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陕西省西安市高新第一中学2015届高三数学周练试题09 文


西安高新一中 2015 届文科数学周练(9)
满分:150 分 时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.设 a , b 是平面α 内两条不同的直线, l 是平面α 外的一条直线,则“ l ? a, l ? b ”是“ l ⊥α ” 的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π ,则球的体积为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.8 错误! 未找到引用源。 π D.错误!未找到引用源。 3.设 a 是空间中的一条直线,α 是空间中的一个平面,则下列说法正确的是( ) a A.过 一定存在平面β ,使得β ∥α B.过 a 一定存在平面β ,使得β ⊥α C.在平面α 内一定不存在直线 b,使得 a ⊥b D.在平面α 内一定不存在直线 b,使得 a ∥b 4.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的表面 积是( ) A.16π B.14π C.12π D.8π

(第 4 题图) (第 5 题图) 5.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如 图所示,则该几何体的体积为( )

A.9

B.10

C.11

23 D. 2

6.如图所示,AC1 是正方体的一条体对角线,点 P,Q 分别为其所在棱 的中点,则 PQ 与 AC1 所成的角为( ) A.错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用 源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 7.某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几 何体的表面积为( ) A.92+14π B.82+14π C.92+24π D.82+24π
-1-

8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( ) A.错误!未找到引用源。π B.错误! 未 找到 引用源。π C.错误!未找到引用源。π D.错误! 未 找到 引用源。π 9.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值 是( ) A. 22? R
2

9 ? R2 4 B.

8 ? R2 3 C.

5 ? R2 2 D.

10.在棱长为 1 的正方体 AC1 中,E 为 AB 的中点,点 P 为侧面 BB1C1C 内一动点(含边界),若动点 P 始终满足 PE⊥BD1,则动点 P 的轨迹的长度为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未 找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 11.圆台上、下底面面积分别是π ,4π ,侧面积是 6π ,这个圆台的体积是________. 12.已知某 几何体的三视图如图 所示 ,则该 几何体的体积为 ________.

(第 12 题图) (第 13 题图) 13.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中,异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为__________. 14.如图所示,正四棱锥 P-ABCD 的底面积为 3,体积为错误!未找到引用 源。,E 为侧棱 PC 的中点,则 PA 与 BE 所成的角为__________.

15. 如图是一几何体的平面展开图 ,其中 ABCD 为正方形 ,E,F 分别为 PA,PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有__________. 湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰 面上留下了一个直径为 12cm,深 2cm 的空穴,则该 球的半径是________cm,表面积是________ cm .
2

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西安高新一中 2015 届文科数学周练(9) 学号: 班级:高三 班 姓名: 成绩: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 1 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 11. 14. 12. 15. 13. 16.

10

三、解答题:本大题 5 小题,满分 70 分。 17.(13 分)一个几何体是由圆柱 ADD1A1 和三棱锥 E-ABC 组合而成,点 A,B,C 在圆 O 的圆周上,其 正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图所示,其中 EA⊥平面 ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2. (1)求证:AC⊥BD. (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

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18.(14 分)如图,在直三棱柱 (1)求证:A 1 B∥平面 AEC 1 . (2)求证:B 1 C⊥平面 AEC 1 .

ABC ? A1 B1C1 中,∠BAC=90°, AB ? AC ? AA1 ,且 E 是 BC 中点.

19.(14 分)如图,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G 分别是 BD,BC,AB 的中点,将等边△BCD 沿 BD 折叠到△ BC′D 的位置,使得 AD⊥C′B. (1)求证:平面 GNM∥平面 ADC′. (2)求证:C′A⊥平面 ABD.

20.(14 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点.
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(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC. (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC.

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21.(15 分)已知等腰梯形 PDCB 中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△ PAD 沿 AD 折起,使平面 PAD⊥平面 ABCD(如图). (1 )证明:平面 PAD⊥平面 PCD. (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA∶VMACB=2∶1. (3)在 M 满足(2) 的情况下,判断直线 PD 是否平行平面 AMC.

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答案: 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 A 12. 5 C 6 D 13. 7 A 14. 8 B 9 B 15.2 个 10 B 16.10 400π

11. 错误!未找到引用源。π

答案解析 1.【解析】选 C.当 a,b 不相交时,则“l⊥α ”不一定成立,当“l⊥α ”时,一定有“l⊥a,l⊥b”, 所以“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α ”的必要不充分条件,选 C. 2.【解析】选 B.S 圆=π r2=π ?r=1,而截面圆圆心与球心的距离 d=1,所以球的半径为 R=错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 所以 V=错误!未找到引用源。π R3=错误!未找到引用源。,故选 B. 3.【解析】选 B.当 a 与α 相交时,不存在过 a 的平面β ,使得β ∥α ,故 A 错误;当 a 与α 平行时, 在平面α 内存在直线 b,使得 a∥b,故 D 错误;平面α 内的直线 b 只要垂直于直线 a 在平面α 内的 投影,则就必然垂直于直线 a,故 C 错误.直线 a 与其 在平面α 内的投影所确定的平面β 满足β ⊥ α . 【加固训练】设 a,b 是不同的直线,α ,β 是不同的平面,则下列命题: ①若 a⊥b,a∥α ,则 b∥β ; ②若 a∥α ,α ⊥β ,则 a⊥β ; ③若 a⊥β ,α ⊥β ,则 a∥α ; ④若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则α ⊥β . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 B.①当 a⊥b,a∥α 时 b 与β 可能相交,所以①错误.②中 a⊥β 不一定成立.③中 a? α 或 a∥α ,所以错误.④正确,所以正确的有 1 个,所以选 B. 4.【解析】选 A.由三视图可知,该几何体是球挖去错误!未找到引用源。半球.其中两个半圆的 面积为π ×22=4π .错误! 未找到引用源。 个球的表面积为错误! 未找到引用源。 ×4π ×22=12 π ,所以这个几何体的表面积是 12π +4π =16π . 5.【解析】选 C.由三视图可知该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基 础上截去一个底面积为错误!未找到引用源。×2×1=1、高为 3 的三棱锥形成的,所以 V=4× 3-1=11. 6.【解析】选 D.如图,在对角面 ADC1B1 中,取 AB1 的中点为 T,TD∥PQ,从而 TD 与 AC1 所成的角 为所求.由相似可得∠AMD=错误!未找到引用源。. 7.【解析】选 A.由几何体的三视图知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为 2,高为 5 的圆柱的一半.所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4+4×5)+4×5=92. 半圆柱 的两个底面积为π ×22=4π ,半圆柱的侧面积为π ×2×5=10π ,所以整个组合体 的表面积为 92+4π +10π =92+14π . 8.【解析】选 B.设球半径是 R,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为 2、侧棱长为 1 的正 三棱柱,记上、下底面的中心分别是 O1,O,易知球心是线段 O1O 的中点,于是 R2=错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,因此所求球的表面积是 4π R2=4π ×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,选 B. 9.【思路点拨】画出组合体的轴截面,利用相似列出比例式,化简成关于 x 的二次函数. 【解析】选 B.如图所示为组合体的轴截面,

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由相似三角形的比例关系,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,PO1=3x,圆柱的高 为 3R-3x , 所以圆柱的全面积为 S=2π x2 +2π x(3R-3x)=-4π x2+6π Rx, 则当 x=错误!未找到引用源。R 时,S 取最大值, Smax=错误!未找到引用源。π R2. 10.【解析】选 B.如图,

根据题意,BD1 要始终垂直于 PE 所在的一个平面,取 BC,BB1 的中点 F,G,易证 BD1⊥平面 EFG,故 点 P 的轨迹为线段 FG,易求得这条线段的长度是错误!未找到引用源。. 11.【解析】上底半径 r=1,下底半径 R=2. 因为 S 侧=6π ,设母线长为 l,则π (1+2)·l=6π . 所以 l=2,所以高 h=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 所以 V=错误!未找到引用源。π ·错误!未找到引用源。(1+1×2+2×2)=错误!未找到引用 源。π . 答案:错误!未找到引用源。π 12.【解析】由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,底面是底边长为 4 错误!未找到引用源。, 高为 2 的等腰三角形,棱锥的高为 2,故体积为 V=错误! 未找到引用源。 ×错误! 未找到引用源。 ×4 错误!未找到引用源。×2×2=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 13.【 思路点拨】把展开图复原为正方体求解 . 【解析】如图所示,

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∠EGF 为 AB 和 CD 所成的角,F 为正方体一棱的中点.设正方体棱长为 1, 所以 EF=GF=错误!未找到引用源。,EG=错误!未找到引用源。. 所以 cos∠EGF=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 14.【解析】连接 AC,BD 交于点 O,连接 OE,易得 OE∥PA, 所以所求角为∠BEO. 由所给条件易得 OB=错误!未找到引用源。,OE=错误!未找到引用源。PA=错误! 未找到引用源。 ,BE=错误!未找到引用源。. 所以 cos∠OEB=错误!未找到引用源。,所以∠BEO=错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 15.【解析】将几何体展开图拼成几何体(如图),因为 E,F 分别为 PA,PD 的中点,所 以 EF∥AD∥BC,即直线 BE 与 CF 共面,①错;因为 B?平面 PAD,E∈平面 PAD,E?AF,所以 BE 与 AF 是异面直线,②正确;因为 EF∥AD∥BC,EF?平面 PBC,BC?平面 PBC,所以 EF∥ 平面 PBC,③正确;平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直,④错. 答案:2 个 16.【解析】设球的半 径为 r,如图:由勾股定理可知,r2=(r-2)2+36,解得 r=10cm.所以表 面积为 4π r2=4π ×100=400π (cm2). 答案:10 400π 17.【解析】(1)因为 EA⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 EA⊥AC,即 ED⊥AC. 又因为 AC⊥AB,AB∩ED=A,所以 AC⊥平面 EBD. 因为 BD?平面 EBD,所以 AC⊥BD. (2)因为点 A,B,C 在圆 O 的圆周上,且 AB⊥AC,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r,圆柱高为 h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得, 错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 所以 BC=4,AB=AC=2 错误!未找到引用源。. 以下给出求三棱锥 E-BCD 体积的两种方法: 方法一:由(1)知,AC⊥平面 EBD, 所以 VE-BCD=VC-EBD=错误!未找到引用源。S△EBD×CA, 因为 EA⊥平面 ABC,AB?平面 ABC, 所以 EA⊥AB,即 ED⊥AB. 其中 ED=EA+DA=2+2=4, 因为 AB⊥AC,AB=AC= 2 错误!未找到引用源。, 所以 S△EBD=错误!未找到引用源。ED×AB=错误!未找到引用源。×4×2 错误!未找到引用 源。=4 错误!未找到引用源。, 所以 VE-BCD=错误!未找到引用源。×4 错误!未找到引用源。×2 错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。. 方法二:因为 EA⊥平面 ABC, 所以 VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=错误!未找到引用源。S△ABC×EA+ 错误!未找到引用源。S△ABC×DA=错误!未找到引用源。S△ABC×ED. 其中 ED=EA+DA=2+2=4, 因为 AB⊥AC,AB=AC=2 错误!未找到引用源。, 所以 S △ABC=错误!未找到引用源。×AC×AB=错误!未找到引用源。×2 错误!未找到引用 源。×2 错误!未找到引用源。=4, 所以 VE-BCD=错误!未找到引用源。 ×4×4=错误!未找到引用源。.
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18.【证明】(1)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 EO, 因为 ACC1A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点. 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为△A1BC 的中位线, 所以 EO∥A1B. 又 EO?平面 AEC1,A1B?平面 AEC1, 所以 A1B∥平面 AEC1. (2)因为 AB=AC,又 E 为 CB 中点, 所以 AE⊥BC, 又因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BB1⊥底面 ABC, 又 AE?底面 ABC,所以 AE⊥BB1, 又因为 BB1∩BC=B,所以 AE⊥平面 BCC1B1, 又 B1C?平面 BCC1B1, 所以 AE⊥B1C. 在矩形 BCC1B1 中, tan∠BCB1=tan∠EC1C=错误!未找到引用源。, 所以∠BCB1=∠ EC1C, 所以∠BCB1+∠CEC1=90°, 即 B1C⊥EC1. 又 AE∩EC1=E,所以 B1C⊥平面 AEC1. 19.【证明】(1)因为 M,N 分别是 BD,BC′的中点, 所以 MN∥DC′. 因为 MN?平面 ADC′, DC′?平面 ADC′,所以 MN∥平面 ADC′. 同理 NG∥平面 ADC′. 又因为 MN∩NG=N, 所以平面 GNM∥平面 ADC′. (2)因为∠BAD=90°,所以 AD⊥AB. 又因为 AD⊥C′B,且 AB∩C′B=B,所以 AD⊥平面 C′ AB. 因为 C′A?平面 C′AB,所以 AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形,AB=AD, 不妨设 AB=1,则 BC=CD=BD=错误!未找到引用源。,可得 C′A=1. 由勾股定理的逆定理,可得 AB⊥C′A. 因为 AB∩AD=A,所以 C′A⊥平面 ABD. 20.【证明】(1)由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC; 由 PA 垂直于圆 O 所在的平面 ,得 PA⊥平面 ABC;又 BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC,又 BC?平面 PBC,所以平面 PAC⊥平面 P BC. (2)连接 OG 并延长交 AC 于 M,

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连接 QM,QO.由 G 为△AOC 的重心,知 M 为 AC 的中点, 由 Q 为 PA 的中点,则 QM∥PC, 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO, MO?平面 QMO,BC∩PC=C,BC?平面 P BC,PC?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG?平面 QMO,所以 QG∥平面 PBC. 21.【解析】(1)因为 PDCB 为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则 PA⊥AD,CD⊥AD. 又因为面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD,CD?面 ABCD,故 CD⊥面 PAD. 又因为 CD?面 PCD,所以平面 PAD⊥平面 PCD. (2)所求的点 M 即为线段 PB 的中点. 证明如下: 设三棱锥 M-ACB 的高为 h1,四棱锥 P-ABCD 的高为 h2, 当 M 为线段 PB 的中点时,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 ,所以截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA∶ VMACB=2∶1. (3)当 M 为线段 PB 的中点时,直线 PD 与面 AMC 不平行. 证明如下:(反证法)假设 PD∥面 AMC, 连接 DB 交 AC 于点 O,连接 MO. 因为 PD?面 PBD,且面 AMC∩面 PBD=MO, 所以 PD∥MO. 因为 M 为线段 PB 的中点时,则 O 为线段 BD 的中点,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。, 而 AB∥DC,故错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,故矛盾. 所以假设不成立,故当 M 为线段 PB 的 中点时,直线 PD 与平面 AMC 不平行. 【方法技巧】立体几何中探索性问题的解法 探索性问题是近几年高考中出现频率较高的题目,能较好地考查学生的猜想能力和推理能 力.一般以判断点的存在性为主,用几何法解答探索性问题的一般步骤 是: (1)先假设所求的点存在,然后在这一条件下进行推理论证,得出相关的结论. (2)如果得出矛盾,则说明假设不成立,即不存在满足条件的点;如果得不出矛盾,则说明假设成立, 即存在满足条件的点.

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