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第5讲 二次函数的最值问题


第五讲 二次函数的最值问题
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基 础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a ? 0 时, 函数在 x ? ?

b b 4ac ? b 2 处取得最小值 ,无最大值;当 a ? 0 时,函数在 x ? ? 处取得 2a 2a 4a

4ac ? b 2 最大值 ,无最小值. 4a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时,函数的最值问 题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用. 【例 1】当 ?2 ? x ? 2 时,求函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的最大值和最小值. 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值. 解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, ymin ? ?4 ,当 x ? ?2 时, ymax ? 5 .

2 【例 2】当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x ? x ? 1 的最大值和最小值.

解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, ymin ? ?1 ,当 x ? 2 时, ymax ? ?5 . 由上述两例可以看到, 二次函数在自变量 x 的给定范围内, 对应的图象是抛物线上的一 段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置, 函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异. 下面给出一 些常见情况:

【例 3】当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.
2 解:作出函数 y ? ? x(2 ? x) ? x ? 2x 在 x ? 0 内的图象.

可以看出:当 x ? 1 时, ymin ? ?1 ,无最大值.
-1-

所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ?1 . 【例 4】当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置. 解:函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图. 2 2
当 x ? t 时, ymin ?

(1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t ? 1 时:

1 2 5 t ?t ? ; 2 2

(2) 当对称轴在所给范围之间.即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时:

1 2 5 ? 1 ? 1 ? ? ?3 ; 2 2 (3) 当对称轴在所给范围右侧.即 t ? 1 ? 1 ? t ? 0 时: 1 5 1 2 2 当 x ? t ? 1 时, ymin ? (t ? 1) ? (t ? 1) ? ? t ? 3 . 2 2 2
当 x ? 1 时, ymin ?

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ??3, 0 ? t ? 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2
在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量

m (件)与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 .
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利 润为多少? 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元, 那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) ,又 m ? 162 ? 3x .

? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x2 ? 252x ? 4860,30 ? x ? 54
(2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下

? 当 x ? 42 时, ymax ? ?3 ? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432

? 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.
-2-


A




1. 抛物线 y ? x2 ? (m ? 4) x ? 2m ? 3 , 当 m = _____ 时, 图象的顶点在 y 轴上; 当 m = _____ 时,图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ . 3.求下列二次函数的最值: (1) y ? 2x2 ? 4x ? 5 ; (2) y ? (1 ? x)( x ? 2) .

4.求二次函数 y ? 2x2 ? 3x ? 5 在 ?2 ? x ? 2 上的最大值和最小值,并求对应的 x 的值. 5.对于函数 y ? 2x2 ? 4x ? 3 ,当 x ? 0 时,求 y 的取值范围. 6.求函数 y ? 3 ? 5x ? 3x 2 ? 2 的最大值和最小值. 7.已知关于 x 的函数 y ? x2 ? (2t ? 1) x ? t 2 ? 1,当 t 取何值时, y 的最小值为 0? B 组

1.已知关于 x 的函数 y ? x2 ? 2ax ? 2 在 ?5 ? x ? 5 上. (1) 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; (2) 当 a 为实数时,求函数的最大值.
2 2.函数 y ? x ? 2 x ? 3 在 m ? x ? 0 上的最大值为 3,最小值为 2,求 m 的取值范围. 2 3. 设a ? 0, 当 ?1 ? x ? 1 时, 函数 y ? ? x ? ax ? b ? 1的最小值是 ?4 , 最大值是 0, 求 a, b

的值.
2 4.已知函数 y ? x ? 2ax ? 1 在 ?1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值. 2 5.求关于 x 的二次函数 y ? x ? 2tx ? 1在 ?1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常数).

-3-

第五讲 二次函数的最值问题答案
A 组 1.4 14 或 2,

3 2

2.

l2 2 m 16
9 ,无最小值. 4

3.(1) 有最小值 3,无最大值;(2) 有最大值 4.当 x ?

3 31 时, ymin ? ;当 x ? ?2 时, ymax ? 19 . 4 8

5. y ? ?5 6.当 x ?

5 2 3 时, ymin ? 3 ? ;当 x ? 或 1 时, ymax ? 3 . 6 3 6

7.当 t ? ?

5 时, ymin ? 0 . 4
B 组

1.(1) 当 x ? 1 时, ymin ? 1 ;当 x ? ?5 时, ymax ? 37 . (2) 当 a ? 0 时, ymax ? 27 ? 10a ;当 a ? 0 时, ymax ? 27 ? 10a . 2. ?2 ? m ? ?1 . 3. a ? 2, b ? ?2 . 4. a ? ?

1 或 a ? ?1 . 4

5.当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? 1 ;当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? ?1 .

-4-


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