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高中数学三角函数公式和推理过程


同角三角函数的基本关系 tan α =sin α /cos α 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin α ˇ2+cos α ˇ2=1 tan α *tan α 的邻角 =1 锐角三角函数公式 正弦: sin α =∠ α 的对边/∠ α 的斜边 余弦: cos α =∠ α 的邻边/∠ α 的斜边 正切: tan α =∠ α 的对边/∠ α 的邻边 余切: cot α =∠

α 的邻边/∠ α 的对边 二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^2 A-sin^2 A=1-2sin^2 A=2cos^2 A-1 tan2A= ( 2tanA ) / ( 1-tan^2 A ) 三倍角公式

sin3 α =4sin α ?sin( π /3+ α )sin( π /3- α ) cos3 α =4cos α ?cos( π /3+ α )cos( π /3- α ) tan3a = tan a ? tan( π /3+a)? tan( π /3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2 -sin^2a] =4sina(sin^260° -sin^2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60° -sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60° -a)/2]*2sin[(60° - a)/2]cos[(60° -a) /2] =4sinasin(60°+a)sin(60° -a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a- (√3/2)^2] =4cosa(cos^2a- cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa - cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a - 30°)/2]*{ - 2sin[(a+30°)/2]sin[(a -3 0°)/2]} =-4cosasin( a+30°)sin(a -30°) =-4cosasin[90° -(60° -a)]sin[- 90°+(60°+a)] =-4cosacos(60° -a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60° - a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60° -a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积 sin θ +sin φ = 2 sin[( θ + φ )/2] cos[( θ - φ )/2]

sin θ -sin φ = 2 cos[( θ + φ )/2] sin[( θ - φ )/2] cos θ +cos φ = 2 cos[( θ + φ )/2] cos[( θ - φ )/2] cos θ -cos φ = -2 sin[( θ + φ )/2] sin[( θ - φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sin α cos α sin α cos α 双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin ( 2k π + α ) = sin α cos ( 2k π + α ) = cos α tan ( 2k π + α ) = tan α cot ( 2k π + α ) = cot α 公式二: 设 α 为任意角, π + α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π + α ) = -sin α cos ( π + α ) = -cos α tan ( π + α ) = tan α cot ( π + α ) = cot α 公式三: sin β cos β cos β sin β = = = = [cos( α [cos( α [sin( α [sin( α -β +β +β +β )-cos( α )+cos( α )+sin( α )-sin( α +β -β -β -β )] /2 )]/2 )]/2 )]/2

任意角 α 与 - α 的三角函数值之间的关系: sin ( - α ) = -sin α cos ( - α ) = cos α tan ( - α ) = -tan α cot ( - α ) = -cot α 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π - α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π - α ) = sin α cos ( π - α ) = -cos α tan ( π - α ) = -tan α cot ( π - α ) = -cot α 公式五: 利用公式 - 和公式三可以得到 2 π - α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( 2 π - α ) = -sin α cos ( 2 π - α ) = cos α tan ( 2 π - α ) = -tan α cot ( 2 π - α ) = -cot α 公式六: π /2± α 及 3 π /2± α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π /2+ α ) = cos α cos ( π /2+ α ) = -sin α tan ( π /2+ α ) = -cot α cot ( π /2+ α ) = -tan α sin ( π /2-α ) = cos α cos ( π /2-α ) = sin α tan ( π /2-α ) = cot α cot ( π /2-α ) = tan α sin ( 3 π /2+ α ) = -cos α cos ( 3 π /2+ α ) = sin α tan ( 3 π /2+ α ) = -cot α cot ( 3 π sin ( 3 π cos ( 3 π tan ( 3 π cot ( 3 π /2+ α /2- α /2- α /2- α /2- α )= )= )= )= )= -tan α -cos α -sin α cot α tan α

( 以上 k∈Z) A?sin( ω t+ θ )+ B?sin( ω t+ φ ) =

√ {(A^2 +B^2 +2ABcos( θ - φ )} ? sin { ω t + arcsin[ (A?sin θ +B?sin φ ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos( θ -φ )} } √表示根号 , 包括{……}中的内容 诱导公式 sin(- α ) = -sin α cos(- α ) = cos α tan (- α )=-tan α sin( π /2- α ) = cos α cos( π /2- α ) = sin α sin( π /2+ α ) = cos α cos( π /2+ α ) = -sin α sin( π -α ) = sin α cos( π -α ) = -cos α sin( π +α ) = -sin α cos( π +α ) = -cos α tanA= sinA/cosA tan ( π /2 + α )=- cot α tan ( π /2 - α )= cot α tan ( π - α )=- tan α tan ( π + α )= tan α 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sin α =2tan( α /2)/[1+tan²( α /2)] cos α =[1-tan²( α /2)]/[1+tan²( α /2)] tan α =2tan( α /2)/[1-tan²( α /2)]

其它公式

(1) (sin α )^2+(cos α )^2=1 (2)1+(tan α )^2=(sec α )^2 (3)1+(cot α )^2=(csc α )^2 证明下面两式 ,只需将一式 , 左右同除 (sin α )^2, 第二个除 (cos α )^2 即可 (4) 对于任意非直角三角形 , 总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B= π -C tan(A+B)=tan( π -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan π -tanC)/(1+tan π tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证 , 当 x+y+z=n π (n∈Z)时 , 该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ) ^2+(cosB ) ^2+(cosC ) ^2=1-2cosAcosBcosC (8) ( sinA ) ^2+ ( sinB ) ^2+ ( sinC ) ^2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

编辑本段 内容规律

三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规 律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部 规律及本质也是学好三角函数的关键所在 . 1 、三角函数本质:

[1]

根据右图,有 sin θ =y/ r; cos θ =x/r; tan θ =y/x; cot θ =x/y 。 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来, 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交 X 轴于 C , D, 在单位圆上有任意 A , B 点。 角 AOD 为 α , BOD 为 β ,旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合,形成新 A'OD 。 A(cos α ,sin α ),B(cos β ,sin β ),A'(cos( α - β ),sin( α - β )) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos( α - β )-1]^2+[sin( α -β )]^2=(cos α -cos β )^2+(sin α -sin β )^ 2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换 (a+b)/2 与 (a-b)/2 ) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位 圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角 形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义, 而不只是对于在 0 和 π /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象,把所有 重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角, 而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角

θ , 并与单位圆相交。 这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ

和 sin θ 。

图象中的三角形确保了这个公式; 半径等于斜边且长度为 1 , 所以有 sin θ = y /1 和 cos θ = x /1 。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度, 但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) cos(A+B) cos(A-B) tan(A+B) tan(A-B) cot(A+B) = = = = = = sinAcosB-cosAsinB cosAcosB-sinAsinB cosAcosB+sinAsinB (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)


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