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第29物理竞赛决赛训练题第1套


第 29 届决赛训练题 第一套
满分 140 分 命题人 蔡子星 第一题(20 分) 我们假设汽车前进的阻力主要来源于滚动摩擦。假设地面很硬,轮胎被挤压变形。当正压力为 N 时,轮胎接触面接触部分的长度为 ? ? kN (当然形变远小于半径) 。当轮胎滚动时,支持力将作用在 接触面的边缘处。考虑一个前轮驱动的汽车,最大牵引力矩为 M ,最大功率为 P 。汽车的重力为 G

, 重心距离地面高度为 h ,重心位于前后轮的中点处,前后轮轴距离 l 。正常行驶的时候,车轮和地面 之间不发生相对滑动。 (1) 计算汽车匀速行驶时的最大速度,以及前轮和后轮与地面之间的摩擦力,并指明方向。 (2) 计算汽车刚启动的时候最大加速度,以及前轮和后轮与地面之间的摩擦力,并指明方向。 (3) 计算汽车能爬上的最大坡度 ? , 并在计算了在最大坡度时车轮与地面不滑动, 求地面与车轮之 间的摩擦系数 ? 的最小值。

l

?

G

h

?'

第 29 届决赛训练题 第一套 命题人:蔡子星
讲述高端的真正的物理学

1

第二题(20 分) 在空间中存在轴对称分布的介质,折射率随不同位置分布的函数为: n(r ) ?
a 其中 a 是常数, r r

是参考点到 z 轴的矩离。有一个点光源位于坐标为 (r0 ,0,0) 的位置,发射一束激光。激光出射方向和
y ? z 平面平行,与 x ? y 平面夹角为 ? 。认为光线满足的折射定律,结果光线刚好能走过一个螺旋线

达 B 点 (r0 ,0, h) (即光线距离 Z 轴的距离保持位 r0 ) 求常数 a 以及角度 ? 应当满足的条件。 (以下不是考题: 如果给定 ? , 不要求光走螺旋线, 只是要求光能到达 B 点, 则 a 应当满足什么条件?)

z B

A x

?

y

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2

第三题(20 分) 气缸中填充有数密度为 n 气体,气体粒子静质量为 m0 。气缸形状是边长为 l 的立方体。为了简单 起见,我们假设粒子只能相对气缸沿着 x 正向或反向以速度 v 运动( v 并非远小于光速 c ) 。粒子与气 缸壁之间做完全弹性碰撞。 (1) 在相对于气缸沿着 y 方向,速度 u 运动的参照系中,计算因为粒子碰撞产生的压强。 (2) 在相对于气缸沿着 x 方向,速度 u 运动的参照系中,计算因为粒子碰撞产生的压强。 (3) 在相对于气缸沿着与 x 轴方向夹角 ? 方向,速度 u 运动的参照系中,计算因为粒子碰撞产生的 压强。

y

o

x

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3

第四题(20 分) 找一个理想的电感 L ,两个阻值为 R1 和 R2 的电阻,一个电动势为 ? 的直流电源,连接成如图的电 路。开关闭合后电感电流逐渐增大直到稳定。 (1) 从开关闭合到电路达到稳定, R1 上流过的电量为多少? R1 上总发热为多少? (2)
R1 上发热量达到 R1 上总发热一半的时候,求电源流过的电流。
L

?
S

R1 R2

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4

第五题(20 分) 某人希望完成电能的分配, 于是模仿变压器造了如图所示的一个装置。 先用硅钢造成一个架子 (可 以理解为三个对称的半框形支路连接起来) , 磁通量只能在硅钢内, 即不会漏磁。 一条支路上密绕了 N 3 扎线圈, 接入一个交流电源 U (t ) ? U 0 cos ?t , 另两个支路分别密绕了 N1 、N 2 扎线圈, 接入电阻 R1 、R2 。 系统达到稳定工作状态 (1) 求出两个绕有电阻的支路上磁通量的比值。 (2) 求出两个电阻上的功率比值。

N1

R1

U (t ) ? U 0 cos ?t

~

N3

N2

R2

第 29 届决赛训练题 第一套 命题人:蔡子星
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5

第六题(20 分) 从赤道发射一个质量为 M 人造卫星,并配置了两级质量为 m1 和 m2 火箭推进(假设壳的质量远小 于燃料质量) 。我们把一级火箭喷火推进的过程简化为一次爆炸。第一次爆炸发生在地面附近,燃烧 了 m1 的燃料,每燃烧单位质量的燃料,释放的总动能为 ? , m 1 以一定的速度向着斜下方喷出(你可 以认为所有喷出燃料速度相同) 。第二次爆炸发生在同步轨道卫星高度,燃烧了 m2 的燃料,将 m2 喷出 后, 卫星成为同步轨道卫星。 地球半径 R ? 6371km , 地面附近重力加速度为 g ? 9.8ms ?2 , 一天 T ? 24h ,

? ? 2 ? 107 m2 s ?2 kg ?1 ,求出

m1 ? m2 的最小值。忽略地球自转对初速度的影响, T 只用来确定同步轨道 M

卫星的半径。 本题就是练习恶心的计算…

第 29 届决赛训练题 第一套 命题人:蔡子星
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6

第七题(20 分) 如图四根杆铰接,长度比为 3:3:1:1。短杆长度为 l ,两边吊着质量为 m 的重物,中间放着原 长为

2l 的弹簧,弹簧下端和短杆一起铰接在地面上,平衡的时候杆和水平角度为 45? 。始终保 2

持左右对称,求微小振动的时候系统的周期。重力加速度为 g 。

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