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平面向量的数量积及其应用


平 面 向量 的数量 积 是《 向量 》 这 一 章 的重要 内容 , 它是 把 向量 问题代 数 化 的 重要 手 
段 . 以向量 的平 行 、 垂直、 所成 角 为载 体考 查 向量 的数量 积 的 问题 一 直是 高考 的热点 ,   与三 角 、 解 析几 何 、 不等 式 等知识 点 的综合 也 是我们 复 习时要值 得关注 的方 向 .  

r />平面向量的数量积及其应用 
… … … … ‘… … ’ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … _ ?_ ?… … … … … ?? ?… ?… ?… ?… … ?… … … ?_ ?… ?… ?… … … ? …

? 。《暖  

0 福 建 厦 门 外 国语 学 校

邱 小 瑾 

重点 :①掌握 向量 的数量积 的 
定 义 。体 会 平 面 向量 的数 量 积 与 向 

式, 会进行平面向量积的运算 ; ③ 能 
运 用 平 面 向量 的数 量 积 处 理 三 角 、  

量 积 的 相关 性 质 并 能 进行 简 单 的 探 

究 :②运用 向量数量积工具性 的作 
用 .灵 活处 理 向量 与 几 何 、圆锥 曲  线 、三 角 函数 等 其 他数 学 知识 的综 
合 问题 .  

量 投影 的关 系 , 并理解其几何意义 ;  

几 何 等 问题 .  

② 掌握平 面向量数量积 的重要性质 
及 运算 律 ,掌 握 数 量 积 的坐 标 表 达 

难点 :①从数与形两个方 面体 
会 向量 数 量 积 的定 义 ,理 解 向量 数 

在 解 决 关 于 向量 数 量 积 的 问题  时, 一 是 要 善 于 运 用 向量 的平 移 、 伸 

问题 上 的作 用 .本 节 内 容 常 见 的题  型 与 方法 是 :   ( 1 ) 数 量 积 概 念 的考 查 : 要 理 解 
向量 的 数 量 积 为 “ 数” 的意义 , 要 注  意 向量 的数 量 积 的 运算 律 不 同 于 实 

证 垂直 、平 行 : 口上西   l   2 _  1 ) , 2 =  

0 ; 口 / / 6 铮  1 ) , 『 l  I = 0 .  

缩、 合成 、 分解 等变换 , 正 确 地 进 行 
向 量 的各 种运 算 , 进一步加深对 “ 向  量” 这 一 二 维性 的量 的本 质 的认 识 .   并 体 会 用 向量 处 理 问 题 的 优 越 性 :   二 是 向量 的 坐标 运 算 体 现 了数 与形 

求 两 直 线 夹 角 : ( 3 0 8 0 =   寻  
—=  =
?   Vx 2   " r Y ' . 2  

数 乘 法 的运 算 律 ,向量 的数 量 积 运  算 不 满足 结 合律 等 .  

( 可 用于 判 定 角是 
。 ‘ ’ 。 ‘ 。 ‘  

互 相 转 化 和 密切 结合 的 思 想 .所 以 
要 通过 向量法 和坐标 法的运 用 . 进 


( 2 ) 数 量 积 公 式 与性 质 的应 用 :  
分为“ 基底法” 与“ 坐标 法 ” 两类 处 理 .  

锐角还是钝 角 ) .  
( 3 ) 数 量积 与其 他 数学 知识 的 交 
汇 与融 合.  

步 体会 数形 结 合 思 想 在 解 决 数 学 

求长度 : 口 - 口  2 = l a   I   2 +  

爹倒1 设口 , b , c 是 任 意 的非 零  向量 , 且 互 不 共 线.已知 下 列命 题 :  

③( 西 ? C ) ? 口 一 ( c ? 口 ) ? 西 不与C 垂直 ;  

思 索  因为 向 量 的数 量 积是 新  运 算 ,所 以不 能 将代 数 运 算 的运 算  律 完 全 照 搬 过 来 .以 下 三 点 要 特 别 

④( 3 a + 2 b ) ( 3 a 一 2 b ) = 9 1 a 1  
其 中是 真 命 题 的有 (   )  

2 .  

①( 口 ? b ) ? c - ( c ? a ) ? b = O ;  

A . ①②  c . ③④ 

B . ②③  D . ②④ 

注意: ① 在 代数 中我 们 常 用的 “ 若 
a b = O , 则a = O 或b = O ” 在 向 量 的数 量积 

②I a j — l b I < j 口  J ;  

G嬲  

重 点 突 破  
A.  
2  

中不适 用.② 由a? b - - b ? c 不 能推 出口 =   c , 即 等 式 两边 都 是 数 量 积 时 , 其 公  因式 不 能约 去.另 外 . 我 们 学 习的 向 
量运 算 中没 有 除 法 ,相 约 的 实质 是 

B.   3  

c.   6  

D.   1 2  

组.由于 题 目中给出了I   I <  , 所  

思索

这 是 近 年 高考 的 热 点 题 

以要围绕I - o - h i <   去求1 耐1 的取值 
范围 . 先把I   - o - b - 1 用1   - 0 7l 来表示.由  

目, 一般有 “ 基底 法” 与“ 坐标 法” 两  种 处理 方 法.一 是 先建 立 坐 标 系. 分 
别 求 得 相 关 坐 标 .再 利 用 数 量 积 公 

相除, 这是不允许 的.③结合律对数 
量积 不 成 立 , 即( 口? b ) C ≠口 ( b ? C ) .  

上 磕 , I 商 I : I   I : 1 可 得  


破解

对 于① ,只有b 和C 方向  

式 列 出方 程 求 解 :二 是 直 接 利 用 向 

商一  , 平方 转化得  : : 2 一  
l - o - b - l <   1 求出l   I 的取 


相 同时 , 两者才可能相等 , 所 以①错.   考虑② 式对应的几何 意义, 由“ 三角  
形 两边 之 差 小于 第 三边 ”知(  正 确.  

量运 算 变形 .其 过 程 要 用 到 向 量 的 
数量 积 公 式 及 求模 公 式 .达 到 同样 
的 求解 目的.  

- o A -  ̄ ,  ̄
值 范 围.  

因为 [ ( 6? C ) ? a 一 ( c ? a) ? b ] ? c = O, 所 以 
( 6? C ) ? a 一( c ? a ) ? b 与C 垂直 , (  错 .对 

破 解  建 立 如 图 1 所 示 的 坐 标 

破 解  因 为 
.   =

J _  

, 所 以得 

系, 则A( 一 l , 0 ) , B ( O , 一 、 / 3) , C ( 1 , 0 ) ,  
D( O, 、 /3) .  
.  

于(  ,向 量 的 乘 法运 算 符 合 多项 式 

(   一   ) . (   一 - o X)  
.  .  

乘 法法 则 . 所 以④ 对 . 答案 为D .  


设E (   l , ) , 1 ) , F(   2 , y 2 ) .由 舳 :  

例2 ( 2 0 1 4 年 高 考 湖北 卷 )  

. 



A B C  ̄ - ( x   , y   + 、 / 了) = A ( 1 , 、 / 了) , 解得 
{  
f x M,  

商 .  一   .   一o - a - '  ̄ .  
- o b 一   :   一  

设 向 量口 =( 3 , 3 ) , 6 =( 1 , 一1 ) .若 ( 口 +  
A b ) 上( a — A b ) , 则实 数A =  

因为 a - - b =   +  
即点  , x /3( A 一 1 ) ) .  


一 

思 索  本 题 考 查 两 向量 垂 直 的 
性质 的应 用 。利 用数 量 积 为零 可 求 
得 A的 值 .  

t y F V  3   ) ,   由D F = I . d ) C  ̄ , -(   2 , Y 2 一 、 / 了) =  
( 1 , 一   ), 解 得  ,
一  

所以  

赢 - - o X - .  

因为 l   I = l   I = 1 , 所以   2 _ 1 + 1 +  

2 (   . 碡   .  一 - 0 7.   ) ,  
所以   2 = 2 一 - o X 2 .又l   I <   1 0≤ 


破解

因 为a + A b = ( 3 + A, 3 - A) ,  

I   x /3 ( 1   ) ,  

a— A b =( 3 一 A, 3 + A) , 又( a+ A b ) 上( a —  
A b) , 所以 ( a + A b ) ? ( 口 一 A b ) =( 3 + A) ?  

即点F  , 、 / 3( 1   ) ) .  
又 因为  .   _ ( A + 1 ,   ( A一  

( 3 一 A) + ( 3 - A) ( 3 + A) = 0 , 解得A : ± 3 .  

I   朋÷    ̄ e   I - o 7 " 1 ∈  

1 ) ) ?  + 1 , 、 / 了( 1  ) ) = 1① ,   ?  


例3 ( 2 0 1 4 年高考 四川卷 )  

( A — l , 、 / 了( A 一 1 ) ) ?  一 1 , 、 / 了?  

平 面 向量口 =( 1 , 2 ) ,  = ( 4 , 2 ) , c = m a + b   ( m∈R) ,且C 与a的夹 角等 于c 与b 的  夹角 , 则 m等 于 (  
A.一 2  

( 孚,  ] .  
: 

( 1  ) ) = 一 ÷ ②.  
) 



例6 已知锐角三 角形A B c  

)  
C.1   D.2  

中 的三个 内角分别 为A, B, C .  

B.一1  

由 ①一 ②得 A  = ÷.  

( 1 ) 设赢 . - c - Z - :   .   , 求证 :  
AAB C 是 等腰 三 角形 :  

思索

本 题 考 查 数 量 积 求 角 的 

坐标 公 式 . 求 出c 后 代 入公 式 即 可.  
破 解  因 为 口 =( 1 , 2 ) , 6 =( 4 , 2 ) ,  

y   :  



( 2 ) 设向量   = ( 2 s i n c . 一 、 / 了) , f =  

c = ma   , 所 以c = ( m+ 4, 2 m+ 2 ) .由 已  知可得 C O S< 口, c > = c o s < 6 , c > , 所 以  m+ 4 + 2 ( 2 m + 2 ) 4 ( , n + 4 ) + 2 ( 2 ,   + 2 )  

户   ..  
一   一

( c o s 2 C , 2 c 。 s   导 一   ) , 且 s / / t , 若 s i n A =  
1 3

3. 2 一  D   /1  2  3  
2  


' 求 s   n ( 詈 坷 ) 的 值 .  
思 索  向 量 的数 量积 既 反 映 了  

、 / 了?   C  
m+ 2 0 即— 5 m+8 8


2 N / 5 - ? I C l  


3   嘲 1  







所 以m= 2 .选 D .  


长 度 关 系又体 现 了角 度 关 系 .它是 

、 / , 了

2 \ / 了 
t  ̄ 1 5平 面上 ,   上   ,  

解 决三 角形 问题 的较 好 方 法.因此 .  

例4 ( 2 0 1 4 年高考天津卷 )  
已知 菱 形AB C D的边 长 为2 . / _ _ B A D=  

这 类 问题 在 高考 试题 中总是 大量 存  在, 复 习时要 引起 足够 的 重视 .  

I 商 I = I   l : 1 ,  : 商 +   , 若  
I - o b - l < —   1 则I   l 的取值范围是 


1 2 0 。 , 点 , 盼 别 在 边B C, D C 上, 船 =  

破解
,  


( 1 ) 因为蔚 . - C - A ' : - C A - ' .  
(   赢) , 所以 一 (  +  

A B C , D F  ̄ . t t D C . 若  .   1 , 蔬.  
, '  


所以   . ( 赢—   ) : 0 . 又  +  +  


思索 考虑求I - o - X I 的取值范围,  
则构建关于 I - o - a ' I 的不等式或不等式  

所以  

则A   等于(  

)  

赢) . ( 蔚一   ) : 0 ,所以  z 一 赢  : 0 .  

22  

所以l A -  ̄[ 2 = I 赢I   z , 即I   1 = I 赢I , 故 
△AB C为等腰 三 角形.  

2 C ∈ ( 0  , 所 以 2 c =  , 解 得 c = 詈  

s i n A =1

3 ,且 A为 锐 角 ,所 以c 。  =  

( 2 ) 因 加  截 2 _ s i n G f 2 c o s  一 1 ) =  
、   二  /  
一  

所 以 A =   , 从 而 有 s i n ( \   3 一   ) /   =  

2 丁 X / 2 -


所 以 s i n ( 詈   ) = s i n   一 詈 ) =  


了c o s 2 C , 所以8 i n 2 c _ l - 、 / 了c o s 2 C ,  
. 因 为 C为 锐 角 。 所 以 

即t a n 2 c : 一  

s i n [ ( 孚   ) 一 号 ] - s i n ( A 一 号 ) . 又  

s i n A   c 。 s   一 c 。   s i n   :— 1 - 2X / - 6 -  

3  

3  

6  

1 .已 知 a , b是 两 个 非 零 向 量 ,  

2 a ? b + I b l 2 - = 3 I a I   , 所以I 口 柏I = 、 / 了1 a 1 .  
设 a 与 a+   的 夹 角 为 0. 则C O S O =  
3  

L _ 一 旦 
3  

同时满足j 口 J = J b I = j 口  J , 求a 与口 +  
b的 夹 角 .  

5 I解法一: 设厶4   0 (   ! ∈[ 0 , 1 2  ] ) ,  
a? ( a + b )  

2 .已知向量 a ≠口 , l e I = 1 , 满足 :  

1 n 1   2 + 2[ 口   I
2  

对任意t   E   R, 恒有J 口   I ≥J 口  I , 则 
(   )  
A. a上P   B . a上 ( a - e )  

a   J ? I 口 曲J   a f ? 、 / / 了f a f  
所 以0 = 3 0 。 .  

f   .   :   .   + y   耐 ,   则【 {   即   - 0 7?   + y   ?   ,  
.   =  

2 .解 法 一 : 由 已知 , 任 意t ∈R,  

C . e上( a - e )D .( 口  ) 上( a - e )  

恒有f a - t e f ≥I 口  I 成立, 所以f 口  f   ≥  
1 a — e     1 ,即 a 2 - 2 t a ? e + t 2 e    ̄a 2 - 2 a? P +  
e   . 所 ̄ Xt L2 t a?   + 2 a? e - 1 >0 t 恒 成立§  

3 .已知 平 面 上 三 点A, B, C 满 足 

I  1 = 3 , I 赢I : 4 , I  l = 5 , 则  ?  
赢.  +  .   的值等于一  
4 .如 图2 , 在 AAB C中 , /B AC=  
1 2 0 。 , AB = 2, A   C = 1 , D是 边B C 上一点 ,  

所 ̄ X x + y = 2 [ c o s a + c o s ( 1 2 0 。 吨) ] =  
2 s i n  

A≤0 , 即4( a?   ) 2 _ 4( 2 a? e 一 1 ) ≤0 甘  ( a? e - 1 )   ≤0 , 所 以 a? e - 1   ? e - e   ?  

( a — P ) = 0 , 即e 上( a - e ) .选 C .   解 法二 : 如 图4 所 示. 构 造 图象解 

解 法二 : 如 图5 所示, 建 立直 角 坐 

D C : 2 B D. 则   . 蔚:  

C 

题. 设魂   ,   = e , 赢= a - e , 显然,   y   { i   当 O B _ I _ B E  ̄, } a - r e f ≥f a - e f 恒成立.   =  
,  

一 —    ( v 。    
一  


标  
c o  

孚) , 设  
1  
一  y,  
即 
. 

— 2 

图 2  

AOC=   . 则 

5 .给 定 两 个 长 度 为 1 的 平 面 向 

眦 T
= COS   + —二 _ 一

、 /3  

  y ,  

量  和  。" E4 f ] 的夹 角为 1 2 0 。 .如 
图3 所 示 .点 C 在 以0为 圆 心 的 圆 弧 

、 /3  81 .   1 ' 1  
3  

.  

A B 上 变 动.若 

十 y   , 其 中  ,  

所 以  +Y =  
D  a   幽 4  E 

2 、 / 了

.  

y∈R, 则  的最 大值 是 

y  丁

吼 心,  

3 .注意到  + 赢+  : 0 .两边 

2 s i n (   +  ≤ z . 盈  

平方可 得I  I 2 + l 赢1 2 +   I I 2 +   ?  
蔚+ 2 蔚.   + 2   . - A g : 0 . 所以   .  
D  A 

图 3  

赢+ 赢.  +  .  : 一 2 5 .  

/ 二  
  .

参 考 答 案 

4 . 由 - o - d : 2 动 得  —  : 2 (   一  

1 . 根据I a I = I b I , 有1 a I 2 = I b l   , 又  

由l b I = I 口 一 b l 得l b I   z = I a I 2 _ 2 n ? 西 + l b l : ,  

) , 即   : ÷   +  , 葡 = - a d 一  


\  
0 

A  

所 以  = 丢   而 I 口   口 I 。 +  

所 以 

.  

.  

一  
图5  


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