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【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 人教A版 课时作业 第九章 平面解析几何 阶段回扣练9


阶段回扣练 9
一、选择题

平面解析几何

(建议用时:90 分钟)

x2 y2 1.(2015· 北京西城区模拟)直线 y=2x 为双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一条 渐近线,则双曲线 C 的离心率是 A. 3 C. 5 解析 答案 3 B. 2 5 D. 2 b c 由题意知a=2,得

b=2a,c= 5a,所以 e=a= 5,故选 C. C ( )

2.已知圆 C 经过 A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程是 ( A.(x-2)2+y2=13 B.(x+2)2+y2=17 C.(x+1)2+y2=40 D.(x-1)2+y2=20 解析 设圆心坐标为 C(a,0),则|AC|=|BC|,即 ?a-5?2+22= ?a+1?2+42, )

解得 a=1,所以半径 r= ?1+1?2+42= 20=2 5,所以圆 C 的方程是(x-1)2 +y2=20. 答案 D ( )

3.(2014· 南昌模拟)方程(x2+y2-2x)· x+y-3=0 表示的曲线是 A.一个圆和一条直线 C.一个圆 解析 B.一个圆和一条射线 D.一条直线

?x+y-3≥0, 依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0 或②? 2 2 注意到 ?x +y -2x=0.

圆 x2+y2-2x=0 上的点均位于直线 x+y-3=0 的左下方区域,即圆 x2+y2- 2x=0 上的点均不满足 x+y-3≥0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示

的曲线是直线 x+y-3=0,故选 D. 答案 D

x2 y2 4.(2014· 东北三省四市联考)以椭圆 8 + 5 =1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点 的双曲线的离心率为 2 26 A. 13 8 C.3 解析 答案 2 6 B. 3 13 D. 8 c 2 2 2 6 由题意知双曲线的 a= 3,c=2 2,所以 e=a= = 3 . 3 B ( )

5.(2015· 福州质量检测)若直线 x-y+2=0 与圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 相交于 A, →· → 的值为 B 两点,则CA CB A.-1 C.1 解析 cos B.0 D.10 依题意,圆心 C(3,3)到直线 x- y+ 2 = 0 的距离等于 |3-3+2| = 2, 2 ( )

∠ACB 2 ∠ACB →· → =0,故选 B. = ,∠ACB=90° ,CA CB 2 2 , 2 =45° B

答案

x2 2 6.(2014· 成都诊断)已知实数 1,m,4 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m+y =1 的 离心率为 2 A. 2 2 C. 2 或 3 解析 B. 3 1 D.2或 3 ( )

由已知得 m=± 2.当 m=2 时,该圆锥曲线表示椭圆,此时 a= 2,b=1,

2 c=1,e= 2 ;当 m=-2 时,该圆锥曲线表示双曲线,此时 a=1,b= 2,c = 3,e= 3,故选 C. 答案 C

7.若直线 ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和 的最小值为 A.1 C.4 解析 B.2 D.8 1 1 ?1 1? ?a b? 依题意得a+b=1,a+b=(a+b)?a+b?=2+?b+a?≥4,当且仅当 a=b ? ? ? ? ( )

=2 时取等号,因此 a+b 的最小值是 4,即该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和 的最小值是 4,故选 C. 答案 C

x2 y2 8. (2015· 长沙模拟)设双曲线a2-b2=1(a>0, b>0), 离心率 e= 2, 右焦点 F(c,0). 方 程 ax2-bx-c=0 的两个实数根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)与圆 x2+y2=8 的 位置关系是 A.点 P 在圆外 C.点 P 在圆内 解析 B.点 P 在圆上 D.不确定 ( )

b c 2 依题意得 a=b,c= 2a,x1+x2=a=1,x1x2=-a=- 2,x2 1+x2=(x1

+x2)2-2x1x2=1+2 2<8,因此点 P 位于圆 x2+y2=8 内,故选 C. 答案 C x2 y2 9.(2014· 海口调研)已知点 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦 点,P 为双曲线左支上的任意一点,且|PF2|=2|PF1|,若△PF1F2 为等腰三角形, 则双曲线的离心率为 A.3 C.2 解析 B. 2 3 D.2 依题意得|PF2|-|PF1|=2a,又 |PF2|=2|PF1|,所以|PF2|=4a, |PF1|=2a. ( )

又△PF1F2 为等腰三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即 4a=2c,所以双曲线的离心率 c 为 e=a=2,故选 C. 答案 C

y2 10.(2014· 西安模拟)已知双曲线 x2- 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲

→ → 线右支上一点,则PA1· PF2的最小值为 ( A.-2 C.1 解析

)

81 B.-16 D.0

y2 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),则有 3 =x2-1,

→· → y2=3(x2-1),PA (2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2 1 PF2=(-1-x,-y)· ? 1? 81 →· → -1)-x-2=4x2-x-5=4?x-8?2-16, 其中 x≥1.因此, 当 x=1 时, PA 1 PF2取 ? ? 得最小值-2,选 A. 答案 A

二、填空题 11.(2014· 成都诊断)已知直线 l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:2x-y=0.若 l1⊥l2,则 实数 a 的值为________. 解析 答案 依题意得 1 a 1 =-2,解得 a=1. a-3

12.(2015· 济南模拟)已知直线 3x-4y+a=0 与圆 x2-4x+y2-2y+1=0 相切,则 实数 a 的值为________. 解析 圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,由直线 3x-4y+a=0 与圆(x-2)2 |6-4+a| =2, 5

+(y-1)2=4 相切得圆心(2,1)到直线的距离 d 等于半径, 所以 d= 解得 a=-12 或 8. 答案 -12 或 8

x2 y2 13.(2015· 云南统一检测)已知双曲线 S 与椭圆 9 +34=1 的焦点相同,如果 3 y=4x 是双曲线 S 的一条渐近线,那么双曲线 S 的方程为________. 解析 3 由题意可得双曲线 S 的焦点坐标是(0,± 5).又 y=4x 是双曲线 S 的一条

a 3 渐近线,所以 c=5,b=4,a2+b2=c2,解得 a=3,b=4,所以双曲线 S 的标

y2 x2 准方程为 9 -16=1. 答案 y2 x2 9 -16=1

x2 y2 14.(2015· 湖北七市(州)联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若 过点 F 且倾斜角为 45° 的直线与双曲线的左支没有公共点,则此双曲线离心率 的取值范围是________. 解析 答案 b 依题意, 0<a≤tan 45° =1, 所以双曲线的离心率 e= (1, 2] ?b? 1+?a?2∈(1, 2]. ? ?

x2 y2 15.(2014· 山东卷)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛 物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且 |FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________. 解析 c2=a2+b2.①

由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知, p? ? 双曲线过点?c,-2?, ? ? c2 p2 即a2-4b2=1.② p2 由|FA|=c,得 c =a + 4 ,③
2 2

由①③得 p2=4b2.④ c2 将④代入②,得a2=2. a2+b2 b ∴ a2 =2,即a=1, 故双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 x± y=0. 答案 x± y=0

三、解答题 16.(2014· 东北三省四市联考)圆 M 和圆 P:x2+y2-2 2x-10=0 相内切,且过定 点 Q(- 2,0). (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程;

(2)斜率为 3的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A,B 两点,且线段 AB 的垂直 1? ? 平分线经过点?0,-2?,求直线 l 的方程. ? ? 解 (1)由已知|MP|=2 3-|MQ|,

即|MP|+|MQ|=2 3, 且 2 3大于|PQ|, 所以 M 的轨迹是以(- 2,0),( 2,0)为焦点,2 3为长轴长的椭圆,即其方 x2 程为 3 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3x+m,代入椭圆方程得 10x2 +6 3mx+3m2-3=0, 3 3 所以 x1+x2=- 5 m, ? 3 则 AB 的中点为?-10 ? 1 ? 3m,10m?, ?

AB 的垂直平分线方程为 3 1 3? y-10m=- 3 ?x+10 ? ? 3m?, ?

1? 5 ? 将?0,-2?代入得 m=2, ? ? 5 所以直线 l 的方程为 y= 3x+2. x2 y2 17.(2014· 安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B=5,求椭圆 E 的离心率. 解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,

得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得,

|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得, |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|· |BF2|cos∠AF2B, 6 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-5(2a-3k)· (2a-k). 化简可得(a+k)(a-3k)=0, 而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2, 可得 F1A⊥F2A, △AF1F2 为等腰直角三角形. 2 c 2 从而 c= 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e=a= 2 . x2 y2 3 18.已知椭圆 C:b2+a2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+ 3与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以线 段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请 说明理由.



?a=2, (1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得?c 3 ?a= 2 ,

?a=2, 解得? 所以 b2=a2-c2=4-3=1, ?c= 3, y2 2 故所求椭圆 C 的方程为 4 +x =1. (2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下: 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), y2 将直线 l 的方程 y=kx+ 3代入 4 +x2=1,

并整理,得(k2+4)x2+2 3kx-1=0.(*) 2 3k 1 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O, →· → =0,即 x x +y y =0. 所以OA OB 1 2 1 2 又 y1y2=k2x1x2+ 3k(x1+x2)+3, 于是- 1+k2 6k2 11 - +3=0,解得 k=± 2 , 2 2 k +4 k +4

经检验知:此时(*)式的 Δ>0,符合题意. 11 所以当 k=± 2 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 19.(2014· 浙江卷)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C → =3FM →. 的焦点,点 M 为 AB 的中点,PF

→ |=3,求点 M 的坐标; (1)若|PF (2)求△ABP 面积的最大值. 解 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1.

设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到 y0=2,所以 P(2 2,2)或 P(-2 2,2). ?2 2 2? 2 2 2? → =3FM → ,分别得 M? ?- 由PF ,3?或 M? 3 ,3?. 3 ? ? ? ?

(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). ?y=kx+m, 由? 2 得 x2-4kx-4m=0. ?x =4y, 于是 Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2+m).

→ → 由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), ?x0=-6k, 所以? 2 ?y0=4-6k -3m. 1 4 2 由 x2 0=4y0,得 k =- m+ . 5 15 1 4 由 Δ>0,k2≥0,得-3<m≤3. 又因为|AB|=4 1+k2· k2+m, 点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d= |m-1| . 1+k2

所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1| k2+m = 16 15 3m3-5m2+m+1.

4? ? 1 记 f(m)=3m3-5m2+m+1?-3<m≤3?. ? ? 令 f′(m)=9m2-10m+1=0, 1 解得 m1=9,m2=1. 4? ? 1 1? ?1 ? ? 可得 f(m)在?-3,9?上是增函数,在?9,1?上是减函数,在?1,3?上是增函数. ? ? ? ? ? ? ?1? 256 ?4? 又 f?9?=243>f?3?. ? ? ? ? 1 256 所以,当 m=9时,f(m)取到最大值243, 55 此时 k=± 15 . 256 5 所以,△ABP 面积的最大值为 135 .


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