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三角函数单元检测及答案


三角函数单元检测及答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填在题) 1.角 α,β 的终边关于 x 轴对称,若 α=30° ,则 β=________. 2x3,x<0, ? ? π 2.已知函数 f(x)=? 则 f(f(4))=________. π -tan x,0≤x<2, ? ? 2 π 3.函数 y=3cos(5x-6)的最小正周期是________. π 3π 4.已知角 θ 的终边经过点 P(-4cos α,3cos α)( <α< ),则 sin θ+cos θ= 2 2 ________. 1 3 5.如果 sin(π+A)=-2,则 cos(2π-A)=________. 6.已知 tan θ=2,则 sin θ =________. sin θ-cos3θ
3

7. 已知扇形的周长是 6 cm, 面积是 2 cm2, 则扇形的圆心角的弧度数是________. 8.函数 y= 25-x2+log3sin(π-x)的定义域为________. π π 2π 9.函数 y=2cos(x- )( ≤x≤ )的最大值和最小值之积为________. 3 6 3 π π 10.将函数 y=sin(3x+4)的图象向右平移8个单位,再将图象上各点的横坐标扩 大到原来的 3 倍(纵坐标不变),则所得的函数解析式是________. π 4π 11.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+3)+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象重合, 则 ω 的最小值是________. π 12.如图 1 为函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,A>0,|φ|<2)图象的一部分,则 f(x) 的解析式为________. π 13.函数 y=2sin(2x+3)在[0,π]上的单调增区间为________. π 14.关于函数 f(x)=4sin(2x+3)(x∈R),有下列命题: ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π ②y=f(x)的表达式可改为 y=4cos(2x-6); 1

π π ③y=f(x)的图象关于点(-6,0)对称; ④y=f(x)的图象关于直线 x=-6对称. 其中正确的命题是________.(把你认为正确的命题序号都填上) 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.) 15.求值 sin2120° +cos 180° +tan 45° -cos2(-330° )+sin(-210° ).

16.已知 α 是第三象限角,且 f(α)=

π 3π sin?α-2?cos? 2 +α?tan?π-α? tan?-α-π?· sin?-π-α?

.

π π 17.已知函数 y=asin(2x+6)+b 在 x∈[0,2]上的值域为[-5,1],求 a,b 的值.

π 18.已知函数 f(x)=2sin(2x+6)+a+1(其中 a 为常数). (1)求 f(x)的单调区间; π (2)若 x∈[0,2]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值;

(3)求 f(x)取最大值时 x 的取值集合.

2

1 19.将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标缩短到原来的3倍,再将曲线上各点的 1 π 横坐标缩短到原来的2倍, 然后把整个曲线向左平移3, 得到函数 y=sin x 的图象, 求函数 f(x)的解析式,并画出函数 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.

π 20. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0, ω>0, |φ|<2)的一系列对应值如下表: x y π -6 -1 π 3 1 5π 6 3 4π 3 1 11π 6 -1 7π 3 1 17π 6 3

(1)根据表格提供的数据求出函数 f(x)的一个解析式; 2π π (2)根据(1)的结果,若函数 y=f(kx)(k>0)的周期为 3 ,当 x∈[0,3]时,方程 f(kx)=m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围.

3

1.【解析】画出图形可知β的终边与-α的终边相同,故β=-30°+k·360°,k∈Z. 【答案】 -30° +k· 360° ,k∈Z 2.【解析】∵4∈[0,2), ∴f(4)=-tan 4=-1, ∴f(f(4))=f(-1)=2×(-1)3=-2. 【答案】 -2 2π 3.【解析】 T= 2 =5π. 5 4.解析】 ∵r= ?-4cos α?2+?3cos α?2=5|cos α|=-5cos α, ∴sin θ= -4cos α 4 3cos α 3 3 4 1 =-5, cos α= =5. ∴sin θ+cos θ=-5+5=5. -5cos α -5cos α 1 5 【答案】 5π
π π π π π

【答案】

1 1 5.【解析】sin(π+A)=-sin A=-2,∴sin A=2, 3 π π 1 cos(2π-A)=cos[π+(2-A)]=-cos(2-A)=-sin A=-2.【答案】 6. 【 解 析 】 【答案】 10 7 1 -2

sin θ?sin2θ+cos2θ? tan3θ+tan θ 23+2 10 sin θ = = = 3 = 7 . sin3θ-cos3θ sin3θ-cos3θ tan3θ-1 2 -1

l+2r=6, ? ? 7. 【解析】 设扇形的圆心角的弧度数为 α, 半径为 r, 弧长为 l, 则?1 lr=2, ? ?2 ?r=1, 解得? ?l=4, ?r=2, 或? ∴α=4 或 α=1. ?l=2, 【答案】 1或4

8.【解析】 ∵y= 25-x2+log3sin(π-x)= 25-x2+log3sin x,
2 ?25-x ≥0, ?-5≤x≤5, ∴要使函数有意义,则? ∴? ?sin x>0, ?2kπ<x<2kπ+π?k∈Z?,

∴-5≤x<-π 或 0<x<π.

【答案】

[-5,-π)∪(0,π)

π 2 π π π 1 π π 9. 【解析】 ∵6≤x≤3π, ∴-6≤x-3≤3, ∴2≤cos(x-3)≤1, ∴1≤2cos(x-3)≤2, 故所求最大值和最小值之积 1×2=2. 【答案】 2 4

π π π π 10.【解析】y=sin(3x+4)向右平移8个单位得 y=sin[3(x-8)+4],再将图象上各 π 点的横坐标扩大到原来的 3 倍(纵坐标不变),得到 y=sin(x-8). π 【答案】 y=sin(x-8) 4 4 11.【解析】由函数的图象向右平移3π 个单位后与原图象重合,得3π 是此函数周 2π 4 3 3 期的整数倍.又 ω>0,∴ ω · k=3π(k∈Z),∴ω=2k(k∈Z),∴ωmin=2. 3 【答案】 2 12.【解析】 A= 3-?-1? 3+?-1? π = 2 , B = = 1 ,由图可知 2sin φ = 1 , | φ | < 2 2 2,

π π π π 2 所以 φ=6,所以 2sin(-πω+6)+1=-1,可得-πω+6=-2,所以 ω=3,所 2 π 以 f(x)=2sin(3x+6)+1.
π π π

【答案】

2 π 2sin(3x+6)+1
5 π

13.【解析】由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ(k∈Z),解得-12π+kπ≤x≤12+kπ(k∈Z),令 k
π 7 π 7 =0,1 得所求单调递增区间为[0, ],[ π,π]. 【答案】 [0, ],[ π,π] 12 12 12 12

π 14.【解析】 函数 f(x)=4sin(2x+3)的最小正周期 T=π,由相邻两个零点的横坐 T π 标间的距离是 2=2知①错. π π π π 利用诱导公式得 f(x)=4cos[2-(2x+3)]=4cos(6-2x)=4cos(2x-6),知②正确. π 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心,将 x=- 6 代入得 f(x)= π π π 4sin[2×(-6)+3]=4sin 0=0,因此点(-6,0)是 f(x)图象的一个对称中心,故命 题③正确. π 曲线 f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=-6时 y π π =0,点(-6,0)不是最高点也不是最低点,故直线 x=-6不是图象的对称轴, 因此命题④不正确. 【答案】 ②③ 5

15.【解】 16.【解】

3 3 3 1 1 原式=( 2 )2-1+1-cos230° +sin 30° =( 2 )2-1+1-( 2 )2+2=2. (1)f(α)= -cos α· sin α· ?-tan α? =-cos α. -tan α· sin α

3π π 1 (2)∵cos(α- 2 )=cos(-3· + α ) =- sin α = 2 5, 1 ∴sin α=-5,cos α=- 1 2 6 2 6 1-?-5?2=- 5 ,∴f(α)= .
5

π π π 7π π 1 17.解:由题意知 a≠0.∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴sin(2x+ )∈[- ,1]. 2 6 6 6 6 2 a+b=1, ? ? 当 a>0 时,? a - +b=-5, ? ? 2 1 ? ?- a+b=1, ?a=4, 解得? 当 a<0 时,? 2 b =- 3. ? ? ?a+b=-5,

解得

?a=-4, ? ∴a,b 的取值分别是 4,-3 或-4,-1. ?b=-1. π π π π π 18.解:(1)由-2+2kπ≤2x+6≤2+2kπ,k∈Z,解得-3+kπ≤x≤6+kπ,k∈Z, π π π π 3π ∴函数 f(x)的单调增区间为[-3+kπ, 由2+2kπ≤2x+6≤ 2 + 6+kπ](k∈Z), π 2π 2kπ,k∈Z,解得6+kπ≤x≤ 3 +kπ,k∈Z, π 2π ∴函数 f(x)的单调减区间为[6+kπ, 3 +kπ](k∈Z). π π π 7π (2)∵0≤x≤2,∴6≤2x+6≤ 6 , 1 π ∴-2≤sin(2x+6)≤1, ∴f(x)的最大值为 2+a+1=4,∴a=1, π π π π (3)当 f(x)取最大值时,2x+6=2+2kπ,∴2x=3+2kπ,∴x=6+kπ,k∈Z. π ∴当 f(x)取最大值时,x 的取值集合是{x|x=6+kπ,k∈Z}. π π 19.【解】 将正弦曲线 y=sin x 向右平移3个单位长度,得函数 y=sin(x-3) 6

x π 的图象,再将曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得函数 y=sin(2-3) x π 的图象,然后将曲线上各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍,得函数 y=3sin(2-3) x π x π 2π 的图象.∴f(x)=3sin(2-3).令 z=2-3,则 x=2z+ 3 .列表: z x y 0 2π 3 0 π 2 5π 3 3 π 8π 3 0 3π 2 11π 3 -3 2π 14π 3 0

描点画图(如图) :

11π π 2π 20.【解】(1)设 f(x)的最小正周期为 T,得 T= 6 -(-6)=2π.由 T= ω 得 ω=1., ?B+A=3, ?A=2, 又? 解得? ?B-A=-1, ?B=1, 5π π 5π π π π 令 ω· + φ = + 2 k π ,即 + φ = + 2 k π , k ∈ Z ,又 | φ | < ,解得 φ =- 6 2 6 2 2 3. π ∴f(x)=2sin(x-3)+1. π 2π (2)∵函数 y=f(kx)=2sin(kx-3)+1 的周期为 3 ,又 k>0,∴k=3.

π π π 2π 令 t=3x-3,∵x∈[0,3],∴t∈[-3, 3 ].
3 π 2π 如图,sin t=s 在[- , ]上有两个不同的解的条件是 s∈[ ,1),∴方程 f(kx)=m 3 3 2 π 在 x∈[0, ]时恰有两个不同的解的条件是 m∈[ 3+1,3),即实数 m 的取值范围是[ 3+ 3 1,3). 7


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