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53充分条件与必要条件习题


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高考理数
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

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一、命题及其关系 1.四种命题间的关系

?
2.否命题与命题的否定的区别 否命题是对原命题的条件和结论同时否定;命题的否定仅仅否定原命题的结论,条件不变.因此 否命题与命题的否定

是两种不同的命题.

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3.四种命题的真假关系 原命题为真,它的逆命题、否命题不一定为真,但它的逆否命题一定为真,即互为逆否命题的两 个命题是等价命题,具有相同的真假性,但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关 系.因此一个命题的真假不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. 二、充分条件与必要条件 1.判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p,则q”与“若q,则p”的真假的确定. 2.在判断充分条件与必要条件时,一定要弄清问题的设问方式,“A是B的充分不必要条件”与 “A的充分不必要条件是B”两种说法的含义不同,解题时一定要分清哪个是条件,哪个是结论.

3.两个性质:
(1)若p是q的充分条件,则q是p的必要条件. (2)传递性:若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件. 三、常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面 词语 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 任意的 所有的 至多有 一个 至少有 一个

否定
词语

不等于
(≠ )

不大于

不小于

不是

不都是

某个

某些

至少有
两个

一个也
没有

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突破方法
方法1 判断命题真假及由原命题写出其他三种命题的方法
1.判断命题真假的方法 (1)判定一个命题是真命题,需经过严格推理证明,而要说明它是假命题,只需举出一个反例即可. (2)利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有相同的真假性对所给命题的真假进行间接判 断. 2.由原命题写出其他三种命题的方法 由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将原命题的条件与结论互换即得 到逆命题,将原命题的条件与结论同时否定即得否命题,将原命题的条件与结论互换的同时进行 否定即得逆否命题. 例1 (2014陕西,8,5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否 命题真假性的判断依次如下,正确的是? ( A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 ) D.假,假,假

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解题导引 先证原命题为真(得出逆否命题为真)→再证逆命题为假(得出否命题为假)→结论 解析 先证原命题为真:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=? a 2 ? b2 , ∴原命题为真,故逆否命题为真;再证逆命题为假:取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复 数,∴逆命题为假,故否命题也为假. 答案 B 例2 (2015湖南益阳模拟,5,5分)命题p:“若a≥b,则a+b>2 015且a>-b”的逆否命题是? ( A.若a+b≤2 015且a≤-b,则a<b B.若a+b≤2 015且a≤-b,则a>b C.若a+b≤2 015或a≤-b,则a<b )

D.若a+b≤2 015或a≤-b,则a≤b
解析 将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.若“a≥b,则a+b>2 015且a>-b” 的逆否命题为“若a+b≤2 015或a≤-b,则a<b”. 答案 C

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1-1 下列结论错误的是? (
1

)

A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.若“x-? 3 2 是有理数,则x是无理数”的逆否命题为真命题 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0” 答案 C 解析 易知A正确.对于B,原命题为真,故其逆否命题为真.对于C,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0 有实根”的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”,若方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,
1 即m≥-? ,故上述逆命题为假命题,故C不正确.对于D,将原命题的条件、结论同时否定即得否命 4

题,m +n2=0的否定为m2+n2≠0,m=0且n=0的否定为m≠0或n≠0,故D正确.

2

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方法2

充分条件与必要条件的判定方法

判断充要条件的常用方法有三种,分别是定义法、集合法、等价转化法.
(1)定义法是判断充要条件最根本的方法.常见的形式如下: ①若p?q,则p是q的充分条件; ②若q?p,则p是q的必要条件; ③若p?q且q?p,则p是q的充要条件; ④若p?q且q? / p,则p是q的充分不必要条件; ⑤若p? /q且q?p,则p是q的必要不充分条件; ⑥若p? /q且q? /p,则p是q的既不充分也不必要条件. (2)集合法适用于“所要判断的命题与方程的根、不等式的解集相关,或所描述的对象可以用集 合表示”的情况.具体判断方法如下表:
记法 A={x|p(x)},B={x|q(x)}

关系
结论

A?B

B?A

A=B

A?B且B?A

p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件

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(3)等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题或直接判断不方便的情况,具体方法 是通过判断原命题的逆否命题的真假来间接判断原命题的真假.常用结论如下: ①? q是? p的充分不必要条件?p是q的充分不必要条件; ②? q是? p的必要不充分条件?p是q的必要不充分条件; ③? q是? p的充要条件?p是q的充要条件; ④? q是? p的既不充分也不必要条件?p是q的既不充分也不必要条件. 例3 (2014福建,6,5分)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积
1 ”的? ( 为? 2

) B.必要而不充分条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件
2 2

1 ×1×1=? 1 ,所以充分性成立;当k=-1 解析 当k=1时,l:y=x+1,由题意不妨令A(-1,0),B(0,1),则S△AOB=? 1 ,所以必要性不成立. 时,l:y=-x+1,也有S△AOB=?

答案 A

2

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例4 (2016安徽江淮十校第一次联考,2)已知a>0,b>0,且a≠1,则“logab>0”是“(a-1)(b-1)>0” 的? ( ) B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 a>0,b>0且a≠1,若logab>0,则a>1,b>1或0<a<1,0<b<1,∴(a-1)(b-1)>0;若(a-1)(b-1)>0,则
?a ? 1 ? 0, ?a ? 1 ? 0, ? 或? 则a>1,b>1或0<a<1,0<b<1,∴log b>0,∴“log b>0”是“(a-1)(b-1)>0”的充 ? ? ?b ? 1 ? 0 ?b ? 1 ? 0,
a a

分必要条件. 答案 C 评析 本题以不等式为载体,考查了必要条件、充分条件的判断,考查学生的逻辑思维能力和推 理论证能力,属于基础题. 2-1 (2016湖南岳阳平江一中期中,10)设p:x2-x-20>0,q:log2(x-5)<2,则p是q的? ( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B B.必要不充分条件 )

D.既不充分也不必要条件

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解析 ∵x2-x-20>0,∴x>5或x<-4,∴p:x>5或x<-4.∵log2(x-5)<2,∴0<x-5<4,即5<x<9,∴q:5<x<9, ∵{x|5<x<9}?{x|x>5或x<-4},∴p是q的必要不充分条件.故选B. 2-2 (2014天津,7,5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的? ( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 C 解析 先证“a>b”?“a|a|>b|b|”. 若a>b≥0,则a2>b2,即a|a|>b|b|; 若a≥0>b,则a|a|≥0>b|b|; 若0>a>b,则a2<b2,即-a|a|<-b|b|,从而a|a|>b|b|. B.必要不充分条件 )

D.既不充分又不必要条件

再证“a|a|>b|b|”?“a>b”.
若a,b≥0,则由a|a|>b|b|,得a2>b2,故a>b; 若a,b≤0,则由a|a|>b|b|,得-a2>-b2,即a2<b2,故a>b; 若a≥0,b<0,则a>b. 综上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.

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方法3

根据充要条件求参数取值范围的方法

1.解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为
集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也 采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决. 2.在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时, 不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易增解或漏解.
1? 例5 (2016豫南九校联考,15)已知p:? x ?1 ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且? p是? q的必要而不充分 3

条件,则实数m的取值范围为
1? 解析 解法一:由?

.

x ?1 ≤2,得-2≤x≤10, 3

∴? p对应的集合为{x|x>10或x<-2},设A={x|x>10或x<-2}. 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0), ∴? q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}, 设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.

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∵? p是? q的必要而不充分的条件,∴B?A,
?m ? 0, ?m ? 0, ? ? 1 ? m ? ?2, ?1 ? m ? ?2, ? ∴ 或 ?1 ? m ? 10, ?1 ? m ? 10, ? ?

?

?

解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞). 解法二:∵? p是? q的必要而不充分条件, ∴q是p的必要而不充分条件. 即p是q的充分而不必要条件, 由x2-2x+1-m2≤0(m>0)得1-m≤x≤1+m(m>0). ∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0}, 设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},
x ?1 1 ? 又由? 3 ≤2,得-2≤x≤10,

∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10},设N={x|-2≤x≤10}. 由p是q的充分而不必要条件知N?M,

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?m ? 0, ? ∴ ?1 ? m ? ?2, ?1 ? m ? 10, ?

? ?

?m ? 0, ? 或 ?1 ? m ? ?2, 解得m≥9. ?1 ? m ? 10, ?

∴实数m的取值范围为[9,+∞). 答案 [9,+∞) 3-1 已知命题p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分条件,则实数a的取值范围是? ( A.-1<a<6 C.a<-1或a>6 答案 B 解析 设命题q,p对应的集合分别为A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).因为q是p的充分条件,所以A?B,
?a ? 4 ? 2, 解得-1≤a≤6.故选B. 即? ? ?a ? 4 ? 3,

)

B.-1≤a≤6 D.a≤-1或a≥6

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3-2 (2016皖北第一次联考,3)已知p:x≥k,q:? <1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值

3 x ?1

范围是? (
A.[2,+∞) C.[1,+∞) 答案 B
3

)
B.(2,+∞) D.(-∞,-1)
3 2? x

解析 ∵? <1,∴? -1=? <0,即(x-2)(x+1)>0, x ?1 x ?1 x ?1 ∴x>2或x<-1,∵p是q的充分不必要条件,∴k>2.


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