当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学理试题


保密★启用前 型:A

试卷类

2015—2016 学年第一学期期中考试 高三理科数学试题
注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,考试时间为 120 分钟, 满分 150 分. 2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上. 3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答,否则不予评分.

/>
第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、已知全集 U ? R , A ? ?y | y ? 2 x ? 1? , B ? ?x | ln x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. )

?

B.

{x |

1 ? x ? 1} 2
)

C.

{x | x ? 1}

D.

{x | 0 ? x ? 1}

2、若 a 为实数,且 A. 一 4

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a=( 1? i
B. 一 3 )

C. 3

D. 4

3、下列命题中正确的个数是(

①若 ?p 是 q 的必要而不充分条件,则
2

p 是 ?q 的充分而不必要条件;

②命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为“存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 ” ; ③若 p∧q 为假命题,则 p 与 q 均为假命题; ④命题“若 x —4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3,则 x -4x+3≠0” A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2 2

4、把函数 y ? sin( x ? 右平移

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

? 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 ? ? ? A. x ? B. x ? ? C. x ? 4 8 4

1 倍(纵坐标不变) ,再将图象向 2

) D. x ? ?

?
2

1

5、已知函数 f ( x) ? ( x ? 2) n ? ( x ? 2) n ,其中 n ? 3 为( ) B. ? 120 C. 60

? ? cos xdx,则 f ( x) 的展开式中 x
2 ? 2

?

4

的系数

A. 120

D . 0

?x ? y ? 1 ? y 6、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 的最大值为( ?2 x ? y ? 4 x ?
(A)



3 2

(B)

( ,?) 7、若 ? ? , 3 cos 2? ? sin(
A.

?

2 3

(C)

?
4

5 2

(D)

2 5


2 17 ? 18

? ? ) ,则 sin 2? 的值为(
C.

B.

17 18

?

1 18

D.

1 18

8、在锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sin A ? 则 b 的值为( A. 3 B. )

2 2 ,a ? 2 ,S△ABC ? 2 , 3

3 2 2

C. 2 2

D. 2 3

→ → 9、如图,设 E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=3,AC=6,则AE·AF =( )

A.8 B.10

C.11 D.12

10、已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) ? f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时,其导数 f ' ( x) 满足 xf ' ( x) ? 2 f ' ( x) ,若 2 ? a ? 4 ,则( )

A. f (2 a ) ? f (3) ? f (log2 a)

B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2 a )

C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2a )

D. f (log2 a) ? f (2 a ) ? f (3)

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

2

? 1 x ?( ) , x ? 3 11、已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log1 3) = 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 3
12、若存在 x ? ? 2,3? ,使不等式
1 ? ax ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x

.



13、已知 a 与 b 的夹角为 120 ,若 (a ? b) ? (a ? 2b) ,且 | a |? 2 ,则 b 在 a 方向上的正射影的 数量为 .
?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

x y 14、已知向量 a = ( x ? 1,2), b = ( 4, y ) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为

.

15 、 已 知 函 数 f ( x) ? 为 .

1 3 ax ? ax 2 ? 3ax ? 1 的 图 像 经 过 四 个 象 限 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 m ? (2 ? sin(2 x ? ( x ? [0,

??

?
6

? ?? ? ), ? 2) , n ? (1 , sin2 x) , f ( x) ? m ? n ,

?
2

])

(1)求函数 f ( x ) 的值域; (2) 设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 若 f ( ) ? 1,

B 2

b ? 1 , c ? 3 ,求 a 的值.

17、 (本题满分12分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD; (II)若 PB= 6 ,求二面角 A—PD—C 的余弦值。

18、 (本题满分 12 分)某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位: 1 * 万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N ,且 x≤12).已知第 x 个月的人均 2 35-2x(x∈N ,且1≤x≤6), ? ? 消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)=?160 * (x∈N ,且7≤x≤12). ? ? x (1)写出 2014 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2014 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?
*

3

19、 (本题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 a2 ? 8 ,S 4 ? 40 .数列 {bn } 的前 n 项 和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N * . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 c n ? ?

?a n , n为奇数 ?bn , n为偶数

,求数列 {cn } 的前 n 项和 Pn .

x2 y 2 20、 (本题满分 13 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,1) ,其长轴、焦距和 短轴的 a b
长的平方依次成等差数列.直线 l与x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q、P,与椭圆分别交于点 M、N, 各点均不重合且满足 PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ . (I)求椭圆的标准方程; (II)若 ?1 ? ?2 = ? 3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

???? ?

???? ? ??? ?

????

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? x(a ? R) 。 (1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在点 (1, ?2) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 在其定义域内的单调性; (3)若函数 y ? g ? x ? 的图象上存在一点 P( x0 , g ( x0 )) ,使得以 P 为切点的切线 l 将其图象分 割为 c1 , c2 两部分,且 c1 , c2 分别位于切线 l 的两侧(点 P 除外) ,则称 x0 为函数 y ? g ? x ? 的 “转点” , 问函数 y ? f ? x ? (a ? 0) 是否存在这样的一个 “转点” , 若存在, 求出这个 “转点” , 若不存在,说明理由。

2015—2016 学年第一学期期中考试答案
4

DDCDA 11、

BAADBC 13、 ?

1 7 12、 2 12

33 ? 1 8

14、6

( - ?, - ) ? ( ,?? ) 15、

1 9

3 5

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分) 已知 m ? (2 ? sin(2 x ?

??

?

? ?? ? ? ), ? 2) , n ? (1 , [] ) ( x ?0 , sin2 x) , f ( x) ? m ? n , 6 2

(1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 f ( ) ? 1 , b ? 1 , c ? 3 , 求 a 的值.

B 2

解: f ( x) ? m ? n ? 2 ? sin(2 x ?

?? ?

?
6

) ? 2sin 2 x ? 2 ? (sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 6 6

?

1 3 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 2 2 3

???????????2 分

? ? ? 4? ? 1 3 ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [ , ] ,??1 ? cos(2 x ? ) ? ,从而有 0 ? f ( x) ? , 2 3 3 3 3 2 2 3 所以函数 f ( x ) 的值域为 [0, ] . ???????????4 分 2 B ? ? ? 4? (2)由 f ( ) ? 1 得 cos( B ? ) ? 0 ,又因为 0 ? B ? ? ,所以 ? B ? ? , 2 3 3 3 3
从而 B ?

?

3

=

?

2

,即 B ?

?

6



???????????6 分

因为 b ? 1 ,c ? 3 ,所以由正弦定理 故C ? 当C ?

b c c sin B 3 ? 得 sin C ? , ? sin B sin C b 2

? ?
3



2? 3

,从而 a ? b2 ? c2 ? 2 3 2 2? ? ? 当C ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 3 6 6 综上 a 的值为 1 或 2. (用余弦定理类似给分) 。 ???????????10 分

时, A ?

?

17、 (本题满分12分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且

PA=PD=DA=2,∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD; (II)若 PB= 6 ,求二面角 A—PD—C 的余弦值。
(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD. ∵PA=PD=DA,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°,∴△PAD 和△ABD 为两个全等的等边三
5

角形, 则 PE⊥AD, BE⊥AD,∴AD⊥平面 PBE, 又 PB?平面 PBE,∴PB⊥AD; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

(Ⅱ)解:在△PBE 中,由已知得,PE=BE= 3,PB= 6,则 PB2=PE2+BE2, ∴∠PEB=90°,即 PE⊥BE,又 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD; 以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在 直线为 x,y,z 轴,建立 如 图 所示空间直角坐标系,则 E(0,0,0), C(-2, 3,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3), 则=(1,0, 3),=(-1, 3,0), 由题意可设平面 APD 的一个法向量为 m=(0,1,0); . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,z),
?x+ 3z=0, ? 由 得:? 令 y=1,则 x= 3,z=-1,∴n=( 3,1,-1); ?-x+ 3y=0, ?

P

z

D E. A x B y

C

则 5 5,

m

·

n



1





cos<m,

n

>



m·n | m|| n |



1 5



. . . . . . . . . . . . .11 分

5 由题意知二面角 A-PD-C 的平面角为钝角, 所以, 二面角 A-PD-C 的余弦值为- 5 . . . . . . . . 12 分 18、 (本题满分 12 分)某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位: 1 万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消 2 35-2x(x∈N ,且1≤x≤6), ? ? 费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)=?160 * ? x (x∈N ,且7≤x≤12). ? (1)写出 2014 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2014 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元? (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N 时,
*

*

f(x)=p(x)-p(x-1)= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,
验证 x=1 也满足此式, 2 * 所以 f(x)=-3x +40x(x∈N ,且 1≤x≤12). (2)第 x 个月旅游消费总额为 2 * ?(-3x +40x)(35-2x)(x∈N ,且1≤x≤6),

1 2

1 2

g(x)=?

?

2 * (-3x +40x)· (x∈N ,且7≤x≤12), ? x ? 3 2 *

160

?6x -185x +1 400x(x∈N ,且1≤x≤6), ? 即 g(x)=? * ? ?-480x+6 400(x∈N ,且7≤x≤12). 6

①当 1≤x≤6,且 x∈N 时, g′(x)=18x2-370x+1 400,令 g′(x)=0, 140 解得 x=5 或 x= (舍去). 9 当 1≤x<5 时,g′(x)>0, 当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). * ②当 7≤x≤12,且 x∈N 时,g(x)=-480x+6 400 是减函数, ∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3 040(万元). 综上,2014 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为 3 125 万元.

*

19、 (本题满分 12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 8 ,S 4 ? 40 .数列 {bn } 的前 n 项 和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N * . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 c n ? ?

?a n , n为奇数 ?bn , n为偶数

,求数列 {cn } 的前 n 项和 Pn .

【解析】 (1)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? , an ? 4n .????3 分 ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,当 n ? 1 时, b1 ? 3 ,当 n ? 2 时, Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,
得 bn

? 2bn (n ? 2) ,所以 {bn } 的通项公式为 bn ? 3 ? 2 n?1 .??????7 分

(2) cn ? ?

? 4n, n为奇数 , n ?1 ?3 ? 2 , n为偶数

当 n 为偶数时, Pn

? (a1 ? a3 ? ? ? an?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn )

?

(4 ? 4n) ? 2

n n 2 2 ? 6(1 ? 4 ) ? 2 n ?1 ? n 2 ? 2 ;??????10 分 1? 4
? Pn?1 ? cn ? 2 ( n ?1) ?1 ? (n ? 1) 2 ? 2 ? 4n

当 n 为奇数时, (法一) n ? 1 为偶数, Pn

? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1
(法二) Pn

? (a1 ? a3 ? ? ? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn?1 ) ? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1
? 2 n ?1 ? n 2 ? 2, n为偶数 ??????14 分 n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1, n为奇数
7

所以, Pn ? ?

x2 y 2 20、 (本题满分 13 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,1) ,其长轴、焦距和 短轴的 a b
长的平方依次成等差数列.直线 l与x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q、P,与椭圆分别交于点 M、N, 各点均不重合且满足 PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ . (I)求椭圆的标准方程; (II)若 ?1 ? ?2 = ? 3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

???? ?

???? ? ??? ?

????

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x(a ? R) 。
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在点 (1, ?2) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 在其定义域内的单调性; (3)若函数 y ? g ? x ? 的图象上存在一点 P( x0 , g ( x0 )) ,使得以 P 为切点的切线 l 将其图象分 割为 c1 , c2 两部分,且 c1 , c2 分别位于切线 l 的两侧(点 P 除外) ,则称 x0 为函数 y ? g ? x ? 的 “转点” , 问函数 y ? f ? x ? (a ? 0) 是否存在这样的一个 “转点” , 若存在, 求出这个 “转点” , 若不存在,说明理由。

8

【解析】 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x ,则 f ?( x) ?

1 ? 2 x ? 1 ,………………1 分 x

由此得点 (1, ?2) 处切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?2 ,……………………………………………2 分 所以曲线 f ( x) 在点 (1, ?2) 处的切线方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 0 .…………3 分 (2)对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ?

1 ?2ax 2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1 ? ( x ? 0), ……………………4 分①当 x x
……5 分

a ? 0 时, f ?( x) ?

1? x ,? f ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减; x
2

②当 a ? 0 时,设 u ? ?2ax ? x ? 1 , 因为 ? ? 1 ? 8a ,则 i)当 a ? ? 时, ? ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;……6 分 ii)当 ?

1 8

1 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,方程 ?2ax 2 ? x ? 1 ? 0 的两根为 8

x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a , , x2 ? 4a 4a
?2a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( x ? 0) , x

易知 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ,则 f ?( x) ?

所以 f ( x) 在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减;………………7 分 综上所述:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减; 当 a ? ? 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; 当?

1 8

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a 1 ),( , ??) 上单调递增, ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, 4a 4a 8

在( 8. f ?( x) ?

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a , ) 上单调递减 4a 4a

………………8 分

1 ? 2ax ? 1 ,设 A( x0 , f ( x0 )) , ( x0 ? 0) x

则在 A 点处的切线 l ? 方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) .………9 分 令 G( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ,则 G( x0 ) ? 0 .

G '( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? ?( x ? x0 ) ?

1 ? 2ax0 x ( x ? 0) .…………………………………10 分 x0 x

①当 a ? 0 时, 0 ? x ? x0 ,有 G '( x) ? 0 ; x ? x0 ,有 G '( x) ? 0 . 所以 G ( x) 在 ? 0, x0 ? 上单调递增,在 ? x0 , ??? 上单调递减,于是 G( x) ? G( x0 ) ? 0 ,
9

故 f ( x) 都在切线 l ? 的同侧,此时不存在“转点”.……………………………………11 分 ②当 a ? 0 时,取 x0 ?

?

1 1 ,即 2a ? ? 2 . x0 2a

G '( x) ? ?( x ? x0 ) ?

1 ? 2ax0 x ( x ? x0 )2 ? ? 0, 2 x0 x x0 x

所以 G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.…………………………………………………………12 分 又 G( x0 ) ? 0 ,所以当 x ? (0, x0 ) 时, G ( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, G ( x) ? 0 . 于是 f ( x) 的图象在切线 l ? 的两侧,所以 x0 ?

?

1 为函数 f ( x) 的一个“转点”.…13 分 2a

综上所述:当 a ? 0 时,存在 x0 ?

?

1 是函数 f ( x) 的一个“转点” ; 2a
. ???????14 分

当 a ? 0 时, y ? f ( x) 不存在“转点”

10


相关文章:
山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题
山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。保密★启用前 类型:A 试卷 2015—2016 学年第一学期期中考试 高三理科数学...
山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学理试题
山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。保密★启用前 型:A 试卷类 2015—2016 学年第一学期期中考试 高三理科数学...
山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版
山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。保密★启用前 类型:A 试卷 2015—2016 学年第一学期期中...
山东省东营市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理
山东省东营市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理_数学_高中教育_教育专区。2015—2016 学年第一学期期中考试 高三理科数学试题注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ...
山东省东营市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文
山东省东营市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。2015—2016 学年第一学期期中考试 高三文科数学试题注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ...
山东省济南第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题
山东省济南第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育...2016届山东省日照第一中... 暂无评价 12页 1下载券 山东省东营市第一中学20...
山东省东营市一中2016届高三上学期期中考试数学(文)试卷
山东省东营市一中2016届高三上学期期中考试数学(文)试卷_资格考试/认证_教育专区。保密★启用前 类型:A 试卷 2015—2016 学年第一学期期中考试 高三文科数学试题...
山东省淄博第一中学2016届高三上学期期中模块考试数学理试题
山东省淄博第一中学2016届高三上学期期中模块考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。淄博一中 2015-2016 学年度第一学期期中模块考试 高三数学试题(理科)第 I 卷...
山东省济宁市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题 扫描版含答案
山东省济宁市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题 扫描版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 答案: 答案: +申请认证 文档贡献者 李晶 一级...
更多相关标签:
山东省东营市第一中学 | 东营市胜利第一中学 | 东营市第一中学 | 东营市东营区第一中学 | 东营市第一中学网站 | 东营市第一中学新校区 | 东营市河口区第一中学 | 东营市第一中学官网 |