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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修二全册教案2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质(


第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2.过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;

3

.情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明” ,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑 推理能力. (二)教学重点、难点 两个性质定理的证明. (三)教学方法 学生依据已有知识和方法,在教师指导下,自主地完成定理的证明、问题的转化. 教学过程 教学内容 问题 1:判定直线和平面垂 直的方法有几种? 新课导入 问题 2:若一条直线和一个 平面垂直, 可得到什么结论?若 两条直线与同一个平面垂直 呢? 一、 直线与平面垂直的性质 定理 1.问题:已 知直线 a、 和平 b 面 α , 如 果 探索新知
a ⊥ α , b ⊥ α ,那

师生互动

设计意图

师投影问题. 学生思考、 讨 论问题,教师点出主题

复习巩固 以旧带新

生:借助长方体模型 AA′、 BB′、CC′、DD′所在直线都垂直 于平面 ABCD, 它们之间相互平 行,所以结论成立. 师:怎么证明呢?由于无 法把两条直线 a、b 归入到一个 平面内,故无法应用平行直线 的判定知识,也无法应用公理 4, 有这种情况下, 我们采用 “反

借助模 型教学, 培 养几何直 观能力., 反 证法证题 是一个难 点, 采用以 教师为主, 能起到一 个示范作 用, 并提高

么直线 a、b 一定平行吗? 已知 a ⊥ α , b ⊥ α 求证:b∥a. 设 b ∩ α =0

证明:假定 b 不平行于 a, 证法” 师生边分析边板书.

b′是经过 O 与直线 a 平行的 直线 ∵a∥b′, a ⊥ α ∴b′⊥a 即经过同一点 O 的两线 b、 b′都与 α 垂直这是不可能的, 因此 b∥a. 2.直线与平面垂直的性质 定理 垂直于同一个平面的两条 直线平行 简化为:线面垂直 ? 线线 平行 二、 平面与平面平行的性质 定理 1.问题 黑板所在平面与地面所在 平面垂直, 你能否在黑板上画一 条 直 线 与 地 面 垂 直 ? 教师投影问题,学生思考、 观察、讨论,然后回答问题 生:借助长方体模型,在 长方体 ABCD – A′B′C′D′中,面 A′ADD′⊥面 ABCD,A′A⊥AD, AB⊥A′A ∵ AD ∩ A′A = A ∴A′A⊥面 ABCD 故只需在黑板上作一直线 2 . 例 1 设 α⊥β , 探索新知 与两个平面的交线垂直即可. 师:证明直线和平面垂直 一般都转化为证直线和平面内 两条交线垂直,现 AB⊥CD,需 找一条直线与 AB 垂直, 有条件
α ⊥ β 还没有用,能否利用

上课效率.

本 例 题的难点 是构造辅 助线, 采用 分析综合 法能较好 地解决这 个问题.

α ∩ β =CD,AB ? α , AB⊥CD,
AB⊥CD = B 求证 AB ⊥ β

证明:在 β 内引直线 BE⊥ CD,垂足为 B,则∠ABE 是二 面 角 α ? CD ? β 的 平 面 角 . 由
α ⊥ β 知 , AB ⊥ BE, 又 AB ⊥

α ⊥ β 构造一条直线与 AB 垂直

呢? 生:在面 β 内过 B 作 BE⊥ CD 即可. 师:为什么呢? 学生分析,教师板书

CD,BE 与 CD 是 β 内的两条相 交直线,所以 AB⊥ β 3.平面与平面垂直的性质

定理 两个平面垂直, 则一个平面 内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直 简记为:面面垂直 ? 线面 垂直. 例 2 如 图,已知平面
α, β ,α ⊥ β ,

师投影例 2 并读题 生:平行 师:证明线面平行一般策 略是什么? 生:转证线线平行 师:假设内一条直线 b∥a 则 b 与 α 的位置关系如何? 生:垂直 师:已知 b ? α , α ⊥ β ,怎 样作直线 b? 生:在 α 内作 b 垂直于 α 、
β 的交线即可.

直线 a 满足
a ⊥ β , a ? α ,试判断直线 a

与平面 α 的位置关系. 解:在 α 内作垂直于 α 与
β 交线的直线 b,

因为 a ⊥ β ,所以 b ⊥ β 因为 a ⊥ β ,所以 a∥b. 又因为 a ? α , 所以 a∥ α . 即直线 a 与平面 α 平行. 典例分析 例 3 设平面 α ⊥平面 β , 点 P 作平面 β 的垂线 a, 试判断 直线 a 与平面 α 的位置关系?

巩固所学 知识, 训练 化归能力.

学生写出证明过程,教师 投影. 师投影例 3 并读题,师生

巩固所学 知识, 训练 分类思想 化归能力 及思维的 灵活性.

证明:如图,设 α ∩ β = c, 共同分析思路,完成证题过程, 过点 P 在平 面 α 内作直 线 b⊥c,根 据平面与平 面垂直的性 质 定 理 有
b⊥β.

然后教师给予评注. 师:利用“同一法”证明 问题主要是在按一般途径不易 完成问题的情形下,所采用的 一种数学方法,这里要求做到 两点.一是作出符合题意的直线 不易想到,二是证直线 b 与直 线 a 重合,相对容易一些,本 题注意要分类讨论,其结论也 可作性质用. 学生独立完成

因为过一点有且只有一条 直线与平面 β 垂直,所以直线 a 与直线 b 垂合,因此 a ? α . 1. 判断下列命题是否正确, 随堂练习 正确的在括号内画“√”错误的 画“×”.

巩固、 所学 知识

(1)a.垂直于同一条直线 的两个平面互相平行. ( √ ) b.垂直于同一个平面的两 条直线互相平行. ( √ ) c.一条直线在平面内,另 一条直线与这个平面垂直, 则这 两条直线互相垂直. ( √ ) (2)已知直线 a, 和平面 b
α ,且 a⊥b,a⊥ α ,则 b 与 α

的位置关系是

.

答案:b∥ α 或 b ? α . 2. (1)下列命题中错误的 .. 是( A ) A.如果平面 α ⊥平面 β , 那么平面 α 内所有直线垂直于 平面 β . B.如果平面 α ⊥平面 β , 那么平面 α 内一定存在直线平 行于平面 β . C.如果平面 α 不垂直平面 那么平面 α 内一定不存在直 β, 线垂直于平面 β . D.如果平面 α ⊥平面 γ , 平面 β ⊥平面 γ ,α ∩ β = l ,那 么l ⊥ γ . (2)已知两个平面垂直, 下列命题( B ) ①一个平面内已积压直线 必垂直于另一平面内的任意一 条直线. ②一个平面内的已知直线 必垂直于另一个平面的无数条 直线. ③一个平面内的任意一条 直线必垂直于另一个平面. ④过一个平面内任意一点

作交线的垂线, 则此垂线必垂直 于另一个平面. 其中正确命题的个数是 ( A.3 B.2 C.1 )

D.0

3.设直线 a, 分别在正方 b 体 ABCD – A′B′C′D′中两个不同 的面所在平面内, 欲使 a∥b, a, b 应满足什么条件? 答案:不相交,不异面 4.已知平面 α , β ,直线 a,且 α ⊥ β , α ∩ β = AB ,a∥
α ,a⊥AB,试判断直线 a 与直

线 β 的位置关系. 答案: 平行、 相交或在平面
β内

回顾、 1.直线和平面垂直的性质 归纳总结 2.平面和平面垂直的性质 3.面面垂直 ? 线面垂直
? 线线垂直

反思、 归纳 学生归纳总结,教材再补 充完善. 知识提高 自我整合 知识的能 力.

课后作业

2.3 第三课时 习案

学生独立完成

固化知识 提升能力

备选例题
例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面, 另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 α 垂直,a 是 α 内一条直线,若斜边 AB 与 a 垂直, 则 BC 是否与 a 垂直?
a ⊥ AC AC ⊥ α ? 【解析】 ? ? a ⊥ AB a ?α ? AC ∩ AB =
?

? ? ? A? ?

a ⊥ 平面ABC ? ? ? a ⊥ BC BC ? 平面ABC ?

【评析】若 BC 与 α 垂直,同理可得 AB 与 α 也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,

证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法: “线线垂直→线面垂直→线线垂直” . 例 2 求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已 知 α ⊥r, β ⊥r, α ∩ β = l,求证:l⊥r. 【分析】 根据直线和平面垂直的判定定理可在 r 内构造两相交直线分别与平面 α 、β 垂 直.或由面面垂直的性质易在 α 、 β 内作出平面 r 的垂线,再设法证明 l 与其平行即可. 【证明】 法一: 如图, α ∩r = a ,β ∩r = b, r 内任取一点 P. 设 在 过 点 P 在 r 内作直线 m⊥a,n⊥b. ∵ α ⊥r, β ⊥r, ∴m⊥a,n⊥ β (面面垂直的性质) . 又 α ∩ β = l, ∴l⊥m,l⊥n.又 m∩n = P,m,n ? r ∴l⊥r. 法二:如图,设 α ∩r = a, β ∩r = b,在 α 内作 m⊥a,在 β 内作 n⊥b. ∵ α ⊥r, β ⊥r, ∴m⊥r,n⊥r. ∴m∥n,又 n ? β ,m ? β , ∴m∥ β ,又 α ∩ β = l,m ? α , ∴m∥l, 又 m⊥r,∴l⊥r. 【评析】 充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键. 证法一充分利用面 面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题 是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益 的.


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