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2013届高三理科数学高考专题训练25 数形结合思想 Word版含答案]


高考专题训练二十五
班级_______ 姓名_______ 时间: 45 分钟

数形结合思想
分值: 75 分 总得分_______

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上 一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 11 C. 5 解析: 37 D. 16 B.3 )

设 P 到 l1 的距离为 d1,P 到 l2 的距离为 d2,由抛物线的定义知 d2=|PF|,F(1,0)为抛物线焦点,所以 d1+d2=d1+|PF|.过 F 作 FH⊥ l1 于 H,设 F 到 l1 的距离为 d3,则 d1+|PF|≥d3.当且仅当 H,P,F 10 三点共线时,d1+d2 最小,由点到直线距离公式易得 d3= =2. 5 答案:A x 2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且 a b 倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线 的离心率的取值范围是( A.(1,2] B.(1,2) D.(2,+∞) )

C.[2,+∞)

c2-a2 b 解析: 如图所示, 根据直线与渐近线斜率的大小关系: a= a = e2-1≥ 3,从而 e≥2.

答案:C → =(2,0),OC → =(2,2),CA → =( 2cosα, 2sinα),则向 3.已知OB → 与OB → 的夹角的取值范围为( 量OA π A.[0, ] 4 5 π C.[ π, ] 12 2 解析: π 5 B.[ , π] 4 12 π 5 D.[ , π] 12 12 )

如图,在以 O 为原点的平面直角坐标系中,B(2,0),C(2,2),A 点轨迹是以 2为半径的圆 C,OD,OE 为⊙C 的切线,易得∠COB π π → 与OB → 的夹角最 = ,∠COD=∠COE= ,当 A 点位于 D 点时,OA 4 6

π → 与OB → 的夹角最大为 5 π,即夹角的 小为 ,当 A 点位于 E 点时,OA 12 12 π 5 取值范围为[ , π]. 12 12 答案:D
? π? ? π π? ? 7 ? 4 . 函 数 y = 3cos ?2x+3? ?-6≤x≤3? 与 y = 3cos ?2x-3π? ? ?? ? ? ? ?7 5 ? ? π≤x≤ π? 的图象和两直线 y = ± 3 所围成的封闭区域的面积为 3 ? ?6

(

) A.8π C.4π B.6π D.以上都不对

7 解析:∵函数 y=3cos(2x- π)= 3
? ? 4 ? π? 3cos?2?x-3π?+3?. ? ? ? ?

7 ∴y=3cos(2x- π)的图象是将函数 y= 3
? π? 4 3cos?2x+3?的图象向右平移 π 个单位得到的.由画图可知,所 3 ? ?

4 围成的区域的面积为 π×6=8π. 3 答案:A

5.设定义域为 R 的函数

? 1 f(x)=?|x-2| ?1

?x≠2?, ?x=2?.

若关于 x

的方程 f2(x)+af(x)+b=0 有 3 个不同的实数解 x1, x2, x3, 且 x1<x2<x3, 则下列说法中错误的是(
2 2 A.x2 1+x2+x3=14

) B.1+a+b=0

C.x1+x3=4

D.x1+x3>2x2

解析:作出 f(x)的图象,图象关于 x=2 对称,且 x=2 时,f(x) =1, 故 f(x)=1 有 3 个不同实数根 x, 除此之外, 只有两个根或无根. 又 f2(x)+af(x)+b=0 有 3 个不同的实数解 x1<x2<x3,x2=2,而 x1+x3 =2x2=4.又 f(x)=1, 答案:D 6.若函数 f(x)=logax-x+a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围为( A.0<a<1 ) B.a>1 D.1<a<2 1 =1,x1=1,x3=3,故 A,B,C 正确. |x-2|

C.a>0 且 a≠1

解析:设函数 y=logax(a>0 且 a≠1)和函数 y=x-a,则函数 f(x) =logax-x+a 有两个零点,就是函数 y=logax(a>0 且 a≠1)与函数 y =x-a 有两个交点,由图象可知当 0<a<1 时,两函数只有一个交点, 不符合;当 a>1 时,函数 y=logax 图象过点(1,0),而直线 y=x-a 与 x 轴交点(a,0)在点(1,0)右侧,所以一定有两个交点,故 a>1. 答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7.设有一组圆 Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四 个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆不经过原点 其中真命题的代号是________.(写出所有真命题的代号) 解析:假设圆经过原点,则有(0-k+1)2+(0-3k)2=2k4,即 2k4

-10k2=-2k+1,而上式左边为偶数,右边为奇数,故矛盾,所以
? ?x=k-1, D 正确. 而所有圆的圆心轨迹为? 即 y=3x+3.此直线与所 ?y=3k, ?

有圆都相交,故 B 正确.由于圆的半径在变化,故 A,C 不正确. 答案:BD π 8.当 0≤x≤1 时,不等式 sin x≥kx,则实数 k 的取值范围是 2 ________. 解析:

π 在同一坐标系下,作出 y1=sin x 与 y2=kx 的图象,要使不等式 2 π sin x≥kπ 成立,由图可知需 k≤1. 2 答案:k≤1 1 9.函数 f(x)= x3+ax2-bx 在[-1,2]上是单调减函数,则 a+b 3 的最小值为________. 解析:∵y=f(x)在区间[-1,2]上是单调减函数, ∴f′(x)=x2+2ax-b≤0 在区间[-1,2]上恒成立. 结合二次函数的图象可知 f′(-1)≤0 且 f′(2)≤0,

? ? ?1-2a-b≤0, ?2a+b-1≥0, ? 即 也即? ?4+4a-b≤0 ? ? ?4a-b+4≤0.

作出不等式组表示的平面区域如图:

1 当直线 z=a+b 经过交点 P(- ,2)时,z=a+b 取得最小值,且 2 1 3 3 zmin=- +2= .∴z=a+b 取得最小值 . 2 2 2 答案: 3 2

点评:由 f′(x)≤0 在[-1,2]上恒成立,结合二次函数图象转化 为关于 a,b 的二元一次不等式组,再借助线性规划问题,采用图解 法求 a+b 的最小值.
? ?-1<x<1, 10. 用计算机产生随机二元数组成区域? 对每个二元 ?-2<y<2. ?

数组(x,y),用计算机计算 x2+y2 的值,记“(x,y)”满足 x2+y2<1 为事件 A,则事件 A 发生的概率为________. 解析: 本题为几何概型问题, 应转化为图形的面积比求解. 如图,
? ?-1<x<1, 画出不等式组? 及(x,y)满足 x2+y2<1 的平面区域. ?-2<y<2 ?

π ∴P(A)= . 8 答案: π 8

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)若关于 x 的方程 x2+2kx+3k=0 的两根都在-1 和 3 之间,求 k 的取值范围. 解:

令 f(x)=x2+2kx+3k, 其图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 f(x) =0 的解,由 y=f(x)的图象(如图)可知,要使两根都在-1,3 之间,
? b? 只需 f(-1)>0,f(3)>0,f?-2a?=f(-k)<0,-1<-k<3 同时成立,解 ? ?

得-1<k<0,故 k∈(-1,0).

x 2 y2 12.(13 分)(四川)设椭圆 2+ 2=1,(a>b>0)的左右焦点分别为 a b F1、 F2, 离心率 e= =0. 2 → → , 右准线为 l, M、 N 是 l 上的两个动点, F F 1M· 2N 2

→ → (1)若|F 1M|=|F2N|=2 5,求 a、b 的值; → → → (2)求证:当|MN|取最小值时,F 1M+F2N与F1F2共线. 2 c 解:由 a2-b2=c2 与 e=a= ,得 a2=2b2. 2 F1(-
? 2 ? 2 a,0),F2? a,0?,l 的方程为 x= 2a. 2 ?2 ?

设 M( 2a,y1),N( 2a,y2)
?3 2 ? ? 2 ? → → 则F a,y1?,F a,y2? 1M=? 2N=? ? 2 ? ? 2 ?

→ → 由F F 1M· 2N=0 得 3 y1y2=- a2<0 2 ①

→ → (1)由|F 1M|=|F2N|=2 5,得
?3 2 ?2 ? a? +y2 1= 2 5 ? 2 ? ? 2 ?2 ? a ? + y2 2 =2 5 ?2 ?

② ③

由①②③三式,消去 y1,y2,并求得 a2=4 故 a=2, b= 2 = 2. 2

2 (2)证明:|MN|2=(y1-y2)2=y1 +y2 2-2y1y2

≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=6a2. 当且仅当 y1=-y2= |MN|取最小值 6a.
? 2 ? → → ?3 2a,y ? ? ? 此时,F + a , y 1M+F2N=? 1 2? ? 2 ? ?2 ?

6 a 或 y2=-y1= 6a 时, 2

=(2 2a,y1+y2)=(2 2a,0)=2F→ 1F2. → → → 故F 1M+F2N与F1F2共线.


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