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3.3《二元一次不等式(组)与平面区域》说课课件(新人教必修5


y

o

x

电白县电海中学高二数学组

蔡世雄

教 材 分 析 学 情 分 析 教 法 分 析

过 程 分 析

教 材 分 析
1.地位、作用:承上启下,渗透化归和数形结 合的思想.它不仅有广泛的实际应用,还是对学 生进行计算、作图等基本训练的重要题材,更 是学生进一步学习高等数学的基础。 2.教学内容 (1)集合的观点和语言分析,描述二元一次方程 和二元一次不等式(组)所表示的平面区域。 (2)通过尝试指导,探索总结二元一次不等式(组) 表示平面区域的方法,即“直线定界、特殊点定域”。

教学目标
知识目标:会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域。 能力目标:通过二元一次不等式(组)平面区域确定方法
的教 学,使学生逐步领悟数形结合,化归、集合的数学思 想,培养学生识图、画图的观察能力和联想能力,感悟探 索问题的方法。 德育目标:培养学生对新知识的科学态度,勇于探索和敢 于 创新的精神.

情感目标:通过对问题的发现、猜想和论证的过程中,深
化对知识的理解和方法掌握,在一定的程度上激发学生学习 的兴趣,给学生成功的体验。

教学重点·教学难点·教学要点
教学重点:二元一次不等式(组)表示平面区域 的画法 教学难点:如何确定二元一次不等式Ax+By+C>0(<0) 表示直线Ax+By+C=0那一侧区域。 教学要点:解决难点的关键是运用数形结合的思想方法, 帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述几 何图形,并给出证明。









1.有利积极因素:
本节内容只要学生对不等式(组)以及 直线方程有一定基础的话,学生都能够接 受这个知识点.

2.不利消极因素:
学生的数形结合的思想还不完善,学生 识图,画图能力还不怎么好.

教学方法和手段的选择
讨论与尝试指导法
为了突出重点,设计采取观察启发和讨论问题解 决的方式引出课题,使学生主动参与提出问题和探索 问题的过程,同时,遵循“先试后导,先练后讲”的 原则,让学生在寻求解决问题方法的尝试过程中获得 自信和体验成功,以激发学习兴趣。 为了突破难点,设计让学生讨论,通过观察分析→ 归纳猜想→推理论证→巩固反馈来理解平面区域确定方 法的研究 为帮助学生对二元一次不等式(组)表示平面区域画 法的认识和掌握,加强课堂练习的反馈。

教学过程

创 设 问 题

尝 试 猜 想

归 纳 证 明

应 用 举 例

课 堂 练 习

巩 固 小 结

课题引入
在现实生活和数学中,我们 会遇到各 种不同的不等关系,需要用不同的数学模 型来刻画和研究它们.前面我们学习了一 元二次不等式及其解法,这里我们将学习 另外一种不等关系的模型. ? 我们先看一下下面的一个实际问题.
?

问题情境设置
?

一家银行的信贷部计划年初投入 250 000 000元用于企业和个人贷款, 希望这笔资金至少可带来30 000元的 收益,其中从企业贷款中获益12%,从 个人贷款中获益10%.那么,信贷部应 该如何分配资金呢?

这个问题中存在一些不等关系,我们应该用什么不等式模型来刻 画它们呢? ? 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元.由于资 金总数为25 000 000元,得到 ? x ? y ? 25000000 (1) ? 由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创收为10%,共创收30 000元 以上,所以 ? (12%) x ? (10%) y ? 30000. ? 即 12 x ? 10 y ? 3000000. (2) ? ? 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金总数额都不能是 负值,于是 ? (3) x ? 0, y ? 0.

将(1)(2)(3)合在一起,得到分配资金应该满足的条件:

? x ? y ? 25000000, ?12 x ? 10 y ? 3000000, ? ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?
? 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数 对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元 一次不等式(组)的解集.有序数对可以看成直角坐标平 面内点的坐标,于是,二元一次不等式(组)的解集就可以 看成直角坐标系内的点构成的集合.

我们知道,一元一次不等式(组)的解集可以表 示为数轴上的区间,例如

?x ? 3 ? 0 ? ?x ? 4 ? 0
的解集为数轴上的一个区间.那么,在直角坐标系 内二元一次不等式(组)的解集表示什么图形呢? 我们不妨先来研究一个二元一次方程和一 个二元一次不等式.

问题1:在平面直坐标系中,

x+y=0
表示的点的集合表示什么图形? 问题2:x+y>0呢?

问题3:x+y-1>0呢?

y

o

x

x+y=0
Back

y

x+y>0

o
x+y<0
x+y=0
Back

x





点的坐标(x,y)
(1,0)(0,1)

a=x+y-1
a=0

点在x+y-1=0上

点在x+y-1=0的右上方

(1,2)(2,1)

a>0

点在x+y-1=0的左下方

(1,-1)(―1,―1)(-1,1)

a<0

y
(1,2)

(0,1) (-1,1) (1,0)

(2,1)

o
(―1,―1) (1,-1)

x

y

O

x

x+y-1=0 x+y=0 x+y=0 x+y=0 x+y=0 x+y=0 x+y=0 x+y=0

猜想:
对x+y-1=0右上方的点(x,y)有x+y-1>0成立。

对x+y-1=0左下方的点(x,y)有x+y-1<0成立。

y

P(x0,y0)

M(x,y)

o
x+y-1=0

x

证明:设M为直线x+y-1=0右 上方的任一点,则过M作 MP∥x轴,交L于点P,记 P(x0,y0) ∵x>x0 y=x0 ∴x+y>x0+y0 ∴x+y-1>x0+y0-1=0 即x+y-1>0 ∴直线x+y-1=0右上方 的点(x,y),都有x+y-1>0 同理:x+y-1=0左下方的任 意点(x,y),x+y-1<0都成 立。

y
证明: ∵x=x0 y>y0 M(x,y) ∴x+y>x0+y0

o

P(x0,y0) x+y-1=0

x

即x+y-1>x0+y0-1=0 ∴x+y-1>0

对任一点P0(x0,y0)在L:Ax+By+C=0(B>0) 上方的充要条件:Ax0+By0+C>0 (对于充分性、必要性证明,教师 证明:充分性:如图:Ax0+By0+C>0 可以选择性地作为学有余力学 P(x0,y0) 生学习)
∵B>0
Ax0 ? C ∴y0>- , B

y

过P0作P0M⊥x轴
Ax0 ? C 交L于点Q,则Q点坐标(x0- ) B Ax0 ? C ∵MP0=y0>- =MQ B

Q(x0,y)

∴点P0在直线L的上方

o

M

x

必要性:∵点P0(x0,y0)在L的上方
Ax0 ? C ∴MP0>MQ即y0>- B

L

又B>0 ∴Ax0+By0+C>0

结论:
①二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标 系中的图形是表示Ax+By+C=0某一侧所有点组 成的平面区域。 ②在Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它 的坐标代入Ax+By+C,所得的实数符号都相同。

例1:画出不等式
2x+y-6<0 所表示的平面区域。

y
6

o
2x+y-6<0

3

x

2x+y-6=0

例2:画出不等式组
?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

所表示的平面区域.

y
x+y=0

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

o
x-y+5=0
Back
x=3

x

课堂练习1:
(1)不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0 的( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D左下方 (2)画出不等式3x+2y-6<0所表示的平面区域。
?x ? 3y ? 6 ? 0 (3)画出不等式组 ? 所表示的平面区域。 ?x ? y ? 2 ? 0

课堂练习2:
课本105页 习题3.3 A组 1

归纳画法:
1、画出二元一次不等式所对应的直线方程。

2、选取特殊点,若Ax+By+C=0中的常数项C
不为零,则取原点(0,0)。 3、画出平面区域。

(1)怎样画出二元一次不等式(组) 表示的平面区域.

(2)掌握“直线定界,特殊点定域”方法. (3)应该注意的几个问题: 若不等式中不含0,则边界应画成虚线,否则应画成实线 画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。

布 置 作 业
1. 课本105-106页 习题 3.3 A组 2 2. B组 1

如图,求△PQR内任一点(x,y) 所满足的关系式。 y R(3,5) P(1,2) o x

Q(-3,4)

课时结构与设计
一、板书设计
投影屏幕
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 1.定义 3.课堂练习 5.课堂小结 2.例题讲解 4.画法归纳 6.布置作业

二、时间安排
课题引入约5分钟,画法的探究约10分钟(包括 简单的证明).实践练习约22分钟.(包括例题讲解和 课堂练习)小结与作业约3分钟.(注:一节课40分 钟)

教学计划预评估
? 通过本节的学习,学生会画出二元一 次不等式(组)所表示的平面区域。通 过二元一次不等式平面区域确定方法的 教学,使学生逐步领悟数形结合,化归、 集合的数学思想,培养学生识图、画图 的观察能力和联想能力,感悟探索问题 的方法。


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