点 1:角的表示方法



学案

角的表示方法:角有三种不同的表示方法。 1.用三个大写字母表示,如图 1 中的角记作∠AOB,其中点 O 是角的顶点,A、B 分别是角两条边上的点, A 和 B 可以交换位置,但顶点 O 必须写在中间。 2.用一个大写字母表示,当以某一个字母为顶点的角只有一个时,也可以这个顶点字母来表示,如图中的 角也可以记作∠O。 3.用数字或希腊字母表示,用这种方法表示角时,要在靠近顶点处加上弧线,注上小写希腊字母 α、β、γ 或阿拉伯数字等。如图中②的角可记作∠ α,图③中的角可记作∠1.
A

A O
α

B

B

1
O

α β C

图1

图2

图3

图4

特别提醒:
用一个大写字母表示角虽然简单,但只适用于以某一点为顶点的角只有一个的情况,否则不可以用这种方 法表示,如图 4 中的∠AOB 不能表示为∠O,因为容易与∠AOC、∠BOC 混淆。

知识点 2:角的度量
(1)度量角的方法:度量角的工具是量角器,用量角器度量角的步骤:①对中心(角的顶点与量角器的 中心重合) ;②重合边(角的一边与量角器上的零度线重合) ;③读度数(读出角的另一边所在线的度数) 。 (2)角的度量单位及换算:角的度量单位是度、分、秒。把一个周角 360 等分,每一份叫做 1 度的角, 记作 1° ;把 1 度的角 60 等分,每一份叫做 1 分的角,记作 1′;把 1 分的角 60 等分,每一份叫做 1 秒的角, 记作 1″。其换算关系是 1°=60′,1′=60″;反过来,1′=(
11 12 1 10 9 8 2 3 4

1 1 )° ,1″=( )′。 60 60
C B

1 2 O

7 6 5

A

图5 (3)角的大小的比较: ①度量法:用量角器量得∠1=40° ,∠2=30° ,所以∠1>∠2. ②叠合法:如图 5,把一个角放到另一个角上,使它们的顶点重合,其中的一条边也重合,并使这两 个角的另一条边都在重合的那条边的同侧,则它们的大小关系就明显了,显然∠COD>∠AOB. 特别提醒: (1)用量角器量角,量得角的单位是度。 (2)角的单位度、分、秒是 60 进制的,这和计量时间的单位时、分、秒是一样的。 (3)角的大小与边的长短无关,角的大小一旦确定,它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而 改变。

知识点 3:角的画法
(1)用量角器可以画出 0° 180° 到 的任意度数的角。 (2)一些特殊的角还可以用一幅三角尺画出,如 30° ,45° ,75° ,15° ,90° 等。 (3)可以用圆规和直尺作一个角等于已知角,如图,已知∠AOB,画一个角等于这个角。

作法:①以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA、OB 于点 C、D; ②画一条射线 O′A′,以点 O′为圆心,OC 长为半径画弧 l ,交 O′A′于点 C′ ③以点 C′为圆心,CD 长为半径画弧,交弧 l 于点 D′。 ④过点 D′画射线 O′B′,则∠A′O′B′就是与∠AOB 相等的角。

知识点 4:角的平分线
定义:一条射线(OC)把一个角(∠AOB)分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 (1)如图,如果 OC 是角∠AOB 的平分线,那么以下各式均成立: ①∠BOC=∠AOC; ②∠AOB=2∠AOC 或∠AOB=2∠BOC; O ③∠AOC=

B C A

1 1 ∠AOB 或∠BOC= ∠AOB。 2 2
A

(2)反之,如果以上各式中的任意一式成立,均表示 OC 是角∠AOB 的平分线。 (3)如果有两条射线把一个角平均分成三等分呢? 特别提醒:角平分线是一条射线
O

B C D

知识点 5:用角来表示方向
(1)其主方向与地图中的规定一样,为上北下南,左西右东,东西方向的直线与南 北方向的直线所成的四个角均为直角。 (2)处于四个直角平分线上的方向,分别为东南方向、西北方向、西南方向、西北 方向。 (3)对于其他方向要用到“偏”这个字,例如北偏西 27° ,这里的“偏”字相当于 旋转的意思。北偏西 27° ,就是以正北方向的射线为始边,绕中心 O 向西旋转 27° , 所成的角的终边所在的方向。一般在表示方向时,认为始边是正北方向或正南方向 的射线,这是一种规定,即一般说北偏东× 度,而不说东偏北× 度。 × ×

特别提醒: :用角来表示方向,不仅要说出角的大小,还要明确方向,若知道被测物体离观察点的距离即 角度,就可确定出被测物体的具体位置。

知识点 6:两角的和、差、倍、分的意义
(1)两角的和与差 设有两个角∠1 和∠2(∠1﹥∠2) ,如图,把∠2 移到∠1 上,使它们的顶点重合,一边重合,当∠2 在∠1 的外部时,如图(1) ,它们的另两边所成的角 ?ABC 是它们的和,记作 ?ABC =∠1+∠2. 当∠2 在 ∠1 的内部时,如图(2) ,它们的另两边所成的角 ? DEF 是它们的和是它们的差,记作 ? DEF =∠1—∠2.
C
1

F D

2
2

B

1 (1)

A

E

1 2 (2)

(2)一个角的几倍,几分之一

1 1 ,记作∠1= ∠2,。如 2 2 1 1 果 n 个∠1 的和是∠3,那么∠3 是∠1 的 n 倍,记作∠3= n ∠1,∠1 是∠3 的 ,记作∠1= ∠3 等。 n n
如果两个∠1 的和是∠2,那么∠2 是∠1 的 2 倍,记作∠2=2∠1,∠1 是∠2 的

【题型梳理】
题型 1:考查角的表示方法
【例 1】下列能用∠1,∠ACB,∠C 三种方法表示同一个角的是( )

A.

B.

C.

D.

题型 2: 考查角的和差
【例 2】如图(1)图中共有多少个角?用字母表示出来:

(2)按图填空: ①∠AOB+∠BOC= ②∠BOC+∠COE= ③∠AOD—∠COD= ④∠BOE—∠BOC=

; ; ; 。

E

D

C B O A

特别提醒:方法一: “顺序寻找法” ,即以某边为“基础” ,然后按顺序(逆时针或顺时针方向)寻找构成 角的另一边,直至找完为止;方法二: “类比法” ,将射线(角的边)类比为点,则角就被类比为线段,故 可利用寻找线段条数的方法来求角的个数。

题型 3:考查角的换算
【例 3】 (1)用度、分、秒表示 54.12° ; (2)用度表示 32°44′24″。

题型 4:考查角平分线的应用
【例 4】如图,OC 是∠AOD 的平分线,OE 是∠BOD 的平分线,∠AOB=130° 。 (1)求∠COE 的度数。 (2)如果∠COD=20° ,那么∠BOE 是多少度?

题型 5: 考查方位角的表示
【例 5】如图,OA 是表示北偏东 30° 方向的一条射线,仿照这条射线,画出表示下列方向的射线。 (1)南偏东 25° (2)北偏西 60° 。 。

特别提醒: (1)在方位角中,第一个方向为始边,第二个方向为终边,度数为这两条射线的度数,一条射 线的方位角有两种表示法,如北偏东 α 度,也可以表示为东偏北(90—α)度,但习惯上用前一种表示方 法。 (2)东(西)南方向指南偏东(西)45° ,东(西)北方向指北偏东(西)45°

综合探究
【例 6】由 1 时 15 分到 1 时 54 分,时钟的分针转了多少度?

【例 7】如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD 平分∠AOC,∠BOD=20° ,求∠AOB 的度数。

【例 8】灯塔 A 在灯塔 B 的南偏东 70°方向,A、B 两地相距 4 海里,轮船 C 在灯塔 B 的正东方向,在灯 塔 A 的北偏东 40°,选用适当的比例画图确定轮船 C 的位置。

【例 9】如图,∠AOB 是哪两个角的和?∠DOC 是哪两个角的和?如果∠AOB=∠COD,那么还有哪两个 角相等?

【例 10】如图是一幅三角板重叠而成的图形,则∠AOD+∠COB=

度。


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